Infinitesimal derived foliations

1. Enunciato del Problema

Il lavoro affronta le limitazioni della teoria esistente delle foliazioni derivate (introdotte in Toë20 e TV), in particolare per quanto riguarda il loro comportamento in caratteristiche arbitrarie (caratteristica non nulla) e le loro proprietà di integrabilità formale.

• Il Divario: Le foliazioni derivate classiche sono legate alla coomologia di de Rham e coinvolgono azioni dello stack di gruppo $BKer$ (legato al gruppo cerchio $S^1$ nel contesto graduato). Tuttavia, queste strutture non soddisfano sempre forti risultati di integrabilità formale al di fuori della caratteristica zero.
• L'Obiettivo: Gli autori mirano a introdurre una nuova nozione, le foliazioni derivate infinitesimali, più adatte per caratteristiche arbitrarie. Questi oggetti sono progettati per relazionarsi alla coomologia infinitesimale (piuttosto che alla coomologia di de Rham) e per soddisfare teoremi di integrabilità formale analoghi a quelli trovati nel lavoro di Ekedahl sulle foliazioni ristrette in caratteristica $p$.

2. Metodologia e Quadro Teorico

A. Stack Affini Derivati e Modelli Simpliciali-Cosimpliciali

Gli autori stabiliscono una solida base algebrica utilizzando anelli commutativi cosimpliciali-simpliciali ($csCR$).

• Definiscono una struttura di categoria modello su $csCR$ dove le equivalenze deboli sono quasi-isomorfismi completati (morfismi che inducono quasi-isomorfismi sul complesso totale $Tot_\pi$).
• Costruiscono la $\infty$-categoria degli stack affini derivati ($dAff$) come l'opposta di questa categoria modello.
• Introducono gli stack affini derivati graduati ($dChAff_k^{gr}$) utilizzando versioni graduate di questi anelli, permettendo azioni del gruppo moltiplicativo $\mathbb{G}_m$.

B. Gli Schemi di Gruppo $G_0$ e $H_\pi$

Un'innovazione tecnica centrale è il passaggio dal gruppo $BKer$ (usato nelle precedenti teorie delle foliazioni derivate) a un nuovo schema di gruppo:

• $G_0$: Definito come lo schema dei loop derivati $\Omega_0 \mathbb{G}_a$ basato nell'origine. È equivalente a $\text{Spec}(k[\epsilon^{-1}])$, dove $\epsilon^{-1}$ è un generatore in grado omotopico 1.
• $H_\pi$: Il prodotto semidiretto $\mathbb{G}_m \ltimes G_0$.
• Teoria delle Rappresentazioni: Le rappresentazioni di $H_\pi$ corrispondono a complessi misti graduati dove la struttura mista ha grado coomologico 1 (denotato $+_\epsilon\text{-dg}^{gr}_k$). Ciò contrasta con i complessi misti standard di grado $-1$ utilizzati nei lavori precedenti.

C. Il Functore Red-Shift ($RS$)

Gli autori utilizzano un'equivalenza "red-shift" $RS: \epsilon\text{-dg}^{gr}_k \xrightarrow{\sim} +_\epsilon\text{-dg}^{gr}_k$.

• Questo funtore sposta il grado coomologico della struttura mista da $-1$a$1$.
• Crucialmente, a livello di oggetti gruppo, $RS$ mappa $BKer$ in $G_0$.
• Gli autori costruiscono una realizzazione geometrica di questo spostamento sugli stack affini derivati, sebbene notino che non è un'equivalenza perfetta a livello di stack a causa di sottigliezze riguardanti oggetti liberi e potenze divise.

3. Definizioni Chiave

Foliazioni Derivate Infinitesimali (Definizione 2.1):
Sia $X$ uno schema affine derivato. Una foliazione derivata infinitesimale su $X$ consiste in:

1. Un complesso perfetto $E$ (il complesso cotangente spostato).
2. Uno stack derivato $H_\pi$-equivariante $F$ su $X$.
3. La condizione che $F$, come stack $\mathbb{G}_m$-equivariante, sia uno stack affine derivato lineare della forma $V(E[-1])$.
4. L'azione di $G_0$ su $V(E[-1])$ deve essere compatibile con le graduazioni naturali.

Complesso Cotangente:
Per una foliazione derivata infinitesimale $F$, il complesso cotangente $L_{F/k}$ è definito in modo tale che $F \simeq V(L_{F/k}[-1])$.

