Infinitesimal derived foliations

1. Énoncé du problème

Le papier aborde les limites de la théorie existante des foliations dérivées (introduites dans Toë20 et TV), notamment concernant leur comportement en caractéristiques arbitraires (caractéristique non nulle) et leurs propriétés d'intégrabilité formelle.

• Le vide : Les foliations dérivées classiques sont liées à la cohomologie de de Rham et impliquent des actions du groupe empilé $BKer$ (lié au groupe cercle $S^1$ dans le cadre gradué). Cependant, ces structures ne satisfont pas toujours de forts résultats d'intégrabilité formelle en dehors de la caractéristique zéro.
• L'objectif : Les auteurs visent à introduire une nouvelle notion, les foliations dérivées infinitésimales, mieux adaptées aux caractéristiques arbitraires. Ces objets sont conçus pour être liés à la cohomologie infinitésimale (plutôt qu'à la cohomologie de de Rham) et pour satisfaire des théorèmes d'intégrabilité formelle analogues à ceux trouvés dans les travaux d'Ekedahl sur les foliations restreintes en caractéristique $p$.

2. Méthodologie et cadre

A. Empilés affines dérivés et modèles cosimpliciaux-simpliciaux

Les auteurs établissent une fondation algébrique robuste en utilisant des anneaux commutatifs cosimpliciaux-simpliciaux ($csCR$).

• Ils définissent une structure de catégorie de modèles sur $csCR$ où les équivalences faibles sont des quasi-isomorphismes complétés (morphismes induisant des quasi-isomorphismes sur le complexe total $Tot_\pi$).
• Ils construisent la $\infty$-catégorie des empilés affines dérivés ($dAff$) comme le dual de cette catégorie de modèles.
• Ils introduisent les empilés affines dérivés gradués ($dChAff_k^{gr}$) en utilisant des versions graduées de ces anneaux, permettant des actions du groupe multiplicatif $\mathbb{G}_m$.

B. Les schémas en groupes $G_0$ et $H_\pi$

Une innovation technique centrale est le passage du groupe $BKer$ (utilisé dans les théories précédentes de foliations dérivées) à un nouveau schéma en groupes :

• $G_0$ : Défini comme le schéma en boucles dérivé $\Omega_0 \mathbb{G}_a$ basé à l'origine. Il est équivalent à $\text{Spec}(k[\epsilon^{-1}])$, où $\epsilon^{-1}$ est un générateur en degré homotopique 1.
• $H_\pi$ : Le produit semi-direct $\mathbb{G}_m \ltimes G_0$.
• Théorie des représentations : Les représentations de $H_\pi$ correspondent aux complexes mixtes gradués où la structure mixte a un degré cohomologique 1 (noté $+_\epsilon\text{-dg}^{gr}_k$). Cela contraste avec les complexes mixtes standards de degré $-1$ utilisés dans les travaux antérieurs.

C. Le foncteur de décalage rouge ($RS$)

Les auteurs utilisent une équivalence de « décalage rouge » $RS: \epsilon\text{-dg}^{gr}_k \xrightarrow{\sim} +_\epsilon\text{-dg}^{gr}_k$.

• Ce foncteur décale le degré cohomologique de la structure mixte de $-1$à$1$.
• Crucialement, au niveau des objets de groupe, $RS$ envoie $BKer$ sur $G_0$.
• Les auteurs construisent une réalisation géométrique de ce décalage sur les empilés affines dérivés, bien qu'ils notent qu'il ne s'agit pas d'une équivalence parfaite au niveau des empilés en raison de subtilités liées aux objets libres et aux puissances divisées.

3. Définitions clés

Foliations dérivées infinitésimales (Définition 2.1) :
Soit $X$ un schéma affine dérivé. Une foliation dérivée infinitésimale sur $X$ consiste en :

1. Un complexe parfait $E$ (le complexe cotangent décalé).
2. Un empilé dérivé $H_\pi$-équivariant $F$ au-dessus de $X$.
3. La condition que $F$, en tant qu'empilé $\mathbb{G}_m$-équivariant, soit un empilé affine dérivé linéaire de la forme $V(E[-1])$.
4. L'action de $G_0$ sur $V(E[-1])$ doit être compatible avec les graduations naturelles.

Complexe cotangent :
Pour une foliation dérivée infinitésimale $F$, le complexe cotangent $L_{F/k}$ est défini de telle sorte que $F \simeq V(L_{F/k}[-1])$.

