🔢 mathematics

On quotients of numerical semigroups for almost arithmetic progressions

Dit artikel presenteert een methode om de berekening van de Apéry-sets en Frobenius-getallen van quotiënten van numerieke semigroepen te vereenvoudigen, met name voor bijna-aritmetische progressies, waardoor een deel van een open probleem van A. Adeniran et al. wordt opgelost.

Oorspronkelijke auteurs: Feihu Liu

Gepubliceerd 2026-04-13

📖 5 min leestijd🧠 Diepgaand

CC BY 4.0

Oorspronkelijke auteurs: Feihu Liu

Oorspronkelijk artikel gelicentieerd onder CC BY 4.0 (http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/). ✨ Dit is een AI-gegenereerde uitleg van het onderstaande artikel. Het is niet geschreven of goedgekeurd door de auteurs. Raadpleeg het oorspronkelijke artikel voor technische nauwkeurigheid. Lees de volledige disclaimer

De Basis: Een Bouwset met Stenen

Stel je voor dat je een enorme bouwset hebt met verschillende soorten stenen. Elke steen heeft een specifieke grootte (bijvoorbeeld 3, 5 of 7). Je mag deze stenen alleen optellen. Je kunt ze niet aftrekken of delen.

Als je een steen van 3 en een steen van 5 neemt, krijg je een constructie van grootte 8.
Als je twee stenen van 3 neemt, krijg je 6.
Je kunt zo veel stenen als je wilt gebruiken, maar je begint altijd bij 0.

In de wiskunde noemen ze dit een Numerieke Semigrup. Het is een verzameling van getallen die je kunt "bouwen" met je specifieke set stenen.

Het Probleem: De Grootste Ontbrekende Steen

Er is één groot raadsel in dit spel: Welk is het grootste getal dat je niet kunt bouwen?

Stel je hebt stenen van 3 en 5. Je kunt 3, 5, 6 (3+3), 8 (3+5), 9 (3+3+3), 10 (5+5) maken... maar je kunt 7 niet maken. En alles wat groter is dan 7, kun je wél maken.
Dus, 7 is de "Grootste Ontbrekende Steen". In de wiskunde heet dit het Frobenius-getal.

Voor twee stenen is dit makkelijk te berekenen, maar zodra je drie of meer soorten stenen hebt, wordt het een enorme puzzel waar geen simpele formule voor bestaat.

De Nieuwe Uitdaging: De "Magische Deur" (Quotiënten)

De schrijver van dit artikel, Feihu Liu, kijkt naar een nieuw spelletje. Stel je hebt je bouwset, maar er is een magische deur (laten we die $p$ noemen).

De regel is nu: Je mag pas een constructie bouwen als het totale gewicht deelbaar is door $p$ .

Als $p = 2$ , dan mag je alleen bouwen met even getallen (want alleen even getallen zijn deelbaar door 2).
De vraag is: Als je deze nieuwe regel toepast op je bestaande bouwset, wat is dan de nieuwe "Grootste Ontbrekende Steen"?

Dit is lastig. Het is alsof je een bestaand huis moet bekijken en dan moet voorspellen wat er gebeurt als je de vloerplanken vervangt door een patroon dat alleen werkt op elke tweede plank.

De Oplossing: Een Slimme Truc

De auteur zegt: "Wacht even, als de magische deur ( $p$ ) een deel is van de grootste steen ( $a$ ) in je set, dan kunnen we de puzzel oplossen!"

Hij gebruikt een slimme truc die hij een Apery-set noemt.

De Analogie: Stel je hebt een lange ladder. Je wilt weten welke sporten je kunt bereiken. In plaats van elke sport één voor één te tellen, kijkt hij naar een patroon. Hij zegt: "Als ik weet wat de kleinste stap is om bij sport 1 te komen, sport 2, sport 3... dan kan ik de hele ladder afleiden."

Hij reduceert het hele probleem tot een simpele minimalisatie: "Wat is het kleinste aantal stenen dat ik nodig heb om een bepaald gewicht te bereiken?" Zodra hij dit weet, kan hij de formule voor de "Grootste Ontbrekende Steen" direct opschrijven.

De Speciale Gevallen: Bijna-Aritmetische Progressies

De auteur past deze truc toe op een heel specifieke en mooie soort bouwsets: Bijna-Aritmetische Progressies.

Normale Progressie: Stenen van 10, 11, 12, 13, 14. (Elke steen is 1 groter dan de vorige).
Bijna Progressie: Stenen van 10, 21, 32, 43. (Ze beginnen niet direct na elkaar, maar ze hebben wel een mooi patroon: elke steen is 11 groter dan de vorige, maar er zit een "sprong" in het begin).

