Infinitesimal derived foliations

1. Formulação do Problema

O artigo aborda as limitações da teoria existente de foliações derivadas (introduzida em Toë20 e TV), particularmente no que diz respeito ao seu comportamento em características arbitrárias (característica não nula) e às suas propriedades de integrabilidade formal.

• A Lacuna: As foliações derivadas clássicas estão relacionadas à cohomologia de de Rham e envolvem ações do grupo pilha $BKer$ (relacionado ao grupo círculo $S^1$ no contexto graduado). No entanto, essas estruturas nem sempre satisfazem resultados fortes de integrabilidade formal fora da característica zero.
• O Objetivo: Os autores visam introduzir uma nova noção, foliações derivadas infinitesimais, que são mais adequadas para características arbitrárias. Esses objetos são projetados para se relacionar com a cohomologia infinitesimal (em vez da cohomologia de de Rham) e para satisfazer teoremas de integrabilidade formal análogos aos encontrados no trabalho de Ekedahl sobre foliações restritas em característica $p$.

2. Metodologia e Estrutura

A. Pilhas Afins Derivadas e Modelos Simpliciais-Cosimpliciais

Os autores estabelecem uma fundação algébrica robusta utilizando anéis comutativos simpliciais-cosimpliciais ($csCR$).

• Eles definem uma estrutura de categoria de modelos em $csCR$ onde as equivalências fracas são quasi-isomorfismos completados (morfismos que induzem quasi-isomorfismos no complexo total $Tot_\pi$).
• Eles constroem a $\infty$-categoria de pilhas afins derivadas ($dAff$) como o oposto dessa categoria de modelos.
• Eles introduzem pilhas afins derivadas graduadas ($dChAff_k^{gr}$) usando versões graduadas desses anéis, permitindo ações do grupo multiplicativo $\mathbb{G}_m$.

B. Os Esquemas de Grupo $G_0$ e $H_\pi$

Uma inovação técnica central é a mudança do grupo $BKer$ (usado em teorias anteriores de foliações derivadas) para um novo esquema de grupo:

• $G_0$: Definido como o esquema de laço derivado $\Omega_0 \mathbb{G}_a$ baseado na origem. É equivalente a $\text{Spec}(k[\epsilon^{-1}])$, onde $\epsilon^{-1}$ é um gerador em grau homotópico 1.
• $H_\pi$: O produto semi-direto $\mathbb{G}_m \ltimes G_0$.
• Teoria de Representações: As representações de $H_\pi$ correspondem a complexos mistos graduados onde a estrutura mista tem grau cohomológico 1 (denotado $+_\epsilon\text{-dg}^{gr}_k$). Isso contrasta com os complexos mistos de grau padrão $-1$ usados em trabalhos anteriores.

C. O Functor de Deslocamento Vermelho ($RS$)

Os autores utilizam uma equivalência de "deslocamento vermelho" $RS: \epsilon\text{-dg}^{gr}_k \xrightarrow{\sim} +_\epsilon\text{-dg}^{gr}_k$.

• Este functor desloca o grau cohomológico da estrutura mista de $-1$ para $1$.
• Crucialmente, no nível de objetos de grupo, $RS$ mapeia $BKer$ para $G_0$.
• Os autores constroem uma realização geométrica desse deslocamento em pilhas afins derivadas, embora observem que não é uma equivalência perfeita no nível de pilhas devido a sutilezas com objetos livres e potências divididas.

3. Definições Chave

Foliações Derivadas Infinitesimais (Definição 2.1):
Seja $X$ um esquema afim derivado. Uma foliação derivada infinitesimal em $X$ consiste em:

1. Um complexo perfeito $E$ (o complexo cotangente deslocado).
2. Uma pilha derivada $H_\pi$-equivariante $F$ sobre $X$.
3. A condição de que $F$, como pilha $\mathbb{G}_m$-equivariante, é uma pilha afim derivada linear da forma $V(E[-1])$.
4. A ação de $G_0$ em $V(E[-1])$ deve ser compatível com as graduações naturais.

Complexo Cotangente:
Para uma foliação derivada infinitesimal $F$, o complexo cotangente $L_{F/k}$ é definido de modo que $F \simeq V(L_{F/k}[-1])$.

