Singular extension of critical Sobolev mappings with values into complete Riemannian manifolds

技术摘要：向完备黎曼流形进行临界 Sobolev 映射的奇异扩张

问题陈述
本文研究了将定义在定义域边界上的映射向非紧致目标黎曼流形 $N$ 进行扩张的问题。具体而言，考虑属于临界非线性 Sobolev 空间 $W^{m/(m+1), m+1}$ 的映射 $u$，其定义域为球面 $S^m$、欧几里得平面 $\mathbb{R}^m$ 或庞加莱球模型双曲空间的边界。目标是在控制扩张能量的同时，将这些映射扩张到内部（即球 $B^{m+1}_1$、半空间 $\mathbb{R}^{m+1}_+$ 或双曲空间 $H^{m+1}$）。

Bulanyi 和 Van Schaftingen [5] 的先前研究已建立了针对紧致目标流形 $N$ 的此类扩张，并给出了指数弱型 Marcinkiewicz-Sobolev 估计。然而，$N$ 的紧致性是一个限制性假设。本文研究了这些扩张结果是否可以推广到完备、非紧致的黎曼流形。

方法论与理论框架
作者的方法依赖于两个主要的理论支柱：

1. 对 [5] 中证明过程的重新审视： 对 Bulanyi 和 Van Schaftingen [5] 中证明过程的仔细分析表明，$N$ 的紧致性仅用于两个特定目的：

   • 确保 Nash 等距嵌入的像具有正的到达距离 (reach)，从而保证存在定义良好的、光滑的最近点投影。
   • 确保“间隙势 (gap potential)”（一个对距离 $\ge \delta$ 的点对进行积分的量）能够控制截断的 Gagliardo 能量。
     作者认为，如果 $N$ 允许一个具有正到达距离的等距欧几里得嵌入，且映射 $u$ 的值域具有有界直径，那么紧致性假设是可以放宽的。

2. Petrunin 关于管状嵌入 (Tubed Embeddings) 的判据： 为了识别满足“正到达距离”条件的非紧致流形，本文利用了 A. Petrunin [13] 最近提出的一个充分判据。Petrunin 证明，一个具有 1-有界几何 (1-bounded geometry)（正注入半径且曲率的一阶协变导数有界）且具有 一致多项式增长 (uniformly polynomial growth)（测地球体积由半径的多项式控制）的完备、光滑、连通黎曼流形，允许一个具有正到达距离的等距欧几里得嵌入（即“管状嵌入”）。

主要贡献与结果
本文提出了三个定理（定理 1、2 和 3），将 [5] 的奇异扩张结果推广到了允许等距欧几里得嵌入（正到达距离）的连通黎曼流形 $N$。

• 扩张定理： 对于映射 $u \in W^{m/(m+1), m+1}(\partial \Omega, N)$，存在扩张 $U \in W^{1,1}(\Omega, N)$ 使得 $U$ 的迹为 $u$。该扩张满足指数弱型估计：
  $$t^{m+1} \mathcal{L}^{m+1}(\{x \in \Omega : |DU(x)| \ge t\}) \le A \exp\left( B \int \int \frac{d(u(x), u(y))^{m+1}}{|x-y|^{2m}} dx dy \right) \int \int \frac{d(u(x), u(y))^{m+1}}{|x-y|^{2m}} dx dy$$
  其中常数 $A, B, \delta$ 取决于维数 $m$ 和 $N$ 的到达距离 (reach)。
• 有界直径情况： 如果映射的像具有有界直径 $L$，则指数项可以被精化，使其取决于一个“间隙势”（仅对距离 $d(u(x), u(y)) \ge \delta$ 的点对进行积分），其中常数 $B'$ 取决于 $L$ 和到达距离。
• 奇异集： 扩张 $U$ 可以被选取为在有限奇异集 $S$ 之外是光滑的，且该集合的基数受右侧估计式的控制。
• 特定定义域： 结果涵盖了：
  • 单位球 $B^{m+1}_1$（定理 1）。
  • 上半空间 $\mathbb{R}^{m+1}_+$（定理 2）。
  • 通过庞加莱球模型的双曲空间 $H^{m+1}$（定理 3）。

意义与范围
本文将自身定位为现有工作的直接扩展，而非新扩张机制的发现。其主要意义在于：

1. 泛化： 它明确指出，只要流形允许管状欧几里得嵌入（正到达距离）且映射的值域有界，目标流形的紧致性就不是严格必要的。
2. 应用 Petrunin 定理： 它利用 Petrunin 的判据来展示一大类非紧致流形满足所需的几何条件。本文提供了符合条件的流形的说明性示例，包括：
   • 具有有界翘曲函数的翘曲积 $\mathbb{R} \times_f M$。
   • 具有多项式增长基本群（例如具有非负 Ricci 曲率或 Abelian 基本群）的紧致流形的万能覆盖空间。
   • 渐近欧几里得流形和锥流形。
3. 局限性： 本文承认 Petrunin 的判据是充分而非必要的。作者指出，具有指数级体积增长（如双曲空间本身）或具有指数级基本群增长的紧致流形的万能覆盖空间，并不允许此类嵌入，因此不在这些结果的适用范围内。

作者强调，证明过程几乎逐字遵循 [5] 的策略，仅在关于到达距离的初始设置以及处理非紧致目标下的间隙势方面进行了修改。这些结果并不声称解决了所有完备非紧致流形的扩张问题，而是针对那些可以通过 Petrunin 几何判据识别出的流形。