4. Risultati e Contributi Chiave

A. Relazione con la Cohomologia Infinitesimale (Sezione 3)

Gli autori dimostrano che la teoria della coomologia associata alle foliazioni derivate infinitesimali recupera la classica coomologia infinitesimale.

• Teorema 3.2: Per uno schema affine liscio $X$, la coomologia infinitesimale della foliazione "tautologica" $\ast_{X/k}$ (l'oggetto finale nella categoria delle foliazioni) è equivalente alla coomologia infinitesimale derivata completata di $X$:
  $$\hat{C}^*_{inf}(\ast_{X/k}, \mathcal{O}_X) \simeq R\hat{C}^*(X_{inf}, \mathcal{O})$$
• Ciò stabilisce che le foliazioni derivate infinitesimali sono gli oggetti geometrici derivati corretti per studiare la coomologia infinitesimale, proprio come le foliazioni derivate si relazionano alla coomologia di de Rham.

B. Integrabilità Formale (Sezione 4)

Questo è il risultato tecnico più significativo.

• Corollario 4.2: La categoria delle foliazioni derivate infinitesimali lisce su uno schema liscio $X$ è equivalente alla categoria dei grupoidi formali formalmente lisci su $X$.
• Meccanismo: Qualsiasi foliazione derivata infinitesimale liscia $F$ può essere formalmente integrata in un gruppoide formale $G_F$. La costruzione coinvolge prendere lo spazio dei loop $\Omega_X F$ e realizzarlo come gruppoide in schemi formali.
• Contrasto: Questo risultato non vale per le foliazioni derivate classiche. Nella teoria classica, un'algebra di Lie definisce una foliazione derivata, ma non si integra necessariamente in un gruppoide formale (specialmente in caratteristica $p$). La versione infinitesimale forza questa integrabilità.

C. Confronto con le Foliazioni Derivate Classiche (Sezione 5)

Gli autori propongono una relazione tra le due nozioni attraverso la costruzione Red-Shift:

• Suggeriscono un funtore "dimenticante" dalle foliazioni derivate infinitesimali alle foliazioni derivate.
• Ipotesi: Una struttura infinitesimale su una foliazione derivata $F$ (un'azione di $G_0$ su $V(L_F[-1])$) può essere ottenuta applicando $RS$ all'azione di $BKer$ su $V(L_F[1])$.
• Congettura: Le foliazioni derivate infinitesimali potrebbero essere equivalenti agli algebroidi di Lie partizionali (nel senso di BCN21 e Fu), il che spiega le loro forti proprietà di integrabilità.

5. Significato e Implicazioni

1. Indipendenza dalla Caratteristica: La teoria funziona uniformemente in caratteristiche arbitrarie, a differenza della precedente teoria delle foliazioni derivate che faceva affidamento pesantemente su proprietà di caratteristica zero (ad esempio, l'equivalenza tra coomologia di de Rham e coomologia infinitesimale).
2. Integrabilità Formale: Il lavoro risolve il problema dell'integrabilità per una specifica classe di oggetti geometrici derivati. Collegando le foliazioni derivate infinitesimali ai grupoidi formali, fornisce una generalizzazione derivata-geometrica dei risultati di Ekedahl sulle foliazioni ristrette in caratteristica $p$.
3. Connessione con le Algebre di Lie Partizionali: Il lavoro colma il divario tra la geometria algebrica derivata e la teoria delle algebre di Lie partizionali (attraverso il lavoro di J. Fu), suggerendo che le foliazioni derivate infinitesimali sono gli avatar geometrici degli algebroidi di Lie partizionali.
4. Nuovi Strumenti Cohomologici: Fornisce un quadro derivato per calcolare la coomologia infinitesimale utilizzando il linguaggio degli stack e della geometria derivata equivariante, offrendo una nuova prospettiva sulle teorie di coomologia cristallina e infinitesimale.

Conclusione

Toën e Vezzosi definiscono con successo le foliazioni derivate infinitesimali come un affinamento delle foliazioni derivate che incorpora la struttura del gruppo dei loop derivati $G_0$. Questo nuovo quadro ripristina l'integrabilità formale in tutte le caratteristiche e stabilisce un collegamento diretto con la coomologia infinitesimale. Sebbene il confronto completo con le foliazioni derivate classiche tramite il funtore red-shift rimanga parzialmente congetturale (in particolare per quanto riguarda la coerenza del funtore su oggetti equivarianti), il lavoro getta le basi per una teoria unificata delle foliazioni nella geometria algebrica derivata.