On quotients of numerical semigroups for almost arithmetic progressions

1. 연구 배경 및 문제 제기 (Problem)

• 수치 반군 (Numerical Semigroup): 자연수 집합 $\mathbb{N}$ 의 부분집합으로, 덧셈에 대해 닫혀 있고, 0 을 포함하며, 유한 개의 자연수를 제외한 모든 자연수를 포함하는 집합을 의미합니다. 생성 집합 $A = \{a_1, a_2, ..., a_n\}$ 에 의해 생성된 반군을 $\langle A \rangle$ 로 표기합니다.
• 몫 (Quotient): 양의 정수 $p$ 에 대한 $\langle A \rangle$ 의 몫은 $\langle A \rangle_p = \{x \in \mathbb{N} \mid px \in \langle A \rangle\}$ 로 정의됩니다. 이는 또한 수치 반군이 되지만, 그 구조를 분석하고 불변량을 계산하는 것은 매우 어렵습니다.
• 주요 불변량:
  • Frobenius 수 ($F(A)$): $\langle A \rangle$ 에 속하지 않는 가장 큰 정수.
  • 종수 (Genus, $g(A)$): $\langle A \rangle$ 에 속하지 않는 자연수의 개수.
• 연구 동기와 미해결 문제:
  • $n=2$ 인 경우 (Sylvester) 에는 폐쇄형 공식이 알려져 있으나, $n \ge 3$ 인 경우 일반적 공식은 존재하지 않습니다.
  • Adeniran 등 (2023) 은 $A = (a, a+d, ..., a+kd)$ 형태의 거의 산술 수열 (Almost Arithmetic Progressions) 에 대해 $p|a$ 일 때 Frobenius 수와 종수의 공식을 구하는 문제를 제기했습니다.
  • 본 논문은 $p$ 가 $a_1$ 의 약수인 경우를 가정하고, Adeniran 등이 제기한 오픈 문제 (Open Problem 1.1) 를 부분적으로 해결하고, 다양한 변형된 거의 산술 수열에 대한 공식을 유도하는 것을 목표로 합니다.

2. 방법론 (Methodology)

본 논문은 수치 반군의 Apéry 집합 (Apéry set) 을 활용한 축소 기법을 핵심 방법론으로 사용합니다.

• Apéry 집합의 정의: $a \in \langle A \rangle \setminus \{0\}$ 에 대해, $Ap(\langle A \rangle, a) = \{w \in \langle A \rangle \mid w - a \notin \langle A \rangle\}$ 입니다. 이는 $\{N_0, N_1, ..., N_{a-1}\}$ 형태로 표현되며, 여기서 $N_r$ 은 $r \pmod a$ 를 만족하는 $\langle A \rangle$ 의 최소 원소입니다.
• 불변량 계산 (Lemma 2.1): Apéry 집합 $\{N_r\}$ 이 주어지면 Frobenius 수와 종수는 다음과 같이 쉽게 계산됩니다.
  • $F(A) = \max(N_r) - a$
  • $g(A) = \frac{1}{a} \sum N_r - \frac{a-1}{2}$
• Apéry 집합의 축소 (Reduction):
  • $p|a$ 일 때, 몫 반군 $\langle A \rangle_p$ 의 $a/p$ 에 대한 Apéry 집합 원소 $N_{dr, p}$ 를 구하는 문제를 단순한 최소화 문제 (Minimization Problem) 로 환원합니다.
  • 생성 집합이 $A = (a, ha + db_1, ..., ha + db_k)$ 형태일 때, Apéry 집합의 원소는 다음과 같이 표현됩니다.
    $$N_{dr, p} = \min \left\{ OB(ma + rp) \cdot \frac{ha}{p} + \left(\frac{ma}{p} + r\right)d \mid m \in \mathbb{N} \right\}$$
    여기서 $OB(M)$은$\sum b_i x_i = M$을 만족하는$\sum x_i$ 의 최소값을 구하는 함수입니다.
  • 이 최소화 문제를 해결하여 $N_{dr, p}$ 의 명시적 공식을 유도하고, 이를 통해 Frobenius 수와 종수의 폐쇄형 공식을 도출합니다.

3. 주요 결과 및 기여 (Key Contributions & Results)

저자는 $p|a$ 인 조건 하에서 다양한 형태의 생성 집합에 대해 Frobenius 수와 종수의 공식을 제시했습니다.

