Infinitesimal derived foliations

1. Probleemstelling

Het artikel behandelt de beperkingen van de bestaande theorie van afgeleide foliaties (geïntroduceerd in Toë20 en TV), met name wat betreft hun gedrag in willekeurige kenmerken (niet-nul karakteristiek) en hun eigenschappen van formele integreerbaarheid.

• Het Gat: Klassieke afgeleide foliaties zijn gerelateerd aan de de Rham-cohomologie en omvatten acties van de groepstack $BKer$ (gerelateerd aan de cirkelgroep $S^1$ in de gegradueerde setting). Deze structuren voldoen echter niet altijd aan sterke resultaten van formele integreerbaarheid buiten karakteristiek nul.
• Het Doel: De auteurs beogen een nieuw begrip in te voeren, infinitesimale afgeleide foliaties, die beter geschikt zijn voor willekeurige kenmerken. Deze objecten zijn ontworpen om te verwijzen naar infinitesimale cohomologie (in plaats van de Rham-cohomologie) en om formele integreerbaarheidsstellingen te voldoen die analoog zijn aan die gevonden in het werk van Ekedahl over beperkte foliaties in karakteristiek $p$.

2. Methodologie en Kader

A. Afgeleide Affiene Stacks en Cosimpliciaal-Simpliciale Modellen

De auteurs leggen een robuuste algebraïsche basis met behulp van cosimpliciaal-simpliciale commutatieve ringen ($csCR$).

• Zij definiëren een modelcategorie-structuur op $csCR$ waarbij zwakke equivalenties gecompleeteerde quasi-isomorfismen zijn (morfismen die quasi-isomorfismen induceren op het totale complex $Tot_\pi$).
• Zij construeren de $\infty$-categorie van afgeleide affiene stacks ($dAff$) als het tegenovergestelde van deze modelcategorie.
• Zij introduceren gegradueerde afgeleide affiene stacks ($dChAff_k^{gr}$) met behulp van gegradueerde versies van deze ringen, waardoor acties van de multiplicatieve groep $\mathbb{G}_m$ mogelijk zijn.

B. De Groepschema's $G_0$ en $H_\pi$

Een centrale technische innovatie is de verschuiving van de groep $BKer$ (gebruikt in eerdere theorieën over afgeleide foliaties) naar een nieuw groepschema:

• $G_0$: Gedefinieerd als het afgeleide lus-schema $\Omega_0 \mathbb{G}_a$ gebaseerd op de oorsprong. Het is equivalent aan $\text{Spec}(k[\epsilon^{-1}])$, waarbij $\epsilon^{-1}$ een generator is in homotopische graad 1.
• $H_\pi$: Het semi-direct product $\mathbb{G}_m \ltimes G_0$.
• Representatietheorie: Representaties van $H_\pi$ corresponderen met gegradueerde gemengde complexen waarbij de gemengde structuur cohomologische graad 1 heeft (aangeduid als $+_\epsilon\text{-dg}^{gr}_k$). Dit staat in contrast met de standaard gemengde complexen met graad $-1$ die in eerdere werken werden gebruikt.

C. De Red-Shift Functor ($RS$)

De auteurs maken gebruik van een "red-shift" equivalentie $RS: \epsilon\text{-dg}^{gr}_k \xrightarrow{\sim} +_\epsilon\text{-dg}^{gr}_k$.

• Deze functor verschuift de cohomologische graad van de gemengde structuur van $-1$ naar $1$.
• Cruciaal is dat, op het niveau van groepsobjecten, $RS$ de $BKer$ afbeeldt op $G_0$.
• De auteurs construeren een geometrische realisatie van deze verschuiving op afgeleide affiene stacks, hoewel zij opmerken dat het geen perfecte equivalentie is op het niveau van stacks vanwege subtiliteiten met vrije objecten en gedeelde machten.

3. Belangrijkste Definities

Infinitesimale Afgeleide Foliaties (Definitie 2.1):
Laat $X$ een afgeleid affien schema zijn. Een infinitesimale afgeleide foliatie op $X$ bestaat uit:

1. Een perfect complex $E$ (het verschoven cotangentieel complex).
2. Een $H_\pi$-equivariante afgeleide stack $F$ over $X$.
3. De voorwaarde dat $F$, als een $\mathbb{G}_m$-equivariante stack, een lineaire afgeleide affiene stack is van de vorm $V(E[-1])$.
4. De actie van $G_0$ op $V(E[-1])$ moet compatibel zijn met de natuurlijke gradaties.

Cotangentieel Complex:
Voor een infinitesimale afgeleide foliatie $F$ is het cotangentieel complex $L_{F/k}$ zodanig gedefinieerd dat $F \simeq V(L_{F/k}[-1])$.

