p-Primary Torsion of the Brauer Group in Characteristic p

Sintesi Tecnica: Torsione $p$-primaria del Gruppo di Brauer in Caratteristica $p$

Enunciato del Problema
La tesi investiga la struttura della componente $p$-primaria del gruppo di Brauer, denotata $\text{Br}(X)[p^\infty]$, per una varietà propria e liscia $X$ su un campo algebricamente chiuso $k$ di caratteristica $p > 0$. Mentre la torsione $\ell$-primaria per $\ell \neq p$ è ben compresa tramite la coomologia étale e la sequenza di Kummer, la parte $p$-primaria è significativamente più sottile. Il gruppo $\text{Br}(X)[p^\infty]$ si decompone in una parte divisibile $(\mathbb{Q}_p/\mathbb{Z}_p)^{r-\rho}$ (dove $r$ è la molteplicità del pendio 1 nella coomologia cristallina e $\rho$ è il numero di Picard) e una parte di torsione $H^3(X, \mathbb{Z}_p(1))[p^\infty]$. La sfida centrale affrontata è la descrizione precisa di quest'ultima, che si inserisce in una sequenza esatta:
$$0 \to U(k) \to H^3(X, \mathbb{Z}_p(1))[p^\infty] \to J \to 0$$
dove $U$ è un gruppo algebrico unipotente commutativo connesso e $J$ è un gruppo finito. La tesi mira a determinare la dimensione, la classe di isogenia e la struttura esplicita di $U$ e $J$, in particolare per le varietà abeliane.

Metodologia
La ricerca impiega una sintesi di diversi strumenti avanzati della geometria aritmetica:

1. Teoria dei Fogli di de Rham-Witt Logaritmici di Illusie: La tesi utilizza il complesso de Rham-Witt $W\Omega^\bullet_{X/k}$ e i suoi sottofogli logaritmici $W\Omega^i_{X/k, \log}$ per relazionare la coomologia piatta $H^i_{fppf}(X, \mu_{p^n})$ alla coomologia cristallina.
2. Spettrali dei Pendii e Numeri Domino: L'analisi si basa sulla sequenza spettrale dei pendii $E_1^{pq} = H^q(X, W\Omega^p_{X/k}) \Rightarrow H^{p+q}_{\text{cris}}(X/W)$. La non-degenerazione di questa sequenza al pagina $E_1$ (dovuta al $p$-torsione) è misurata dai "numeri domino" $T^{ij}$, introdotti da Crew ed Ekedahl. La dimensione del gruppo unipotente $U$ è identificata con il numero domino $T^{0,2}$.
3. Teoria dei Moduli di Dieudonné: Per le varietà abeliane, la tesi traduce il problema geometrico in algebra lineare sul ring di Cartier-Dieudonné $W\sigma[F, V]$. Essa impiega la classificazione dei gruppi algebrici commutativi finiti di Kraft e la stratificazione degli spazi moduli tramite tipi di Ekedahl-Oort.
4. Formula di Skorobogatov: Uno strumento metodologico chiave è una formula di Skorobogatov (per $p \neq 2$) che esprime $\text{Br}(A)[p^n]$ in termini degli omomorfismi simmetrici $\text{Hom}(A[p^n], A^\vee[p^n])_{\text{sym}}$. Ciò permette il calcolo esplicito del sottogruppo di $p$-torsione $U[p]$ tramite le relazioni dei moduli di Dieudonné.
5. Dualità Piatta e Gruppi Formali: Il lavoro applica il teorema di dualità piatta di Milne per le superfici e investiga la regolarità dei gruppi formali piatti di Artin-Mazur senza fare affidamento sulla $t$-struttura diagonale di Ekedahl.

Contributi Chiave e Risultati

Parte I: Teoria Generale e Prime Applicazioni

• Teorema di Struttura: La tesi conferma la sequenza esatta spaccata $0 \to (\mathbb{Q}_p/\mathbb{Z}_p)^{r-\rho} \to \text{Br}(X)[p^\infty] \to H^3(X, \mathbb{Z}_p(1))[p^\infty] \to 0$.
• Dimensione Unipotente: Stabilisce che la dimensione del gruppo unipotente $U$ è data dal numero domino $T^{0,2}$. Per le superfici, questo recupera la formula di Crew: $\dim U = (h_{0,2} - h_{0,1}) - (m_{0,2} - m_{0,1})$.
• Varietà Ordinarie: Si dimostra che se $X$ è ordinaria, allora $U = 0$ e $J$ è il duale di Pontryagin di $\text{NS}(X)[p^\infty]$.
• Superfici: Per le superfici con $q = -p_a$ (inclusi Enriques, Godeaux e superfici iperellittiche), $U=0$. Il gruppo finito $J$ è identificato come il duale della $p$-torsione del gruppo di Neron-Severi.
• Prodotti: Utilizzando la formula di Künneth di Ekedahl, si dimostra che se $X$ è ordinaria, la parte unipotente di $\text{Br}(X \times Y)$ è isomorfa a quella di $\text{Br}(Y)$.

