p-Primary Torsion of the Brauer Group in Characteristic p

Resumen Técnico: Torsión $p$-primaria del Grupo de Brauer en Característica $p$

Planteamiento del Problema
La tesis investiga la estructura de la componente $p$-primaria del grupo de Brauer, denotada como $\text{Br}(X)[p^\infty]$, para una variedad suave y propia $X$ sobre un cuerpo algebraicamente cerrado $k$ de característica $p > 0$. Mientras que la torsión $\ell$-primaria para $\ell \neq p$ está bien comprendida mediante la cohomología étale y la secuencia de Kummer, la parte $p$-primaria es significativamente más sutil. El grupo $\text{Br}(X)[p^\infty]$ se descompone en una parte divisible $(\mathbb{Q}_p/\mathbb{Z}_p)^{r-\rho}$ (donde $r$ es la multiplicidad de la pendiente 1 en la cohomología cristalina y $\rho$ es el número de Picard) y una parte de torsión $H^3(X, \mathbb{Z}_p(1))[p^\infty]$. El desafío central abordado es la descripción precisa de esta última, la cual se ajusta a una secuencia exacta:
$$0 \to U(k) \to H^3(X, \mathbb{Z}_p(1))[p^\infty] \to J \to 0$$
donde $U$ es un grupo algebraico unipotente conmutativo conectado y $J$ es un grupo finito. La tesis tiene como objetivo determinar la dimensión, la clase de isogenia y la estructura explícita de $U$ y $J$, particularmente para variedades abelianas.

Metodología
La investigación emplea una síntesis de varias herramientas avanzadas de la geometría aritmética:

1. Teoría de los Hojas de de Rham-Witt Logarítmicas de Illusie: La tesis utiliza el complejo de de Rham-Witt $W\Omega^\bullet_{X/k}$ y sus subhojas logarítmicas $W\Omega^i_{X/k, \log}$ para relacionar la cohomología plana $H^i_{fppf}(X, \mu_{p^n})$ con la cohomología cristalina.
2. Secuencias Espectrales de Pendientes y Números de Dominó: El análisis se basa en la secuencia espectral de pendientes $E_1^{pq} = H^q(X, W\Omega^p_{X/k}) \Rightarrow H^{p+q}_{\text{cris}}(X/W)$. La no degeneración de esta secuencia en la página $E_1$ (debido a la torsión $p$) se mide mediante "números de dominó" $T^{ij}$, introducidos por Crew y Ekedahl. La dimensión del grupo unipotente $U$ se identifica con el número de dominó $T^{0,2}$.
3. Teoría de Módulos de Dieudonné: Para variedades abelianas, la tesis traduce el problema geométrico en álgebra lineal sobre el anillo de Cartier-Dieudonné $W\sigma[F, V]$. Emplea la clasificación de esquemas de grupos abelianos finitos de Kraft y la estratificación de los espacios de moduli por tipos de Ekedahl-Oort.
4. Fórmula de Skorobogatov: Una herramienta metodológica clave es una fórmula de Skorobogatov (para $p \neq 2$) que expresa $\text{Br}(A)[p^n]$ en términos de los homomorfismos simétricos $\text{Hom}(A[p^n], A^\vee[p^n])_{\text{sym}}$. Esto permite el cálculo explícito del subgrupo de torsión $p$, $U[p]$, mediante las relaciones de los módulos de Dieudonné.
5. Dualidad Plana y Grupos Formales: El trabajo aplica el teorema de dualidad plana de Milne para superficies e investiga la suavidad de los grupos formales de Artin-Mazur planos sin depender de la estructura $t$ diagonal de Ekedahl.

Contribuciones Clave y Resultados

Parte I: Teoría General y Primeras Aplicaciones

• Teorema de Estructura: La tesis confirma la secuencia exacta partida $0 \to (\mathbb{Q}_p/\mathbb{Z}_p)^{r-\rho} \to \text{Br}(X)[p^\infty] \to H^3(X, \mathbb{Z}_p(1))[p^\infty] \to 0$.
• Dimensión Unipotente: Establece que la dimensión del grupo unipotente $U$ está dada por el número de dominó $T^{0,2}$. Para superficies, esto recupera la fórmula de Crew: $\dim U = (h_{0,2} - h_{0,1}) - (m_{0,2} - m_{0,1})$.
• Variedades Ordinarias: Se muestra que si $X$ es ordinaria, entonces $U = 0$ y $J$ es el dual de Pontryagin de $\text{NS}(X)[p^\infty]$.
• Superficies: Para superficies con $q = -p_a$ (incluyendo superficies de Enriques, Godeaux e hiperelípticas), $U=0$. El grupo finito $J$ se identifica como el dual de la torsión $p$ del grupo de Neron-Severi.
• Productos: Utilizando la fórmula de Künneth de Ekedahl, se demuestra que si $X$ es ordinaria, la parte unipotente de $\text{Br}(X \times Y)$ es isomórfica a la de $\text{Br}(Y)$.

