Singular extension of critical Sobolev mappings with values into complete Riemannian manifolds

Resumo Técnico: Extensão Singular de Mapeamentos de Sobolev Críticos em Variedades Riemannianas Completas

Enunciado do Problema
O artigo aborda o problema de estender mapeamentos definidos na fronteira de um domínio para uma variedade Riemanniana alvo $N$ que não é necessariamente compacta. Especificamente, considera mapeamentos $u$ pertencentes ao espaço de Sobolev não linear crítico $W^{m/(m+1), m+1}$, onde o domínio é a esfera $S^m$, o plano euclidiano $\mathbb{R}^m$ ou a fronteira do modelo da bola de Poincaré para o espaço hiperbólico. O objetivo é estender esses mapeamentos para o interior (a bola $B^{m+1}_1$, o semi-espaço $\mathbb{R}^{m+1}_+$ ou o espaço hiperbólico $H^{m+1}$) enquanto se controla a energia da extensão.

Resultados anteriores de Bulanyi e Van Schaftingen [5] estabeleceram tais extensões para variedades alvo compactas $N$, produzindo uma estimativa de tipo fraco exponencial de Marcinkiewicz. No entanto, a compacidade de $N$ era uma suposição restritiva. Este artigo investiga se esses resultados de extensão podem ser generalizados para variedades Riemannianas completas e não compactas.

Metodologia e Estrutura Teórica
A abordagem do autor baseia-se em dois pilares teóricos principais:

1. Reexaminação da Prova em [5]: Uma análise cuidadosa das provas em Bulanyi e Van Schaftingen [5] revela que a compacidade de $N$ é utilizada para apenas dois propósitos específicos:

   • Garantir que a imagem do mergulho isométrico de Nash possua um alcance (reach) positivo, garantindo a existência de uma projeção de ponto mais próximo bem definida e suave.
   • Garantir que o "potencial de lacuna" (um integral sobre pares de pontos com distância $\ge \delta$) controle a energia de Gagliot truncada.
     O autor argumenta que, se $N$ admite um mergulho euclidiano isométrico com alcance positivo, e se a imagem do mapeamento $u$ possui um diâmetro limitado, a suposição de compacidade pode ser relaxada.

2. Critério de Petrunin para Mergulhos Tubulares: Para identificar variedades não compactas que satisfaçam a condição de "alcance positivo", o artigo utiliza um critério suficiente recente de A. Petrunin [13]. Petrunin provou que uma variedade Riemanniana suave, completa e conexa com geometria 1-limitada (raio de injetividade positivo e derivada covariante primeira do tensor de curvatura limitada) e crescimento polinomial uniforme (o volume de bolas geodésicas é limitado por um polinômio no raio) admite um mergulho euclidiano isométrico com alcance positivo (um "mergulho tubular").

Contribuições Principidas e Resultados
O artigo apresenta três teoremas (Teoremas 1, 2 e 3) que estendem os resultados de extensão singular de [5] para variedades conexas $N$ que admitem um mergulho euclidiano isométrico com alcance positivo.

• Teoremas de Extensão: Para um mapeamento $u \in W^{m/(m+1), m+1}(\partial \Omega, N)$, existe uma extensão $U \in W^{1,1}(\Omega, N)$ tal que a traço de $U$ é $u$. A extensão satisfaz uma estimativa de tipo fraco exponencial:
  $$t^{m+1} \mathcal{L}^{m+1}(\{x \in \Omega : |DU(x)| \ge t\}) \le A \exp\left( B \int \int \frac{d(u(x), u(y))^{m+1}}{|x-y|^{2m}} dx dy \right) \int \int \frac{d(u(x), u(y))^{m+1}}{|x-y|^{2m}} dx dy$$
  onde as constantes $A, B, \delta$ dependem da dimensão $m$ e do alcance de $N$.
• Caso de Diâmetro Limitado: Se a imagem do mapeamento possui um diâmetro limitado $L$, o termo exponencial pode ser refinado para depender de um "potencial de lacuna" (integrando apenas sobre pares onde $d(u(x), u(y)) \ge \delta$), com a constante $B'$ dependendo de $L$ e do alcance.
• Conjunto Singular: A extensão $U$ pode ser escolhida como suave fora de um conjunto singular finito $S$, cuja cardinalidade é controlada pelo lado direito das estimativas.
• Domínios Específicos: Os resultados cobrem:
  • A bola unitária $B^{m+1}_1$ (Teorema 1).
  • O semi-espaço superior $\mathbb{R}^{m+1}_+$ (Teorema 2).
  • O espaço hiperbólico $H^{m+1}$ via modelo da bola de Poincaré (Teorema 3).

Significância e Escopo
O artigo posiciona-se como uma extensão direta de trabalhos existentes, em vez de uma descoberta de novos mecanismos de extensão. Sua principal significância reside em:

1. Generalização: Identifica explicitamente que a compacidade da variedade alvo não é estritamente necessária, desde que a variedade admita um mergulho euclidiano tubular (alcance positivo) e a imagem do mapeamento seja limitada.
2. Aplicação do Teorema de Petrunin: Utiliza o critério de Petrunin para demonstrar que uma ampla classe de variedades não compactas satisfaz as condições geométricas necessárias. O artigo fornece exemplos ilustrativos de tais variedades, incluindo:
   • Produtos de torção (warped products) $\mathbb{R} \times_f M$ com funções de torção limitadas.
   • Recobrimentos universais de variedades compactas com grupos fundamentais de crescimento polinomial (por exemplo, aquelas com curvatura de Ricci não negativa ou grupos fundamentais Abelianos).
   • Variedades assintoticamente euclidianas e cônicas.
3. Limitações: O artigo reconhece que o critério de Petrunin é suficiente, mas não necessário. Observa que variedades com crescimento de volume exponencial (como o próprio espaço hiperbólico) ou recobrimentos universais de variedades com crescimento exponencial do grupo fundamental não admitem tais mergulhos e, portanto, ficam fora do escopo destes resultados.

O autor enfatiza que as provas seguem a estratégia de [5] quase literalmente, com modificações limitadas à configuração inicial em relação ao alcance e ao tratamento do potencial de lacuna para alvos não compactos. Os resultados não pretendem resolver o problema de extensão para todas as variedades não compactas completas, mas sim para aquelas identificáveis via os critérios geométricos de Petrunin.