On quotients of numerical semigroups for almost arithmetic progressions

1. Il Problema

Il lavoro si concentra sullo studio dei quozienti di semigruppi numerici. Dato un semigruppo numerico $\langle A \rangle$ generato da un insieme di interi positivi $\{a_1, a_2, \dots, a_n\}$ con $\gcd(A)=1$, e un intero positivo $p$, il quoziente è definito come:
$$\langle A \rangle_p = \{x \in \mathbb{N} \mid px \in \langle A \rangle\}$$
Sebbene sia noto che $\langle A \rangle_p$ sia esso stesso un semigruppo numerico, il calcolo dei suoi invarianti fondamentali è computazionalmente complesso. Gli invarianti principali sono:

1. Il numero di Frobenius $F(\langle A \rangle_p)$: il più grande intero non appartenente al semigruppo.
2. Il genere $g(\langle A \rangle_p)$: il numero di interi positivi mancanti nel semigruppo.

Il problema specifico affrontato è la derivazione di formule chiuse per questi invarianti quando il semigruppo originale $\langle A \rangle$ appartiene alla classe delle progressioni aritmetiche quasi (e loro varianti) e quando $p$ è un divisore positivo del primo generatore $a_1$. Questo lavoro risponde parzialmente a un problema aperto proposto da Adeniran et al. [1] riguardante le progressioni aritmetiche $A = (a, a+d, \dots, a+kd)$ con $p|a$.

2. Metodologia

L'autore adotta un approccio basato sulla riduzione del calcolo dell'insieme di Apéry a un problema di minimizzazione semplice.

• Insieme di Apéry: Per un elemento $a \in \langle A \rangle$, l'insieme di Apéry è definito come $Ap(\langle A \rangle, a) = \{w \in \langle A \rangle \mid w - a \notin \langle A \rangle\}$. Una volta ottenuto questo insieme, il numero di Frobenius e il genere possono essere calcolati direttamente tramite le formule di Brauer e Selmer (Lemma 2.1).
• Riduzione a Minimizzazione: Il cuore della metodologia risiede nella Proposizione 2.2. L'autore dimostra che, quando $p | a$, gli elementi dell'insieme di Apéry del quoziente $\langle A \rangle_p$ possono essere espressi come soluzione di un problema di ottimizzazione lineare discreta, denotato come $OB(M)$.
  Specificamente, per un semigruppo della forma $A = (a, ha + dB)$, gli elementi dell'insieme di Apéry $N_{dr,p}$ sono dati da:
  $$N_{dr,p} = \min \left\{ OB(ma + rp) \cdot \frac{ha}{p} + \left(\frac{ma}{p} + r\right)d \mid m \in \mathbb{N} \right\}$$
  dove $OB(M) = \min \{ \sum x_i \mid \sum b_i x_i = M, x_i \in \mathbb{N} \}$.
• Analisi della Monotonia: Una volta ottenuta la formula esplicita per $OB(M)$ in base alla struttura specifica di $A$ (progressioni aritmetiche), l'autore analizza la funzione $N_{dr,p}(m)$. Se questa funzione è crescente rispetto a $m$, il minimo si ottiene per $m=0$, permettendo di derivare formule chiuse per gli invarianti.

3. Contributi Chiave e Risultati Principali

Il paper presenta una serie di teoremi che forniscono formule esplicite per il numero di Frobenius e il genere del quoziente per diverse classi di semigruppi.

A. Teorema Generale di Riduzione (Teorema 1.2)

Per un semigruppo $A = (a, db_1, \dots, db_k)$, l'autore stabilisce una relazione di scala tra il quoziente del semigruppo scalato e quello originale:
$$F\left(\frac{\langle a, dB \rangle}{p}\right) = d \cdot F\left(\frac{\langle a, B \rangle}{p}\right) + \frac{a(d-1)}{p}$$
$$g\left(\frac{\langle a, dB \rangle}{p}\right) = d \cdot g\left(\frac{\langle a, B \rangle}{p}\right) + \frac{(a-p)(d-1)}{2p}$$
Questo risultato semplifica notevolmente il calcolo per semigruppi con generatori multipli di un fattore $d$.

B. Progressioni Aritmetiche Quasi (Teorema 1.3)

Per $A = (a, ha+d, ha+2d, \dots, ha+kd)$ con $p|a$, vengono fornite formule chiuse:

• Frobenius: $F(\langle A \rangle_p) = \lceil \frac{a-p}{k} \rceil \cdot \frac{ha}{p} + \frac{a(d-1)}{p} - d$.
• Genere: Una formula che coinvolge una somma di funzioni parte intera.
• Nota: Quando $h=1$, questo risolve parzialmente il Problema Aperto 1.1 di Adeniran et al. per il caso $p|a$.

C. Progressioni con "Gap" Iniziali (Teorema 1.4)

Per $A = (a, ha+(K+1)d, \dots, ha+kd)$, dove mancano i primi termini della progressione, l'autore deriva formule distinte a seconda che $p > K$ o $p \le K$. Il caso $p \le K$ richiede una trattazione più complessa dell'insieme di Apéry a causa della presenza di gap iniziali.

D. Casi Speciali (Teoremi 1.5 e 1.6)

• Teorema 1.5: Tratta il caso specifico di tre generatori $A = (a, ha-d, ha+d)$. Viene fornita una formula per il massimo tra due espressioni lineari per il numero di Frobenius.
• Teorema 1.6: Tratta progressioni con termini dispari $A = (a, ha+d, ha+3d, \dots)$. Viene derivata una formula chiusa quando il resto $t'$ nella divisione di $a-p$ per il numero di termini è pari. Il caso in cui $t'$ è dispari è identificato come complesso e non ammette una formula chiusa semplice.

4. Significato e Impatto

• Risoluzione Parziale di Problemi Aperti: Il lavoro fornisce una soluzione parziale ma significativa al Problema Aperto 1.1 proposto da Adeniran et al., limitando il campo ai casi in cui $p$ è un divisore di $a$.
• Metodologia Unificata: L'approccio basato sulla riduzione dell'insieme di Apéry a un problema di minimizzazione $OB(M)$ offre un metodo sistematico e potente che può essere applicato ad altre classi di semigruppi oltre alle semplici progressioni aritmetiche.
• Verifica Computazionale: I risultati sono stati verificati utilizzando il pacchetto GAP numericalsgps, confermando la correttezza delle formule derivate.
• Generalizzazione: Il paper estende risultati noti (come quelli di Selmer e Roberts per $p=1$) al caso generale dei quozienti, fornendo strumenti analitici per calcolare invarianti che erano precedentemente difficili da determinare senza algoritmi computazionali pesanti.

In sintesi, il paper di Liu rappresenta un avanzamento teorico significativo nella teoria dei semigruppi numerici, trasformando problemi di calcolo complessi in problemi di ottimizzazione gestibili e fornendo formule analitiche per una vasta gamma di strutture algebriche.