4. Belangrijkste Resultaten en Bijdragen

A. Relatie tot Infinitesimale Cohomologie (Sectie 3)

De auteurs bewijzen dat de cohomologietheorie geassocieerd met infinitesimale afgeleide foliaties de klassieke infinitesimale cohomologie herstelt.

• Stelling 3.2: Voor een glad affien schema $X$ is de infinitesimale cohomologie van de "tautologische" foliatie $\ast_{X/k}$ (het eindobject in de categorie van foliaties) equivalent aan de gecompleeteerde afgeleide infinitesimale cohomologie van $X$:
  $$\hat{C}^*_{inf}(\ast_{X/k}, \mathcal{O}_X) \simeq R\hat{C}^*(X_{inf}, \mathcal{O})$$
• Dit vestigt dat infinitesimale afgeleide foliaties de juiste afgeleide geometrische objecten zijn om infinitesimale cohomologie te bestuderen, net zoals afgeleide foliaties gerelateerd zijn aan de Rham-cohomologie.

B. Formele Integreerbaarheid (Sectie 4)

Dit is het meest significante technische resultaat.

• Corollarium 4.2: De categorie van gladde infinitesimale afgeleide foliaties op een glad schema $X$ is equivalent aan de categorie van formeel gladde formele groepoïden over $X$.
• Mechanisme: Elke gladde infinitesimale afgeleide foliatie $F$ kan formeel worden geïntegreerd tot een formele groepoïde $G_F$. De constructie omvat het nemen van de lusruimte $\Omega_X F$ en het realiseren ervan als een groepoïde in formele schema's.
• Contrast: Dit resultaat geldt niet voor klassieke afgeleide foliaties. In de klassieke theorie definieert een Lie-algebra een afgeleide foliatie, maar deze integreert niet noodzakelijk tot een formele groepoïde (vooral in karakteristiek $p$). De infinitesimale versie dwingt deze integreerbaarheid af.

C. Vergelijking met Klassieke Afgeleide Foliaties (Sectie 5)

De auteurs stellen een relatie voor tussen de twee begrippen via de Red-Shift constructie:

• Zij suggereren een "vergetende" functor van infinitesimale afgeleide foliaties naar afgeleide foliaties.
• Hypothese: Een infinitesimale structuur op een afgeleide foliatie $F$ (een actie van $G_0$ op $V(L_F[-1])$) kan worden verkregen door $RS$ toe te passen op de actie van $BKer$ op $V(L_F[1])$.
• Conjectuur: Infinitesimale afgeleide foliaties kunnen equivalent zijn aan partition Lie-algebroiden (in de zin van BCN21 en Fu), wat hun sterke integreerbaarheidseigenschappen verklaart.

5. Betekenis en Implicaties

1. Onafhankelijkheid van Karakteristiek: De theorie werkt uniform in willekeurige kenmerken, in tegenstelling tot de eerdere theorie van afgeleide foliaties die zwaar leunde op eigenschappen van karakteristiek nul (bijvoorbeeld de equivalentie tussen de Rham- en infinitesimale cohomologie).
2. Formele Integreerbaarheid: Het artikel lost het probleem van integreerbaarheid op voor een specifieke klasse van afgeleide geometrische objecten. Door infinitesimale afgeleide foliaties te koppelen aan formele groepoïden, biedt het een afgeleid-geometrische generalisatie van Ekedahl's resultaten over beperkte foliaties in karakteristiek $p$.
3. Verbinding met Partition Lie-algebra's: Het werk overbrugt de kloof tussen afgeleide algebraïsche geometrie en de theorie van partition Lie-algebra's (via het werk van J. Fu), wat suggereert dat infinitesimale afgeleide foliaties de geometrische avatar zijn van partition Lie-algebroiden.
4. Nieuwe Cohomologische Hulpmiddelen: Het biedt een afgeleid kader voor het berekenen van infinitesimale cohomologie met behulp van de taal van stacks en equivariante afgeleide geometrie, wat een nieuw perspectief biedt op kristallijne en infinitesimale cohomologietheorieën.

Conclusie

Toën en Vezzosi definiëren succesvol infinitesimale afgeleide foliaties als een verfijning van afgeleide foliaties die de structuur van de afgeleide lusgroep $G_0$ integreert. Dit nieuwe kader herstelt formele integreerbaarheid in alle kenmerken en vestigt een directe link met infinitesimale cohomologie. Hoewel de volledige vergelijking met klassieke afgeleide foliaties via de red-shift functor deels conjecturaal blijft (met name wat betreft de coherentie van de functor op equivariante objecten), legt het artikel de basis voor een verenigde theorie van foliaties in de afgeleide algebraïsche geometrie.