Singular extension of critical Sobolev mappings with values into complete Riemannian manifolds

Sintesi Tecnica: Estensione Singolare di Mappature di Sobolev Critiche in Varietà Riemanniane Complete

Enunciato del Problema
Il saggio affronta il problema dell'estensione di mappature definite sul bordo di un dominio in una varietà riemanniana target $N$ che non è necessariamente compatta. Nello specifico, si considerano mappature $u$ appartenenti allo spazio di Sobolev critico e non lineare $W^{m/(m+1), m+1}$, dove il dominio è o la sfera $S^m$, il piano euclideo $\mathbb{R}^m$, o il bordo del modello della palla di Poincaré della sfera. L'obiettivo è estendere queste mappature all'interno (la palla $B^{m+1}_1$, lo semispazio $\mathbb{R}^{m+1}_+$ o lo spazio iperbolico $H^{m+1}$) controllando l'energia dell'estensione.

I risultati precedenti di Bulanyi e Van Schaftingen [5] hanno stabilito tali estensioni per varietà target $N$ compatte, ottenendo una stima di tipo debole esponenziale di Marcinkiewicz-Sobolev. Tuttavia, la compattezza di $N$ era un'assunzione restrittiva. Questo saggio investiga se tali risultati di estensione possano essere generalizzati a varietà riemanniane complete e non compatte.

Metodologia e Quadro Teorico
L'approccio dell'autore si basa su due pilastri teorici principali:

1. Riesame della Dimostrazione in [5]: Un'analisi attenta delle dimostrazioni in Bulanyi e Van Schaftingen [5] rivela che la compattezza di $N$ viene utilizzata solo per due scopi specifici:

   • Garantire che l'immagine dell'embedding isometrico di Nash abbia un reach positivo, garantendo l'esistenza di una proiezione sul punto più vicino ben definita e regolare.
   • Assicurare che il "potenziale di gap" (un integrale su coppie di punti con distanza $\ge \delta$) controlli l'energia di Gagliardo troncata.
     L'autore sostiene che, se $N$ ammette un embedding euclideo isometrico con reach positivo e se l'immagine della mappatura $u$ ha un diametro limitato, l'assunzione di compattezza può essere rilassata.

2. Criterio di Petrunin per gli Embedding a Tubo: Per identificare le varietà non compatte che soddisfano la condizione di "reach positivo", il saggio utilizza un recente criterio sufficiente di A. Petrunin [13]. Petrunin ha dimostrato che una varietà riemanniana completa, regolare e connessa con geometria 1-limitata (raggio di iniettività positivo e derivata covariante prima del tensore di curvatura limitata) e crescita polinomiale uniforme (il volume delle sfere geodetiche è limitato da un polinomio nel raggio) ammette un embedding euclideo isometrico con reach positivo (un "embedding a tubo").

Contributi Chiave e Risultati
Il saggio presenta tre teoremi (Teoremi 1, 2 e 3) che estendono i risultati di estensione singolare di [5] a varietà riemanniane connesse $N$ che ammettono un embedding euclideo isometrico con reach positivo.

• Teoremi di Estensione: Per una mappatura $u \in W^{m/(m+1), m+1}(\partial \Omega, N)$, esiste un'estensione $U \in W^{1,1}(\Omega, N)$ tale che la traccia di $U$ sia $u$. L'estensione soddisfa una stima di tipo debole esponenziale:
  $$t^{m+1} \mathcal{L}^{m+1}(\{x \in \Omega : |DU(x)| \ge t\}) \le A \exp\left( B \int \int \frac{d(u(x), u(y))^{m+1}}{|x-y|^{2m}} dx dy \right) \int \int \frac{d(u(x), u(y))^{m+1}}{|x-y|^{2m}} dx dy$$
  dove le costanti $A, B, \delta$ dipendono dalla dimensione $m$ e dal reach di $N$.
• Caso del Diametro Limitato: Se l'immagine della mappatura ha un diametro limitato $L$, il termine esponenziale può essere raffinato affinché dipenda da un "potenziale di gap" (integrando solo su coppie dove $d(u(x), u(y)) \ge \delta$), con la costante $B'$ che dipende da $L$ e dal reach.
• Insieme Singolare: L'estensione $U$ può essere scelta come regolare al di fuori di un insieme singolare finito $S$, la cui cardinalità è controllata dal lato destro delle stime.
• Domini Specifici: I risultati coprono:
  • La palla unitaria $B^{m+1}_1$ (Teorema 1).
  • Il semispazio superiore $\mathbb{R}^{m+1}_+$ (Teorema 2).
  • Lo spazio iperbolico $H^{m+1}$ tramite il modello della palla di Poincaré (Teorema 3).

Significato e Ambito
Il saggio si pone come un'estensione diretta del lavoro esistente piuttosto che una scoperta di nuovi meccanismi di estensione. La sua importanza primaria risiede in:

1. Generalizzazione: Identifica esplicitamente che la compattezza della varietà target non è strettamente necessaria, a patto che la varietà ammetta un embedding euclideo a tubo (reach positivo) e che l'immagine della mappatura sia limitata.
2. Applicazione del Teorema di Petrunin: Sfrutta il criterio di Petrunin per dimostrare che una vasta classe di varietà non compatte soddisfa le necessarie condizioni geometriche. Il saggio fornisce esempi illustrativi di tali varietà, tra cui:
   • Prodotti tori $\mathbb{R} \times_f M$ con funzioni di warping limitate.
   • Rivestimenti universali di varietà compatte con gruppi fondamentali a crescita polinomiale (ad esempio, con curvatura di Ricci non negativa o gruppi fondamentali Abeliani).
   • Varietà asintoticamente euclidee e coniche.
3. Limitazioni: Il saggio riconosce che il criterio di Petrunin è sufficiente ma non necessario. Nota che le varietà con crescita volumetrica esponenziale (come lo spazio iperbolico stesso) o i rivestimenti universali di varietà con crescita esponenziale del gruppo fondamentale non ammettono tali embedding e quindi cadono al di fuori dell'ambito di questi risultati.

L'autore sottolinea che le dimostrazioni seguono la strategia di [5] quasi parola per parola, con modifiche confinate alla configurazione iniziale riguardante il reach e la gestione del potenziale di gap per target non compatti. I risultati non pretendono di risolvere il problema dell'estensione per tutte le varietà non compatte complete, ma per quelle identificabili tramite i criteri geometrici di Petrunin.