On quotients of numerical semigroups for almost arithmetic progressions

A continuación presento un resumen técnico detallado del artículo "ON QUOTIENTS OF NUMERICAL SEMIGROUPS FOR ALMOST ARITHMETIC PROGRESSIONS" (Sobre cocientes de semigrupos numéricos para progresiones aritméticas casi), escrito por Feihu Liu.

1. Planteamiento del Problema

El artículo aborda el estudio de semigrupos numéricos y, específicamente, la operación de cociente de un semigrupo numérico $\langle A \rangle$ con respecto a un entero positivo $p$.

• Definición: Dado un conjunto de generadores $A = \{a_1, \dots, a_n\}$ con $\gcd(A)=1$, el semigrupo generado es $\langle A \rangle$. El cociente se define como $\langle A \rangle_p = \{x \in \mathbb{N} \mid px \in \langle A \rangle\}$.
• Desafío: Aunque se sabe que $\langle A \rangle_p$ es un semigrupo numérico, calcular sus invariantes fundamentales es computacionalmente difícil. Los dos invariantes principales son:
  1. Número de Frobenius ($F$): El mayor entero que no pertenece al semigrupo.
  2. Género ($g$): La cardinalidad del conjunto de enteros no negativos que no pertenecen al semigrupo.
• Problema Abierto: El artículo se centra en resolver un problema abierto propuesto por A. Adeniran et al. ([1]): encontrar fórmulas cerradas para $F(\langle A \rangle_p)$ y $g(\langle A \rangle_p)$ cuando $A$ es una progresión aritmética (o variaciones de esta) y $p$ es un divisor positivo de $a_1$.

2. Metodología

La metodología central del autor se basa en la reducción del cálculo del conjunto de Apéry a un problema de minimización simple.

• Conjunto de Apéry: Para un elemento $a \in \langle A \rangle$, el conjunto de Apéry es $Ap(\langle A \rangle, a) = \{w \in \langle A \rangle \mid w - a \notin \langle A \rangle\}$. Una vez conocido este conjunto, el número de Frobenius y el género se calculan fácilmente mediante fórmulas estándar (Lema 2.1).
• Reducción a Minimización: El autor demuestra que, cuando $p \mid a_1$, el cálculo de los elementos del conjunto de Apéry del cociente $\langle A \rangle_p$ se puede reducir a la resolución de un problema de optimización denotado como $OB(M)$.
  • Sea $A = (a, ha + dB)$. El elemento $N_{dr,p}$ del conjunto de Apéry se expresa como:
    $$N_{dr,p} = \min \left\{ OB(ma + rp) \cdot \frac{ha}{p} + \left(\frac{ma}{p} + r\right)d \mid m \in \mathbb{N} \right\}$$
  • Donde $OB(M)$ es el mínimo de la suma de coeficientes necesarios para representar $M$ como combinación lineal de los generadores reducidos.
• Análisis de Monotonía: El autor analiza la monotonicidad de la función resultante respecto a $m$. Si la función es creciente, el mínimo se alcanza en $m=0$, lo que permite obtener fórmulas explícitas.

3. Contribuciones Clave y Resultados Principales

El artículo presenta varios teoremas que proporcionan fórmulas cerradas para casos específicos de progresiones aritméticas casi.

Teorema 1.2: Relación de Escalamiento

Establece una relación entre el cociente de un semigrupo generado por $(a, db_1, \dots, db_k)$ y el generado por $(a, b_1, \dots, b_k)$.

• Proporciona fórmulas para $F$ y $g$ que dependen linealmente del factor $d$, permitiendo reducir problemas complejos a casos base más simples.

Teorema 1.3: Progresiones Aritméticas Casi

Para $A = (a, ha+d, ha+2d, \dots, ha+kd)$ con $p \mid a$:

• Se obtienen fórmulas explícitas para $F(\langle A \rangle_p)$ y $g(\langle A \rangle_p)$.
• Significado: Cuando $h=1$, esto resuelve parcialmente el Problema Abierto 1.1 de Adeniran et al. para progresiones aritméticas estándar.

Teorema 1.4: Progresiones con "Huecos" Iniciales

Para $A = (a, ha+(K+1)d, \dots, ha+kd)$ (donde faltan los primeros términos de la progresión):

• Se derivan fórmulas que dependen de la relación entre $p$ y el tamaño del hueco $K$.
• El resultado es piecewise (por casos):
  • Si $p > K$, la fórmula es similar a la del Teorema 1.3.
  • Si $p \le K$, la fórmula cambia debido a que el mínimo del conjunto de Apéry ya no se alcanza necesariamente en $m=0$ para todos los residuos, requiriendo un análisis más detallado de los casos $s=0$ y $s \ge 1$.

Teorema 1.5: Progresiones con Dos Términos Específicos

Para $A = (a, ha-d, ha+d)$:

• Se proporciona una fórmula para el máximo del conjunto de Apéry que implica un valor umbral $s = \lfloor \frac{ha-d}{2hp} \rfloor$.
• El número de Frobenius se expresa como el máximo de dos expresiones lineales, dependiendo de si el índice $r$ está por encima o por debajo de este umbral.

Teorema 1.6: Progresiones con Términos Impares

Para $A = (a, ha+d, ha+3d, \dots, ha+(2k+1)d)$:

• Se obtiene una fórmula cerrada para el caso en que el residuo $t'$ (en la división de $a-p$ por $2k+1$) es par.
• El autor nota que si $t'$ es impar, el caso es complicado y no se logra una fórmula cerrada simple, lo que indica una limitación actual del método para ciertos parámetros.

4. Significado e Impacto

• Resolución Parcial de Problemas Abiertos: El trabajo ofrece soluciones parciales al problema planteado por Adeniran et al., extendiendo las fórmulas conocidas para $p=1$ (caso clásico) al caso general donde $p$ es un divisor de $a_1$.
• Generalización: Los resultados unifican y generalizan trabajos previos de Selmer, Roberts, Brauer y Komatsu, que se centraban en casos específicos o en $p=1$.
• Eficiencia Computacional: Al reducir el cálculo de invariantes complejos a problemas de minimización y fórmulas cerradas, el método evita la necesidad de algoritmos de fuerza bruta para calcular el conjunto de Apéry, lo cual es crucial para semigrupos con generadores grandes.
• Herramientas Teóricas: La técnica de reducción del conjunto de Apéry propuesta en la Sección 2 (Proposición 2.2) es un resultado metodológico valioso que puede aplicarse a otras clases de semigrupos numéricos más allá de las progresiones aritméticas.

En resumen, el artículo avanza significativamente en la teoría de semigrupos numéricos al proporcionar herramientas analíticas para calcular invariantes fundamentales en cocientes de estructuras algebraicas específicas, llenando vacíos en la literatura sobre progresiones aritméticas y sus variantes.