Parte II: Varietà Abeliane

• Applicazione della Formula di Skorobogatov: La tesi calcola esplicitamente $\text{Br}(A)[p^n]$ per varietà abeliane principalmente polarizzate usando il gruppo degli omomorfismi simmetrici.
• Dimensione di $U[p]$: Per una varietà abeliana principalmente polarizzata di dimensione $g$ con tipo Ekedahl-Oort $\phi$, la dimensione del sottogruppo di $p$-torsione $U[p]$ è calcolata combinatoriamente in base al tipo.
• Classificazione per i Tridimensioni: Viene fornita una classificazione completa della classe di isogenia di $U$ per tutte le varietà abeliane tridimensionali. I risultati sono tabulati per pendolo di Newton e numero-$a$. Un risultato significativo è che $U$ non è un prodotto di gruppi additivi $\mathbb{G}_a$ se e solo se $A$ è supersingolare con numero-$a$ pari a 1 (definita "supergenerale"). In questo caso specifico, $U$ è isogeno a $\mathbb{G}_a \times W_2$ (dove $W_2$ è il gruppo di Witt di lunghezza 2).
• Gruppi Hom Espliciti: Per le varietà abeliane tridimensionali principalmente polarizzate supergenerali, la componente connessa di $\text{Hom}(A[p^2], A^\vee[p^2])_{\text{sym}}$ è calcolata esplicitamente. Si mostra che essa è un gruppo unipotente $W(b,c)_2 \oplus \mathbb{G}_a$ che varia in modo ben comportato attraverso lo spazio moduli.
• Congettura: Si propone una congettura secondo cui, per una arbitraria varietà abeliana supergenerale di dimensione $g$, $U$ è isogeno a $\prod_{i=1}^{g-1} W_i$.

Parte III: Ulteriori Argomenti e Applicazioni

• Criterio di Iniettività: La tesi generalizza un risultato di Ogus dimostrando un criterio di iniettività per la mappa $d\log: H^2_{fppf}(X, \mu_{p^n}) \to H^2_{\text{cris}}(X/W_n)$ sotto l'assunto che la sequenza spettrale di Frölicher degeneri a $E_1$ e che $H^1_{\text{cris}}$ sia priva di torsione. Ciò si applica alle varietà abeliane e alle superfici K3.
• Regolarità dei Gruppi Formali: Senza invocare la profonda $t$-struttura diagonale di Ekedahl, la tesi stabilisce la regolarità dei gruppi formali piatti di Artin-Mazur $\Phi^i_{fl}(A, \mathbb{G}_m)$ per tutte le varietà abeliane tridimensionali e una vasta classe di varietà abeliane quadri dimensionali.
• Analogia con la Congettura di Tate: La sezione finale discute la congettura di Tate per i divisori come analogo della congettura di Hodge, utilizzando la mappa esponenziale di Artin-Hasse e la struttura dei vettori di Witt per inquadrare il problema in termini di elementi "uniformemente finiti" nella coomologia cristallina.

Significatività e Rivendicazioni
Il lavoro rivendica di fornire una descrizione strutturale completa della torsione $p$-primaria del gruppo di Brauer, andando oltre le formule di dimensione per determinare le specifiche classi di isogenia delle componenti unipotenti.

• Risolve la struttura di $\text{Br}(A)[p^\infty]$ per tutte le varietà abeliane tridimensionali, identificando l'unico caso (supergenerale) in cui il gruppo unipotente è non banale e non è un prodotto di $\mathbb{G}_a$.
• Offre formule combinatorie esplicite per la dimensione di $U[p]$ basate sui tipi di Ekedahl-Oort.
• Fornisce una nuova prova elementare per la regolarità di certi gruppi formali, bypassando la necessità della $t$-struttura diagonale.
• Propone una descrizione congetturale della classe di isogenia di $U$ nel caso generale supergenerale, supportata da calcoli espliciti in dimensione 3 e risultati parziali in dimensioni superiori.

La tesi sottolinea che, sebbene la dimensione di $U$ fosse nota tramite Crew ed Ekedahl, l'intricato comportamento dei gruppi unipotenti in caratteristica $p$ (specificamente le loro classi di isogenia) richiedeva i calcoli espliciti dei moduli di Dieudonné e l'applicazione della formula di Skorobogatov qui presentati.