Singular extension of critical Sobolev mappings with values into complete Riemannian manifolds

Technische Samenvatting: Singuliere Extensie van Kritische Sobolev-afbeeldingen naar Volledige Riemanniaanse Variëteiten

Probleemstelling
Het artikel behandelt het probleem van het uitbreiden van afbeeldingen die gedefinieerd zijn op de rand van een domein naar een doel Riemanniaanse variëteit $N$ die niet noodzakelijkerwijs compact is. Specifiek wordt gekeken naar afbeeldingen $u$ die behoren tot de kritische, niet-lineaire Sobolev-ruimte $W^{m/(m+1), m+1}$, waarbij het domein ofwel de sfeer $S^m$, het Euclidische vlak $\mathbb{R}^m$, of de rand van het Poincaré-balmodel van de hyperbolische ruimte is. Het doel is om deze afbeeldingen te extrapoleren naar het binnenste (de bal $B^{m+1}_1$, de half-ruimte $\mathbb{R}^{m+1}_+$, of de hyperbolische ruimte $H^{m+1}$) met behoud van de controle over de energie van de extensie.

Eerdere resultaten door Bulanyi en Van Schaftingen [5] stelden dergelijke extensies vast voor compacte doelvariëteiten $N$, wat resulteerde in een exponentiële zwak-type Marcinkiewicz-Sobolev-schatting. Echter, de compactheid van $N$ was een restrictieve aanname. Dit artikel onderzoekt of deze extensieresultaten kunnen worden gegeneraliseerd naar volledige, niet-compacte Riemanniaanse variëteiten.

Methodologie en Theoretisch Kader
De aanpak van de auteur rust op twee belangrijke theoretische pijlers:

1. Heronderzoek van het bewijs in [5]: Een zorgvuldige analyse van de bewijzen in Bulanyi en Van Schaftingen [5] laat zien dat de compactheid van $N$ slechts voor twee specifieke doeleinden wordt gebruikt:

   • Om te waarborgen dat het beeld van de Nash-isometrische inbedding een positieve reach heeft, wat de existentie van een goed gedefinieerde, gladde dichtstbijzijnde projectie garandeert.
   • Om te waarborgen dat het "gap-potentiaal" (een integraal over paren punten met een afstand $\ge \delta$) de getrunceerde Gagliardo-energie controleert.
     De auteur betoogt dat als $N$ een isometrische Euclidische inbedding met positieve reach bezit, en als het bereik van de afbeelding $u$ een begrensde diameter heeft, de compactheidsaanname kan worden versoepeld.

2. Petunins Criterium voor Tubed Inbeddingen: Om niet-compacte variëteiten te identificeren die voldoen aan de "positieve reach"-conditie, maakt het artikel gebruik van een recent voldoende criterium door A. Petunin [13]. Petunin bewees dat een volledige, gladde, samenhangende Riemanniaanse variëteit met 1-gebonden geometrie (positieve injectiviteitsstraal en begrensde eerste covariante afgeleide van de kromming) en uniform polymiale groei (volume van geodetische bollen begrensd door een polynoom in de straal) een isometrische Euclidische inbedding met positieve reach (een "tubed embedding") toelaat.

Belangrijkste Bijdragen en Resultaten
Het artikel presenteert drie stellingen (Stellingen 1, 2 en 3) die de singuliere extensieresultaten van [5] uitbreiden naar samenhangende Riemanniaanse variëteiten $N$ die een isometrische Euclidische inbedding met positieve reach toelaten.

• Extensiestellingen: Voor een afbeelding $u \in W^{m/(m+1), m+1}(\partial \Omega, N)$, bestaat er een extensie $U \in W^{1,1}(\Omega, N)$ zodanig dat de spoor van $U$ gelijk is aan $u$. De extensie voldoet aan een exponentiële zwak-type schatting:
  $$t^{m+1} \mathcal{L}^{m+1}(\{x \in \Omega : |DU(x)| \ge t\}) \le A \exp\left( B \int \int \frac{d(u(x), u(y))^{m+1}}{|x-y|^{2m}} dx dy \right) \int \int \frac{d(u(x), u(y))^{m+1}}{|x-y|^{2m}} dx dy$$
  waarbij de constanten $A, B, \delta$ afhangen van de dimensie $m$ en de reach van $N$.
• Geval van Begrensde Diameter: Indien het beeld van de afbeelding een begrensde diameter $L$ heeft, kan de exponentiële term worden verfijnd zodat deze afhankelijk is van een "gap-potentiaal" (integratie enkel over paren waarbij $d(u(x), u(y)) \ge \delta$), waarbij de constante $B'$ afhangt van $L$ en de reach.
• Singulier Beginsel: De extensie $U$ kan worden gekozen als zijnde glad buiten een eindige singuliere verzameling $S$, waarvan de kardinaliteit wordt gecontroleerd door de rechterzijde van de schattingen.
• Specifieke Domeinen: De resultaten dekken:
  • De eenheidbal $B^{m+1}_1$ (Stelling 1).
  • De bovenste half-ruimte $\mathbb{R}^{m+1}_+$ (Stelling 2).
  • De hyperbolische ruimte $H^{m+1}$ via het Poincaré-balmodel (Stelling 3).

Betekenis en Omvang
Het artikel positioneert zichzelf als een directe uitbreiding van bestaand werk in plaats van een ontdekking van nieuwe extensiemechanismen. De primaire betekenis ligt in:

1. Generalisatie: Het identificeert expliciet dat de compactheid van de doelvariëteit niet strikt noodzakelijk is, mits de variëteit een tubed Euclidische inbedding (positieve reach) toelaat en het bereik van de afbeelding begrensd is.
2. Toepassing van de Stelling van Petunin: Het maakt gebruik van de criteria van Petunin om aan te tonen dat een brede klasse van niet-compacte variëteiten aan de noodzakelijke geometrische condities voldoet. Het artikel biedt illustratieve voorbeelden van dergelijke variëteiten, waaronder:
   • Warped producten $\mathbb{R} \times_f M$ met begrensde warping-functies.
   • Universele bedekkingen van compacte variëteiten met polynomiaal groeiende fundamentele groepen (bijv. die met niet-negatieve Ricci-kromming of Abelische fundamentele groepen).
   • Asymptotisch Euclidische en conische variëteiten.
3. Beperkingen: Het artikel erkent dat het criterium van Petunin voldoende maar niet noodzakelijk is. Er wordt opgemerkt dat variëteiten met exponentiële volumegroei (zoals de hyperbolische ruimte zelf) of universele bedekkingen van variëteiten met exponentiële fundamentele groepsgroei dergelijke inbeddingen niet toelaten en daarmee buiten het bereik van deze resultaten vallen.

De auteur benadrukt dat de bewijzen de strategie van [5] bijna letterlijk volgen, waarbij de wijzigingen beperkt blijven tot de initiële opzet met betrekking tot de reach en de behandeling van de gap-potentiaal voor niet-compacte doelvariëteiten. De resultaten beweren niet het extensieprobleem voor alle volledige niet-compacte variëteiten op te lossen, maar wel voor die welke identificeerbaar zijn via de geometrische criteria van Petunin.