Infinitesimal derived foliations

Aquí se presenta un resumen técnico detallado del artículo "Infinitesimal Derived Foliations" de Bertrand Toën y Gabriele Vezzosi.

1. Planteamiento del Problema

El artículo aborda las limitaciones de la teoría existente de foliaciones derivadas (introducida en Toë20 y TV), particularmente en lo que respecta a su comportamiento en características arbitrarias (característica no nula) y sus propiedades de integrabilidad formal.

• La Brecha: Las foliaciones derivadas clásicas están relacionadas con la cohomología de de Rham e involucran acciones del pila de grupos $BKer$ (relacionada con el grupo círculo $S^1$ en el contexto graduado). Sin embargo, estas estructuras no siempre satisfacen resultados fuertes de integrabilidad formal fuera de la característica cero.
• El Objetivo: Los autores buscan introducir una nueva noción, foliaciones derivadas infinitesimales, que sean más adecuadas para características arbitrarias. Estos objetos están diseñados para relacionarse con la cohomología infinitesimal (en lugar de la cohomología de de Rham) y para satisfacer teoremas de integrabilidad formal análogos a los encontrados en el trabajo de Ekedahl sobre foliaciones restringidas en característica $p$.

2. Metodología y Marco

A. Pilas Afines Derivadas y Modelos Cosimpliciales-Simpliciales

Los autores establecen una base algebraica robusta utilizando anillos conmutativos cosimpliciales-simpliciales ($csCR$).

• Definen una estructura de categoría de modelos en $csCR$ donde las equivalencias débiles son cuasi-isomorfismos completados (morfismos que inducen cuasi-isomorfismos en el complejo total $Tot_\pi$).
• Construyen la $\infty$-categoría de pilaf afines derivadas ($dAff$) como el opuesto de esta categoría de modelos.
• Introducen pilaf afines derivadas graduadas ($dChAff_k^{gr}$) utilizando versiones graduadas de estos anillos, lo que permite acciones del grupo multiplicativo $\mathbb{G}_m$.

B. Los Esquemas de Grupos $G_0$ y $H_\pi$

Una innovación técnica central es el cambio desde el grupo $BKer$ (utilizado en teorías previas de foliaciones derivadas) hacia un nuevo esquema de grupos:

• $G_0$: Definido como el esquema de bucles derivado $\Omega_0 \mathbb{G}_a$ basado en el origen. Es equivalente a $\text{Spec}(k[\epsilon^{-1}])$, donde $\epsilon^{-1}$ es un generador en grado homotópico 1.
• $H_\pi$: El producto semidirecto $\mathbb{G}_m \ltimes G_0$.
• Teoría de Representaciones: Las representaciones de $H_\pi$ corresponden a complejos mixtos graduados donde la estructura mixta tiene grado cohomológico 1 (denotado $+_\epsilon\text{-dg}^{gr}_k$). Esto contrasta con los complejos mixtos estándar de grado $-1$ utilizados en trabajos anteriores.

C. El Functor de Desplazamiento Rojo ($RS$)

Los autores utilizan una equivalencia de "desplazamiento rojo" $RS: \epsilon\text{-dg}^{gr}_k \xrightarrow{\sim} +_\epsilon\text{-dg}^{gr}_k$.

• Este functor desplaza el grado cohomológico de la estructura mixta de $-1$a$1$.
• Crucialmente, a nivel de objetos de grupo, $RS$ mapea $BKer$a$G_0$.
• Los autores construyen una realización geométrica de este desplazamiento en pilas afines derivadas, aunque señalan que no es una equivalencia perfecta a nivel de pilas debido a sutilezas con objetos libres y potencias divididas.

3. Definiciones Clave

Foliaciones Derivadas Infinitesimales (Definición 2.1):
Sea $X$ un esquema afín derivado. Una foliación derivada infinitesimal sobre $X$ consiste en:

1. Un complejo perfecto $E$ (el complejo cotangente desplazado).
2. Una pila derivada $H_\pi$-equivariante $F$ sobre $X$.
3. La condición de que $F$, como pila $\mathbb{G}_m$-equivariante, es una pila afine derivada lineal de la forma $V(E[-1])$.
4. La acción de $G_0$ sobre $V(E[-1])$ debe ser compatible con las graduaciones naturales.

Complejo Cotangente:
Para una foliación derivada infinitesimal $F$, el complejo cotangente $L_{F/k}$ se define de tal manera que $F \simeq V(L_{F/k}[-1])$.