De auteur lost een open probleem op dat door andere wetenschappers (Adeniran en collega's) was gesteld. Zij vroegen zich af: "Wat gebeurt er met de Grootste Ontbrekende Steen als we deze specifieke, bijna-geordende sets nemen en ze door een magische deur ( $p$ ) halen?"

Wat heeft hij gevonden?

Hij heeft formules (wiskundige recepten) bedacht voor verschillende scenario's:

De Simpele Versie: Als je stenen hebt die een beetje op een rij lijken (maar met een factor $d$ erbij), kun je de nieuwe Grootste Ontbrekende Steen berekenen door de oude formule te vermenigvuldigen en een beetje aan te passen.
De Versie met Gaten: Soms missen er stenen in het begin van de rij (bijvoorbeeld: 10, 22, 33, 44... maar 21 en 31 ontbreken). Hij heeft een formule voor als de magische deur ( $p$ ) groter of kleiner is dan het aantal gaten.
De Versie met Sprongen: Soms heb je stenen die alleen op oneven of even posities in het patroon staan. Ook daarvoor heeft hij een formule gevonden (tenzij het patroon te ingewikkeld wordt, dan is het nog een raadsel).

Waarom is dit belangrijk?

Vroeger was dit een "open probleem". Wetenschappers wisten niet hoe ze deze specifieke berekeningen moesten doen. Feihu Liu heeft laten zien dat als je de juiste truc (de Apery-set minimaliseren) gebruikt, je deze complexe puzzels kunt oplossen met simpele formules.

Samengevat in één zin:
De auteur heeft een slimme manier gevonden om te voorspellen wat er gebeurt met een reeks getallen als je ze "filtert" via een deelgetal, en heeft hiermee een raadsel opgelost voor een specifieke, mooie soort getallenrijen.

Het is alsof hij een nieuwe sleutel heeft gevonden die de deur opent naar een kamer die voorheen als onbegaanbaar werd beschouwd.

Titel: Over Quotiënten van Numerieke Semigruppen voor Bijna Aritmetische Progressies

Auteur: Feihu Liu
Publicatiedatum: December 2023
Vakgebied: Getaltheorie, Combinatoriek (Numerieke Semigruppen)

1. Probleemstelling

Het artikel richt zich op de studie van quotiënten van numerieke semigruppen. Een numerieke semigroup $\langle A \rangle$ wordt gegenereerd door een rij van onderling ondeelbare positieve gehele getallen $A = \{a_1, a_2, ..., a_n\}$ . Het quotiënt van deze semigroup met betrekking tot een positief geheel getal $p$ , genoteerd als $\langle A \rangle_p$ , is gedefinieerd als:
$\langle A \rangle_p = \{x \in \mathbb{N} \mid px \in \langle A \rangle\}$
Hoewel bekend is dat $\langle A \rangle_p$ zelf ook een numerieke semigroup is, is het berekenen van de fundamentele invarianten ervan—namelijk het Frobenius-getal $F(\langle A \rangle_p)$ (het grootste getal dat niet in de semigroup zit) en het genus $g(\langle A \rangle_p)$ (het aantal ontbrekende niet-negatieve gehele getallen)—extreem moeilijk.

De specifieke focus van dit werk ligt op het geval waarbij $p$ een positieve deler is van de kleinste generator $a_1$ (d.w.z. $p \mid a_1$ ). Het artikel probeert een open probleem op te lossen dat eerder werd geformuleerd door Adeniran et al., namelijk het vinden van gesloten formules voor $F(\langle A \rangle_p)$ en $g(\langle A \rangle_p)$ wanneer $A$ een bijna arithmetische progressie (almost arithmetic progression) is, zoals $A = (a, a+d, a+2d, ..., a+kd)$.

2. Methodologie

De kern van de methodologie is een reductie van het probleem naar een minimalisatieprobleem via de Apéry-rij (Apéry set).

Apéry-rij: Voor een numerieke semigroup $\langle A \rangle$ en een element $a \in \langle A \rangle$ is de Apéry-rij $Ap(\langle A \rangle, a)$ de verzameling van de kleinste elementen in de semigroup voor elke restklasse modulo $a$ . De auteurs gebruiken de eigenschap dat de Frobenius-getallen en het genus direct kunnen worden berekend uit de elementen van de Apéry-rij (volgens Lemma 2.1, gebaseerd op Brauer, Shockley en Selmer).
Reductie: De auteurs reduceren het berekenen van de elementen van de Apéry-rij van het quotiënt $\langle A \rangle_p$ (waar $p \mid a_1$ ) tot een eenvoudig minimalisatieprobleem, genoteerd als $OB(M)$.
Voor een generieke generator $A = (a, ha + dB)$, waarbij $d$ en $p$ delers zijn van $a$ , worden de elementen $N_{dr,p}$ van de Apéry-rij van het quotiënt gegeven door:
$N_{dr,p} = \min \left\{ OB(ma + rp) \cdot \frac{ha}{p} + \left(\frac{ma}{p} + r\right)d \mid m \in \mathbb{N} \right\}$
Hierbij is $OB(M)$ gedefinieerd als het minimale aantal termen nodig om $M$ te schrijven als een lineaire combinatie van de basiscoëfficiënten $b_i$ .
Strategie: Door te analyseren hoe $OB(M)$ zich gedraagt en te bewijzen dat de functie monotoon stijgend is in bepaalde gevallen, kunnen de auteurs expliciete formules afleiden voor de elementen van de Apéry-rij, en daarmee voor $F$ en $g$ .