3.1. 일반화된 스케일링 정리 (Theorem 1.2)

• 생성 집합 $A = (a, db_1, ..., db_k)$ 에 대해, $d$ 를 곱한 경우의 몫 반군 불변량을 기본 반군 $\langle a, b_1, ..., b_k \rangle$ 의 불변량과 $a, d, p$ 를 사용하여 표현했습니다.
• 공식:
  • $F(\langle A \rangle_p) = d \cdot F(\langle a, b_1, ..., b_k \rangle_p) + \frac{a(d-1)}{p}$
  • $g(\langle A \rangle_p) = d \cdot g(\langle a, b_1, ..., b_k \rangle_p) + \frac{(a-p)(d-1)}{2p}$

3.2. 거의 산술 수열 (Almost Arithmetic Progressions, Theorem 1.3)

• $A = (a, ha+d, ha+2d, ..., ha+kd)$ 형태에 대한 공식 유도.
• $p|a$ 일 때, $F(\langle A \rangle_p)$ 와 $g(\langle A \rangle_p)$ 에 대한 명시적 공식을 제시했습니다.
• $h=1$ 인 경우, Adeniran 등의 오픈 문제에 대한 부분적 해답이 됩니다.

3.3. 초기 간격이 있는 거의 산술 수열 (Theorem 1.4)

• $A = (a, ha+(K+1)d, ..., ha+kd)$ 형태로, 초기 항들이 생략된 경우를 다룹니다.
• $p > K$ 인 경우와 $p \le K$ 인 경우로 나누어 서로 다른 공식을 유도했습니다. 특히 $p \le K$ 인 경우 $K$ 와 $p$ 의 관계에 따라 Apéry 집합의 최대값이 달라지는 복잡한 구조를 분석했습니다.

3.4. 특이한 형태의 수열 (Theorem 1.5, 1.6)

• Theorem 1.5: $A = (a, ha-d, ha+d)$ 형태의 3 항 생성 집합에 대한 공식.
• Theorem 1.6: $A = (a, ha+d, ha+3d, ..., ha+(2k+1)d)$ 형태의 홀수 간격 산술 수열.
  • $t' \equiv 0 \pmod 2$ 인 경우 (즉, $a-p$ 를 $2k+1$ 로 나눈 나머지가 짝수일 때) 폐쇄형 공식을 제시했습니다.
  • $t'$ 가 홀수인 경우 공식 도출이 복잡하여 폐쇄형 공식을 얻기 어렵다고 명시했습니다.

4. 검증 및 예시

• 제시된 공식들의 정확성을 검증하기 위해 GAP (Groups, Algorithms, Programming) 패키지의 numericalsgps 모듈을 사용하여 여러 예시 (Example 3.1 ~ 3.4) 에 대해 계산을 수행하고 결과를 확인했습니다.
• 예: $a=84, h=3, d=101, k=4, p=14$ 일 때, 유도된 공식에 의해 $F=823, g=412$ 가 도출되었으며 이는 GAP 계산 결과와 일치했습니다.

5. 의의 및 결론 (Significance)

• 이론적 기여: 수치 반군의 몫 (Quotient) 연산에 대한 체계적인 분석 방법을 제시했습니다. 특히 Apéry 집합을 최소화 문제로 환원시키는 기법은 복잡한 불변량 계산을 단순화하는 강력한 도구로 작용합니다.
• 오픈 문제 해결: Adeniran 등이 제기한 거의 산술 수열에 대한 몫 반군의 불변량 계산 문제를 $p|a$ 인 경우에 대해 부분적으로 해결했습니다.
• 확장성: 생성 집합의 형태를 일반화하여 (스케일링, 초기 간격, 홀수 간격 등) 다양한 특수한 수치 반군 클래스에 적용 가능한 공식을 제공함으로써, 향후 관련 연구의 기초를 마련했습니다.
• 한계: $p$ 가 $a$ 의 약수가 아닌 경우나, $t'$ 가 홀수인 특정 경우 (Theorem 1.6) 에 대해서는 폐쇄형 공식을 얻지 못했으므로, 이는 향후 연구 과제로 남았습니다.

요약하자면, 이 논문은 수치 반군의 몫 연산에서 발생하는 복잡한 구조를 Apéry 집합의 성질을 이용하여 체계적으로 분석하고, 거의 산술 수열을 포함한 다양한 생성 집합에 대해 Frobenius 수와 종수의 명시적 공식을 성공적으로 유도한 중요한 연구입니다.