4. Resultados e Contribuições Principais

A. Relação com a Cohomologia Infinitesimal (Seção 3)

Os autores provam que a teoria de cohomologia associada às foliações derivadas infinitesimais recupera a clássica cohomologia infinitesimal.

• Teorema 3.2: Para um esquema afim suave $X$, a cohomologia infinitesimal da foliação "tautológica" $\ast_{X/k}$ (o objeto final na categoria de foliações) é equivalente à cohomologia infinitesimal derivada completada de $X$:
  $$\hat{C}^*_{inf}(\ast_{X/k}, \mathcal{O}_X) \simeq R\hat{C}^*(X_{inf}, \mathcal{O})$$
• Isso estabelece que as foliações derivadas infinitesimais são os objetos geométricos derivados corretos para estudar a cohomologia infinitesimal, assim como as foliações derivadas se relacionam com a cohomologia de de Rham.

B. Integrabilidade Formal (Seção 4)

Este é o resultado técnico mais significativo.

• Corolário 4.2: A categoria de foliações derivadas infinitesimais suaves em um esquema suave $X$ é equivalente à categoria de grupos formais formalmente suaves sobre $X$.
• Mecanismo: Qualquer foliação derivada infinitesimal suave $F$ pode ser formalmente integrada em um grupóide formal $G_F$. A construção envolve tomar o espaço de laços $\Omega_X F$ e realizá-lo como um grupóide em esquemas formais.
• Contraste: Este resultado não se aplica a foliações derivadas clássicas. Na teoria clássica, uma álgebra de Lie define uma foliação derivada, mas ela não necessariamente se integra a um grupóide formal (especialmente em característica $p$). A versão infinitesimal força essa integrabilidade.

C. Comparação com Foliações Derivadas Clássicas (Seção 5)

Os autores propõem uma relação entre as duas noções através da construção de Deslocamento Vermelho:

• Eles sugerem um functor "de esquecimento" de foliações derivadas infinitesimais para foliações derivadas.
• Hipótese: Uma estrutura infinitesimal em uma foliação derivada $F$ (uma ação de $G_0$ em $V(L_F[-1])$) pode ser obtida aplicando $RS$ à ação de $BKer$ em $V(L_F[1])$.
• Conjectura: As foliações derivadas infinitesimais podem ser equivalentes a álgebroides de Lie de partição (no sentido de BCN21 e Fu), o que explica suas fortes propriedades de integrabilidade.

5. Significado e Implicações

1. Independência de Característica: A teoria funciona uniformemente em características arbitrárias, ao contrário da teoria anterior de foliações derivadas, que dependia fortemente de propriedades de característica zero (por exemplo, a equivalência entre cohomologia de de Rham e cohomologia infinitesimal).
2. Integrabilidade Formal: O artigo resolve o problema de integrabilidade para uma classe específica de objetos geométricos derivados. Ao vincular foliações derivadas infinitesimais a grupóides formais, fornece uma generalização derivada-geométrica dos resultados de Ekedahl sobre foliações restritas em característica $p$.
3. Conexão com Álgebras de Lie de Partição: O trabalho preenche a lacuna entre a geometria algébrica derivada e a teoria das álgebras de Lie de partição (através do trabalho de J. Fu), sugerindo que as foliações derivadas infinitesimais são os avatares geométricos dos álgebroides de Lie de partição.
4. Novas Ferramentas Cohomológicas: Fornece um quadro derivado para calcular a cohomologia infinitesimal usando a linguagem de pilhas e geometria derivada equivariante, oferecendo uma nova perspectiva sobre teorias de cohomologia cristalina e infinitesimal.

Conclusão

Toën e Vezzosi definem com sucesso foliações derivadas infinitesimais como um refinamento das foliações derivadas que incorpora a estrutura do grupo de laço derivado $G_0$. Este novo quadro restaura a integrabilidade formal em todas as características e estabelece um vínculo direto com a cohomologia infinitesimal. Embora a comparação completa com foliações derivadas clássicas via o functor de deslocamento vermelho permaneça parcialmente conjectural (especificamente no que diz respeito à coerência do functor em objetos equivariantes), o artigo estabelece as bases para uma teoria unificada de foliações na geometria algébrica derivada.