4. Résultats clés et contributions

A. Relation avec la cohomologie infinitésimale (Section 3)

Les auteurs prouvent que la théorie de cohomologie associée aux foliations dérivées infinitésimales retrouve la cohomologie infinitésimale classique.

• Théorème 3.2 : Pour un schéma affine lisse $X$, la cohomologie infinitésimale de la foliation « tautologique » $\ast_{X/k}$ (l'objet final dans la catégorie des foliations) est équivalente à la cohomologie infinitésimale dérivée complétée de $X$ :
  $$\hat{C}^*_{inf}(\ast_{X/k}, \mathcal{O}_X) \simeq R\hat{C}^*(X_{inf}, \mathcal{O})$$
• Cela établit que les foliations dérivées infinitésimales sont les objets géométriques dérivés corrects pour étudier la cohomologie infinitésimale, tout comme les foliations dérivées sont liées à la cohomologie de de Rham.

B. Intégrabilité formelle (Section 4)

Il s'agit du résultat technique le plus significatif.

• Corollaire 4.2 : La catégorie des foliations dérivées infinitésimales lisses sur un schéma lisse $X$ est équivalente à la catégorie des groupoïdes formels formellement lisses au-dessus de $X$.
• Mécanisme : Toute foliation dérivée infinitésimale lisse $F$ peut être formellement intégrée en un groupoïde formel $G_F$. La construction consiste à prendre l'espace des boucles $\Omega_X F$ et à le réaliser comme un groupoïde dans les schémas formels.
• Contraste : Ce résultat ne vaut pas pour les foliations dérivées classiques. Dans la théorie classique, une algèbre de Lie définit une foliation dérivée, mais elle ne s'intègre pas nécessairement en un groupoïde formel (surtout en caractéristique $p$). La version infinitésimale impose cette intégrabilité.

C. Comparaison avec les foliations dérivées classiques (Section 5)

Les auteurs proposent une relation entre les deux notions via la construction de décalage rouge :

• Ils suggèrent un foncteur « d'oubli » des foliations dérivées infinitésimales vers les foliations dérivées.
• Hypothèse : Une structure infinitésimale sur une foliation dérivée $F$ (une action de $G_0$ sur $V(L_F[-1])$) peut être obtenue en appliquant $RS$ à l'action de $BKer$ sur $V(L_F[1])$.
• Conjecture : Les foliations dérivées infinitésimales pourraient être équivalentes aux algébroïdes d'algèbres de partition (au sens de BCN21 et Fu), ce qui expliquerait leurs fortes propriétés d'intégrabilité.

5. Signification et implications

1. Indépendance de la caractéristique : La théorie fonctionne uniformément en caractéristiques arbitraires, contrairement à la théorie précédente des foliations dérivées qui reposait fortement sur des propriétés de caractéristique zéro (par exemple, l'équivalence entre cohomologie de de Rham et cohomologie infinitésimale).
2. Intégrabilité formelle : Le papier résout le problème de l'intégrabilité pour une classe spécifique d'objets géométriques dérivés. En reliant les foliations dérivées infinitésimales aux groupoïdes formels, il fournit une généralisation géométrique dérivée des résultats d'Ekedahl sur les foliations restreintes en caractéristique $p$.
3. Lien avec les algèbres de partition : Ce travail comble le fossé entre la géométrie algébrique dérivée et la théorie des algèbres de partition (via le travail de J. Fu), suggérant que les foliations dérivées infinitésimales sont les avatars géométriques des algébroïdes d'algèbres de partition.
4. Nouveaux outils cohomologiques : Il fournit un cadre dérivé pour calculer la cohomologie infinitésimale en utilisant le langage des empilés et de la géométrie dérivée équivariante, offrant une nouvelle perspective sur les théories de cohomologie cristalline et infinitésimale.

Conclusion

Toën et Vezzosi définissent avec succès les foliations dérivées infinitésimales comme un raffinement des foliations dérivées qui intègre la structure du groupe de boucles dérivé $G_0$. Ce nouveau cadre restaure l'intégrabilité formelle dans toutes les caractéristiques et établit un lien direct avec la cohomologie infinitésimale. Bien que la comparaison complète avec les foliations dérivées classiques via le foncteur de décalage rouge reste partiellement conjecturale (spécifiquement concernant la cohérence du foncteur sur les objets équivariants), le papier pose les bases d'une théorie unifiée des foliations en géométrie algébrique dérivée.