On quotients of numerical semigroups for almost arithmetic progressions

1. Problématique et Contexte

L'article s'intéresse à l'étude des quotients de semigroupes numériques. Soit $S = \langle A \rangle$ un semigroupe numérique engendré par un ensemble d'entiers positifs premiers entre eux $A = \{a_1, a_2, \dots, a_n\}$. Pour un entier positif $p$, le quotient de $S$ par $p$ est défini comme :
$$\langle A \rangle_p = \{ x \in \mathbb{N} \mid px \in \langle A \rangle \}$$
Bien que $\langle A \rangle_p$ soit un semigroupe numérique, le calcul de ses invariants fondamentaux, à savoir le nombre de Frobenius $F(\langle A \rangle_p)$ (le plus grand entier non représentable) et le genre $g(\langle A \rangle_p)$ (le nombre d'entiers non représentables), est généralement difficile.

Le problème central abordé par l'auteur est la détermination de formules fermées pour ces invariants lorsque le semigroupe est engendré par des progressions arithmétiques presque exactes (ou des variantes avec des écarts initiaux ou des termes impairs) et lorsque $p$ est un diviseur positif du plus petit générateur $a_1$. Ce travail vise à résoudre partiellement un problème ouvert proposé par Adeniran et al. concernant le cas où $A = (a, a+d, \dots, a+kd)$ et $p \mid a$.

2. Méthodologie

La méthode proposée repose sur l'analyse de l'ensemble d'Apéry du semigroupe quotient.

• Réduction à un problème de minimisation : L'auteur utilise une propriété clé de l'ensemble d'Apéry d'un semigroupe par rapport à un élément $a$. Pour un diviseur $p$ de $a$, les éléments de l'ensemble d'Apéry de $\langle A \rangle_p$ par rapport à $a/p$ peuvent être réduits à la résolution d'un problème d'optimisation simple noté $OB(M)$.
• Définition de $OB(M)$ : Pour un entier $M$, $OB(M)$ est défini comme le minimum de la somme des coefficients dans une combinaison linéaire des générateurs (à l'exception de $a$) qui égale $M$.
  $$OB(M) = \min \left\{ \sum_{i=1}^k x_i \;\middle|\; \sum_{i=1}^k b_i x_i = M, \; x_i \in \mathbb{N} \right\}$$
• Stratégie de calcul :
  1. On exprime les éléments de l'ensemble d'Apéry du quotient en fonction de $OB(M)$.
  2. On détermine une formule explicite pour $OB(M)$ dans le cas spécifique des progressions arithmétiques.
  3. On montre que la fonction résultante est croissante par rapport aux paramètres, ce qui permet d'identifier le maximum de l'ensemble d'Apéry (nécessaire pour le nombre de Frobenius) et la somme des éléments (nécessaire pour le genre) sans avoir à calculer chaque élément individuellement.
  4. Les formules classiques reliant l'ensemble d'Apéry aux invariants (Lemme de Brauer-Selmer) sont ensuite appliquées.

3. Contributions Clés et Résultats Principaux

L'article établit des formules fermées pour le nombre de Frobenius et le genre dans plusieurs cas spécifiques de progressions arithmétiques presque exactes, sous la condition que $p$ divise le premier générateur $a$.

A. Théorème Général de Réduction (Théorème 1.2)

Pour un semigroupe de la forme $A = (a, d b_1, \dots, d b_k)$, l'auteur établit une relation de récurrence reliant les invariants du quotient à ceux d'un semigroupe plus simple :
$$F\left(\frac{\langle a, d b_1, \dots, d b_k \rangle}{p}\right) = d \cdot F\left(\frac{\langle a, b_1, \dots, b_k \rangle}{p}\right) + \frac{a(d-1)}{p}$$
Une formule similaire est obtenue pour le genre. Ce résultat généralise les propriétés de scaling des générateurs.

B. Progressions Arithmétiques Presque Exactes (Théorème 1.3)

Pour $A = (a, ha+d, ha+2d, \dots, ha+kd)$ avec $p \mid a$ :

• Le nombre de Frobenius est donné par :
  $$F\left(\frac{\langle A \rangle}{p}\right) = \left\lceil \frac{a-p}{k} \right\rceil \cdot \frac{ha}{p} + \frac{a(d-1)}{p} - d$$
• Le genre est exprimé par une somme impliquant des parties entières.
• Signification : Ce résultat fournit une réponse partielle au problème ouvert d'Adeniran et al. pour le cas $h=1$.

C. Progressions avec Écarts Initiaux (Théorème 1.4)

Pour $A = (a, ha+(K+1)d, \dots, ha+kd)$ (où les premiers termes de la progression sont manquants) :

• L'auteur distingue deux cas selon la relation entre $p$ et l'indice d'écart $K$.
• Si $p > K$, la formule ressemble à celle du cas standard.
• Si $p \le K$, la formule devient plus complexe, impliquant une somme partielle et un terme correctif dépendant de $\lfloor K/p \rfloor$.

D. Cas Spécifiques et Termes Impairs (Théorèmes 1.5 et 1.6)

• Théorème 1.5 : Traite le cas à trois générateurs $A = (a, ha-d, ha+d)$. Une formule explicite est donnée pour le Frobenius et le genre, impliquant un maximum de deux expressions linéaires.
• Théorème 1.6 : Traite les progressions avec des termes impairs $A = (a, ha+d, ha+3d, \dots)$.
  • Si $t' \equiv 0 \pmod 2$ (où $t'$ est le reste de la division de $a-p$ par le nombre de termes), une formule fermée est obtenue.
  • Si $t'$ est impair, l'auteur note que le cas est complexe et qu'une formule fermée simple n'est pas obtenue dans cet article.

4. Signification et Impact

• Résolution de problèmes ouverts : Ce travail résout partiellement le problème ouvert posé par Adeniran et al. concernant les quotients de semigroupes générés par des progressions arithmétiques.
• Généralisation : Les résultats étendent les travaux antérieurs de Selmer, Roberts et Brauer (qui traitaient du cas $p=1$) au cas général où $p$ est un diviseur de $a$.
• Méthodologie efficace : La réduction du calcul de l'ensemble d'Apéry à un problème de minimisation $OB(M)$ offre une approche systématique et puissante pour étudier les quotients de semigroupes, évitant les calculs exhaustifs souvent prohibitifs.
• Vérification : Les formules sont validées par des exemples numériques et vérifiées à l'aide du package GAP numericalsgps.

En conclusion, cet article fournit des outils analytiques précis pour déterminer les invariants fondamentaux d'une large classe de semigroupes numériques quotients, comblant ainsi une lacune dans la théorie des semigroupes numériques, en particulier pour les structures de type progression arithmétique.