Parte II: Variedades Abelianas

• Aplicación de la Fórmula de Skorobogatov: La tesis calcula explícitamente $\text{Br}(A)[p^n]$ para variedades abelianas principalmente polarizadas utilizando el grupo de homomorfismos simétricos.
• Dimensión de $U[p]$: Para una variedad abeliana de dimensión $g$ principalmente polarizada con tipo Ekedahl-Oort $\phi$, la dimensión del subgrupo de torsión $p$, $U[p]$, se calcula combinatoriamente basándose en el tipo.
• Clasificación para Tresvariedades: Se proporciona una clasificación completa de la clase de isogenia de $U$ para todas las tresvariedades abelianas. Los resultados están tabulados por polígono de Newton y número-$a$. Un hallazgo significativo es que $U$ no es un producto de grupos aditivos $\mathbb{G}_a$ si y solo si $A$ es supersingular con número-$a$ igual a 1 (denominada "supergeneral"). En este caso específico, $U$ es isógeno a $\mathbb{G}_a \times W_2$ (donde $W_2$ es el grupo de Witt de longitud 2).
• Grupos Hom Explícitos: Para las tresvariedades abelianas principalmente polarizadas supergenerales, se computa explícitamente el componente conexo de $\text{Hom}(A[p^2], A^\vee[p^2])_{\text{sym}}$. Se muestra que es un grupo unipotente $W(b,c)_2 \oplus \mathbb{G}_a$ que varía de manera bien comportada a través del espacio de moduli.
• Conjetura: Se propone una conjetura de que para una variedad abeliana supergeneral arbitraria de dimensión $g$, $U$ es isógeno a $\prod_{i=1}^{g-1} W_i$.

Parte III: Temas Adicionales y Aplicaciones

• Criterio de Inyectividad: La tesis generaliza un resultado de Ogus probando un criterio de inyectividad para el mapa $d\log: H^2_{fppf}(X, \mu_{p^n}) \to H^2_{\text{cris}}(X/W_n)$ bajo la suposición de que la secuencia espectral de Frölicher degenera en $E_1$ y $H^1_{\text{cris}}$ es libre de torsión. Esto se aplica a variedades abelianas y superficies K3.
• Suavidad de Grupos Formales: Sin invocar la profunda estructura $t$ diagonal de Ekedahl, la tesis establece la suavidad de los grupos formales de Artin-Mazur planos $\Phi^i_{fl}(A, \mathbb{G}_m)$ para todas las tresvariedades abelianas y una gran clase de cuatrovariedades abelianas.
• Analogía de la Conjetura de Tate: La sección final discute la conjetura de Tate para divisores como un análogo de la conjetura de Hodge, utilizando el mapa exponencial de Artin-Hasse y la estructura de los vectores de Witt para enmarcar el problema en términos de elementos "uniformemente finitos" en la cohomología cristalina.

Significancia y Reivindicaciones
El trabajo afirma proporcionar una descripción estructural exhaustiva de la torsión $p$-primaria del grupo de Brauer, yendo más allá de las fórmulas de dimensión para determinar las clases de isogenia específicas de los componentes unipotentes.

• Resuelve la estructura de $\text{Br}(A)[p^\infty]$ para todas las tresvariedades abelianas, identificando el caso único (supergeneral) donde el grupo unipotente es no trivial y no es un producto de $\mathbb{G}_a$.
• Ofrece fórmulas combinatorias explícitas para la dimensión de $U[p]$ basadas en los tipos de Ekedahl-Oort.
• Proporciona una nueva prueba elemental para la suavidad de ciertos grupos formales, evitando la necesidad de la estructura $t$ diagonal.
• Propone una descripción conjectural de la clase de isogenia de $U$ en el caso supergeneral general, apoyada por cálculos explícitos en dimensión 3 y resultados parciales en dimensiones superiores.

La tesis enfatiza que, si bien la dimensión de $U$ era conocida vía Crew y Ekedahl, el comportamiento intrincado de los grupos unipotentes en característica $p$ (específicamente sus clases de isogenia) requería los cálculos explícitos de módulos de Dieudonné y la aplicación de la fórmula de Skorobogatov presentados aquí.