3. Belangrijkste Bijdragen en Resultaten

Het artikel levert gesloten formules voor het Frobenius-getal en het genus voor verschillende klassen van numerieke semigruppen die zijn gegenereerd door bijna arithmetische progressies, onder de voorwaarde dat $p \mid a$ .

A. Algemene Reductie (Theorema 1.2)

De auteurs bewijzen een fundamentele relatie voor semigruppen gegenereerd door $A = (a, db_1, db_2, ..., db_k)$ . Zij tonen aan dat:
$F\left(\frac{\langle a, dB \rangle}{p}\right) = d \cdot F\left(\frac{\langle a, B \rangle}{p}\right) + \frac{a(d-1)}{p}$
$g\left(\frac{\langle a, dB \rangle}{p}\right) = d \cdot g\left(\frac{\langle a, B \rangle}{p}\right) + \frac{(a-p)(d-1)}{2p}$
Dit stelt hen in staat om complexere gevallen te reduceren tot eenvoudigere gevallen.

B. Bijna Aritmetische Progressies (Theorema 1.3)

Voor $A = (a, ha+d, ha+2d, ..., ha+kd)$ met $p \mid a$ , worden de volgende formules afgeleid:

Frobenius-getal: Een formule afhankelijk van $\lceil \frac{a-p}{k} \rceil$ .
Genus: Een somformule die afhangt van $h, a, p, k$ en $d$ .
Dit vormt een gedeeltelijke oplossing voor het open probleem van Adeniran et al., specifiek voor het geval $p \mid a$ .

C. Progressies met Initiële Gaten (Theorema 1.4)

Voor $A = (a, ha+(K+1)d, ..., ha+kd)$ (waarbij de eerste $K$ termen van de progressie ontbreken), worden formules gegeven die afhankelijk zijn van de verhouding tussen $p$ en $K$ :

Als $p > K$ , volgt een formule die lijkt op Theorema 1.3.
Als $p \leq K$ , wordt de formule complexer en afhankelijk van de vloerfunctie $\lfloor K/p \rfloor$ .

D. Specifieke Gevallen met Oneven Termen en Symmetrie (Theorema 1.5 & 1.6)

Theorema 1.5: Behandelt $A = (a, ha-d, ha+d)$. Hier wordt een formule gegeven die het maximum neemt van twee uitdrukkingen, afhankelijk van de parameter $s = \lfloor \frac{ha-d}{2hp} \rfloor$ .
Theorema 1.6: Behandelt progressies met alleen oneven stappen: $A = (a, ha+d, ha+3d, ..., ha+(2k+1)d)$.
- Als de parameter $t'$ (bepaald door $a-p = (2k+1)s' + t'$ ) even is, wordt een gesloten formule gegeven.
- Als $t'$ oneven is, wordt gesteld dat het geval gecompliceerd is en dat het moeilijk is om een gesloten formule te vinden.

4. Betekenis en Impact

Oplossing van een Open Probleem: Het artikel biedt een significante stap voorwaarts in het oplossen van het open probleem van Adeniran et al. door expliciete formules te leveren voor een breed scala aan gevallen van bijna arithmetische progressies, een gebied waarvoor gesloten formules voor quotiënten eerder ontbraken.
Methodologische Innovatie: De introductie van de reductie naar het minimalisatieprobleem $OB(M)$ biedt een krachtige en systematische methode om de Apéry-rij van quotiënten te analyseren. Deze aanpak is eenvoudiger en directer dan eerdere methoden.
Verificatie: De auteurs verifiëren hun resultaten numeriek met behulp van het GAP-pakket numericalsgps, wat de correctheid van de afgeleide formules bevestigt.
Toekomstige Richtingen: Hoewel het artikel succesvol is voor het geval $p \mid a$ , blijft het een uitdaging om formules te vinden wanneer $p$ geen deler is van $a$ , of voor de specifieke "oneven" gevallen in Theorema 1.6 waar $t'$ oneven is.

Samenvattend biedt dit werk een grondige theoretische basis en praktische formules voor het begrijpen van de structuur van quotiënten van numerieke semigruppen, met name binnen de context van arithmetische en bijna arithmetische progressies.