Singular extension of critical Sobolev mappings with values into complete Riemannian manifolds

Resumen Técnico: Extensión Singular de Mapeos de Sobolev Críticos en Variedades de Riemann Completas

Planteamiento del Problema
El artículo aborda el problema de extender mapas definidos en la frontera de un dominio hacia una variedad de Riemann objetivo $N$ que no es necesariamente compacta. Específicamente, considera mapas $u$ pertenecientes al espacio de Sobolev no lineal crítico $W^{m/(m+1), m+1}$, donde el dominio es la esfera $S^m$, el plano euclidiano $\mathbb{R}^m$, o la frontera del modelo de la bola de Poincaré de la bola de Poincaré. El objetivo es extender estos mapas al interior (la bola $B^{m+1}_1$, el semiespacio $\mathbb{R}^{m+1}_+$ o el espacio hiperbólico $H^{m+1}$) controlando la energía de la extensión.

Resultados previos de Bulanyi y Van Schaftingen [5] establecieron tales extensiones para variedades objetivo $N$ compactas, obteniendo una estimación de tipo débil exponencial de Marcinkiewicz-Sobolev. Sin embargo, la suposición de la compacidad de $N$ era una restricción. Este artículo investiga si estos resultados de extensión pueden generalizarse a variedades de Riemann completas y no compactas.

Metodología y Marco Teórico
El enfoque del autor se basa en dos pilares teóricos principales:

1. Reexamen de la Prueba en [5]: Un análisis cuidadoso de las pruebas en Bulanyi y Van Schaftingen [5] revela que la compacidad de $N$ se utiliza únicamente para dos propósitos específicos:

   • Asegurar que la imagen del embebido isométrico de Nash tenga un alcance (reach) positivo, garantizando la existencia de una proyección de punto más cercano bien definida y suave.
   • Asegurar que el "potencial de brecha" (una integral sobre pares de puntos con distancia $\ge \delta$) controle la energía de Gagliardo truncada.
     El autor argumenta que si $N$ admite un embebido euclidiano isométrico con alcance positivo, y si el rango del mapa $u$ tiene un diámetro acotado, la suposición de compacidad puede relajarse.

2. Criterio de Petrunin para Embebidos Tubulares: Para identificar variedades no compactas que satisfacen la condición de "alcance positivo", el artículo utiliza un criterio reciente suficiente de A. Petrunin [13]. Petrunin demostró que una variedad de Riemann suave, completa y conexa con geometría acotada por 1 (radio de inyección positivo y derivada covariante primera acotada del tensor de curvatura) y crecimiento polinomial uniforme (el volumen de las bolas geodésicas está acotado por un polinomio en el radio) admite un embebido euclidiano isométrico con alcance positivo (un "embebido tubular").

Contribuciones Clave y Resultados
El artículo presenta tres teoremas (Teoremas 1, 2 y 3) que extienden los resultados de extensión singular de [5] a variedades de Riemann conexas que admiten un embebido euclidiano isométrico con alcance positivo.

• Teoremas de Extensión: Para un mapa $u \in W^{m/(m+1), m+1}(\partial \Omega, N)$, existe una extensión $U \in W^{1,1}(\Omega, N)$ tal que la traza de $U$ es $u$. La extensión satisface una estimación de tipo débil exponencial:
  $$t^{m+1} \mathcal{L}^{m+1}(\{x \in \Omega : |DU(x)| \ge t\}) \le A \exp\left( B \int \int \frac{d(u(x), u(y))^{m+1}}{|x-y|^{2m}} dx dy \right) \int \int \frac{d(u(x), u(y))^{m+1}}{|x-y|^{2m}} dx dy$$
  donde las constantes $A, B, \delta$ dependen de la dimensión $m$ y del alcance de $N$.
• Caso de Diámetro Acotado: Si la imagen del mapa tiene un diámetro acotado $L$, el término exponencial puede refinarse para depender de un "potencial de brecha" (integrando solo sobre pares donde $d(u(x), u(y)) \ge \delta$), con la constante $B'$ dependiendo de $L$ y del alcance.
• Conjunto Singular: La extensión $U$ puede elegirse como suave fuera de un conjunto singular finito $S$, cuya cardinalidad está controlada por el lado derecho de las estimaciones.
• Dominios Específicos: Los resultados cubren:
  • La bola unidad $B^{m+1}_1$ (Teorema 1).
  • El semiespacio superior $\mathbb{R}^{m+1}_+$ (Teorema 2).
  • El espacio hiperbólico $H^{m+1}$ mediante el modelo de la bola de Poincaré (Teorema 3).

Significancia y Alcance
El artículo se posiciona como una extensión directa del trabajo existente más que como el descubrimiento de nuevos mecanismos de extensión. Su principal significancia radica en:

1. Generalización: Identifica explícitamente que la compacidad de la variedad objetivo no es estrictamente necesaria, siempre que la variedad admita un embebido euclidiano tubular (alcance positivo) y la imagen del mapa sea acotada.
2. Aplicación del Teorema de Petrunin: Aprovecha el criterio de Petrunin para demostrar que una amplia clase de variedades no compactas satisfacen las condiciones geométricas necesarias. El artículo proporciona ejemplos ilustrativos de tales variedades, incluyendo:
   • Productos de deformación (warped products) $\mathbb{R} \times_f M$ con funciones de deformación acotadas.
   • Recubrimientos universales de variedades compactas con grupos fundamentales de crecimiento polinomial (por ejemplo, aquellas con curvatura de Ricci no negativa o grupos fundamentales abelianos).
   • Variedades asintóticamente euclidianas y cónicas.
3. Limitaciones: El artículo reconoce que el criterio de Petrunin es suficiente pero no necesario. Observa que las variedades con crecimiento de volumen exponencial (como el propio espacio hiperbólico) o los recubrimientos universales de variedades con crecimiento de grupo fundamental exponencial no admiten tales embebidos y, por lo tanto, quedan fuera del alcance de estos resultados.

El autor enfatiza que las pruebas siguen la estrategia de [5] casi palabra por palabra, con modificaciones limitadas a la configuración inicial respecto al alcance y el manejo del potencial de brecha para objetivos no compactos. Los resultados no pretenden resolver el problema de extensión para todas las variedades completas no compactas, sino para aquellas identificables mediante los criterios geométricos de Petrunin.