4. Resultados Clave y Contribuciones

A. Relación con la Cohomología Infinitesimal (Sección 3)

Los autores demuestran que la teoría de cohomología asociada a las foliaciones derivadas infinitesimales recupera la cohomología infinitesimal clásica.

• Teorema 3.2: Para un esquema afín suave $X$, la cohomología infinitesimal de la foliación "tautológica" $\ast_{X/k}$ (el objeto final en la categoría de foliaciones) es equivalente a la cohomología infinitesimal derivada completada de $X$:
  $$\hat{C}^*_{inf}(\ast_{X/k}, \mathcal{O}_X) \simeq R\hat{C}^*(X_{inf}, \mathcal{O})$$
• Esto establece que las foliaciones derivadas infinitesimales son los objetos geométricos derivados correctos para estudiar la cohomología infinitesimal, así como las foliaciones derivadas se relacionan con la cohomología de de Rham.

B. Integrabilidad Formal (Sección 4)

Este es el resultado técnico más significativo.

• Corolario 4.2: La categoría de foliaciones derivadas infinitesimales suaves sobre un esquema suave $X$ es equivalente a la categoría de grupos formales formalmente suaves sobre $X$.
• Mecanismo: Cualquier foliación derivada infinitesimal suave $F$ puede integrarse formalmente en un grupoide formal $G_F$. La construcción implica tomar el espacio de bucles $\Omega_X F$ y realizarlo como un grupoide en esquemas formales.
• Contraste: Este resultado no se cumple para las foliaciones derivadas clásicas. En la teoría clásica, un álgebra de Lie define una foliación derivada, pero no necesariamente se integra a un grupoide formal (especialmente en característica $p$). La versión infinitesimal fuerza esta integrabilidad.

C. Comparación con Foliaciones Derivadas Clásicas (Sección 5)

Los autores proponen una relación entre ambas nociones a través de la construcción de Desplazamiento Rojo:

• Sugieren un funtor "olvidadizo" desde las foliaciones derivadas infinitesimales hacia las foliaciones derivadas.
• Hipótesis: Una estructura infinitesimal sobre una foliación derivada $F$ (una acción de $G_0$ sobre $V(L_F[-1])$) puede obtenerse aplicando $RS$ a la acción de $BKer$ sobre $V(L_F[1])$.
• Conjetura: Las foliaciones derivadas infinitesimales pueden ser equivalentes a algebroides de álgebras de partición (en el sentido de BCN21 y Fu), lo que explicaría sus fuertes propiedades de integrabilidad.

5. Significado e Implicaciones

1. Independencia de la Característica: La teoría funciona uniformemente en características arbitrarias, a diferencia de la teoría previa de foliaciones derivadas que dependía fuertemente de propiedades de característica cero (por ejemplo, la equivalencia entre cohomología de de Rham e infinitesimal).
2. Integrabilidad Formal: El artículo resuelve el problema de la integrabilidad para una clase específica de objetos geométricos derivados. Al vincular las foliaciones derivadas infinitesimales con grupos formales, proporciona una generalización derivada-geométrica de los resultados de Ekedahl sobre foliaciones restringidas en característica $p$.
3. Conexión con Álgebras de Partición: El trabajo cierra la brecha entre la geometría algebraica derivada y la teoría de álgebras de partición (a través del trabajo de J. Fu), sugiriendo que las foliaciones derivadas infinitesimales son los avatares geométricos de los algebroides de álgebras de partición.
4. Nuevas Herramientas Cohomológicas: Proporciona un marco derivado para calcular la cohomología infinitesimal utilizando el lenguaje de pilas y geometría derivada equivariante, ofreciendo una nueva perspectiva sobre las teorías de cohomología cristalina e infinitesimal.

Conclusión

Toën y Vezzosi definen con éxito las foliaciones derivadas infinitesimales como un refinamiento de las foliaciones derivadas que incorpora la estructura del grupo de bucles derivado $G_0$. Este nuevo marco restaura la integrabilidad formal en todas las características y establece un vínculo directo con la cohomología infinitesimal. Si bien la comparación completa con las foliaciones derivadas clásicas a través del funtor de desplazamiento rojo sigue siendo parcialmente conjetural (específicamente en lo que respecta a la coherencia del funtor sobre objetos equivariantes), el artículo sienta las bases para una teoría unificada de foliaciones en la geometría algebraica derivada.