p-Primary Torsion of the Brauer Group in Characteristic p

Resumo Técnico: Torção $p$-Primária do Grupo de Brauer em Característica $p$

Enunciado do Problema
A tese investiga a estrutura da componente $p$-primária do grupo de Brauer, denotada por $\text{Br}(X)[p^\infty]$, para uma variedade suave e própria $X$ sobre um corpo algebricamente fechado $k$ de característica $p > 0$. Enquanto a torção $\ell$-primária para $\ell \neq p$ é bem compreendida via cohomologia étale e a sequência de Kummer, a parte $p$-primária é significativamente mais sutil. O grupo $\text{Br}(X)[p^\infty]$ decompõe-se em uma parte divisível $(\mathbb{Q}_p/\mathbb{Z}_p)^{r-\rho}$ (onde $r$ é a multiplicidade de inclinação 1 na cohomologia cristalina e $\rho$ é o número de Picard) e uma parte de torção $H^3(X, \mathbb{Z}_p(1))[p^\infty]$. O desafio central abordado é a descrição precisa desta última, que se ajusta a uma sequência exata:
$$0 \to U(k) \to H^3(X, \mathbb{Z}_p(1))[p^\infty] \to J \to 0$$
onde $U$ é um grupo algébrico unipotente comutativo conexo e $J$ é um grupo finito. A tese visa determinar a dimensão, a classe de isogenia e a estrutura explícita de $U$ e $J$, particularmente para variedades abelianas.

Metodologia
A pesquisa emprega uma síntese de diversas ferramentas avançadas da geometria aritmética:

1. Teoria de Illusie de Feixes de de Rham-Witt Logarítmicos: A tese utiliza o complexo de de Rham-Witt $W\Omega^\bullet_{X/k}$ e seus subfeixes logarítmicos $W\Omega^i_{X/k, \log}$ para relacionar a cohomologia plana $H^i_{fppf}(X, \mu_{p^n})$ com a cohomologia cristalina.
2. Sequências Espectrais de Inclinação e Números de Dominó: A análise baseia-se na sequência espectral de inclinação $E_1^{pq} = H^q(X, W\Omega^p_{X/k}) \Rightarrow H^{p+q}_{\text{cris}}(X/W)$. A não-degeneração desta sequência na página $E_1$ (devido à $p$-torção) é medida por "números de dominó" $T^{ij}$, introduzidos por Crew e Ekedahl. A dimensão do grupo unipotente $U$ é identificada com o número de dominó $T^{0,2}$.
3. Teoria de Módulos de Dieudonné: Para variedades abelianas, a tese traduz o problema geométrico em álgebra linear sobre o anel de Cartier-Dieudonné $W\sigma[F, V]$. Emprega a classificação de esquemas de grupos comutativos finitos por Kraft e o estratificação de espaços de moduli por tipos de Ekedahl-Oort.
4. Fórmula de Skorobogatov: Uma ferramenta metodológica chave é uma fórmula de Skorobogatov (para $p \neq 2$) que expressa $\text{Br}(A)[p^n]$ em termos dos homomorfismos simétricos $\text{Hom}(A[p^n], A^\vee[p^n])_{\text{sym}}$. Isso permite o cálculo explícito do subgrupo de torção $U[p]$ através das relações dos módulos de Dieudonné.
5. Dualidade Plana e Grupos Formais: O trabalho aplica o teorema de dualidade plana de Milne para superfícies e investiga a suavidade de grupos formais de Artin-Mazur planos sem depender da estrutura $t$ diagonal de Ekedahl.

Contribuições Principais e Resultados

Parte I: Teoria Geral e Primeiras Aplicações

• Teorema de Estrutura: A tese confirma a sequência exata partida $0 \to (\mathbb{Q}_p/\mathbb{Z}_p)^{r-\rho} \to \text{Br}(X)[p^\infty] \to H^3(X, \mathbb{Z}_p(1))[p^\infty] \to 0$.
• Dimensão Unipotente: Estabelece que a dimensão do grupo unipotente $U$ é dada pelo número de dominó $T^{0,2}$. Para superfícies, isso recupera a fórmula de Crew: $\dim U = (h_{0,2} - h_{0,1}) - (m_{0,2} - m_{0,1})$.
• Variedades Ordinárias: Mostra-se que, se $X$ é ordinária, então $U = 0$ e $J$ é o dual de Pontryagin de $\text{NS}(X)[p^\infty]$.
• Superfícies: Para superfícies com $q = -p_a$ (incluindo superfícies de Enriques, Godeaux e hiperelípticas), $U=0$. O grupo finito $J$ é identificado como o dual da $p$-torção do grupo de Néron-Severi.
• Produtos: Usando a fórmula de Künneth de Ekedahl, prova-se que, se $X$ é ordinária, a parte unipotente de $\text{Br}(X \times Y)$ é isomórfica à de $\text{Br}(Y)$.

Parte II: Variedades Abelianas

• Aplicação da Fórmula de Skorobogatov: A tese calcula explicitamente $\text{Br}(A)[p^n]$ para variedades abelianas principalmente polarizadas usando o grupo de homomorfismos simétricos.
• Dimensão de $U[p]$: Para uma variedade abeliana de dimensão $g$ principalmente polarizada com tipo Ekedahl-Oort $\phi$, a dimensão do subgrupo de torção $U[p]$ é calculada combinatorialmente com base no tipo.
• Classificação para Trêsvariedades: Uma classificação completa da classe de isogenia de $U$ para todas as trêsvariedades abelianas é fornecida. Os resultados são tabelados por polinômio de Newton e número-$a$. Um achado significativo é que $U$ não é um produto de grupos aditivos $\mathbb{G}_a$ se, e somente se, $A$ é supersingular com número-$a$ igual a 1 (termo "supergeneral"). Neste caso específico, $U$ é isógeno a $\mathbb{G}_a \times W_2$ (onde $W_2$ é o grupo de Witt de comprimento 2).
• Grupos Hom Explícitos: Para trêsvariedades abelianas principalmente polarizadas supergerais, o componente conexo de $\text{Hom}(A[p^2], A^\vee[p^2])_{\text{sym}}$ é explicitamente computado. Mostra-se que este é um grupo unipotente $W(b,c)_2 \oplus \mathbb{G}_a$ que varia de forma bem comportada através do espaço de moduli.
• Conjectura: Propõe-se uma conjectura de que, para uma variedade abeliana supergeral arbitrária de dimensão $g$, $U$ é isógeno a $\prod_{i=1}^{g-1} W_i$.

Parte III: Outros Tópicos e Aplicações

• Critério de Injetividade: A tese generaliza um resultado de Ogus, provando um critério de injetividade para o mapa $d\log: H^2_{fppf}(X, \mu_{p^n}) \to H^2_{\text{cris}}(X/W_n)$ sob a suposição de que a sequência espectral de Frölicher degenera em $E_1$ e $H^1_{\text{cris}}$ é livre de torção. Isto aplica-se a variedades abelianas e superfícies K3.
• Suavidade de Grupos Formais: Sem invocar a profunda estrutura $t$ diagonal de Ekedahl, a tese estabelece a suavidade de grupos formais de Artin-Mazur planos $\Phi^i_{fl}(A, \mathbb{G}_m)$ para todas as trêsvariedades abelianas e uma grande classe de quatrovariedades abelianas.
• Analogia com a Conjectura de Tate: A seção final discute a conjectura de Tate para divisores como um análogo da conjectura de Hodge, utilizando o mapa exponencial de Artin-Hasse e a estrutura de vetores de Witt para enquadrar o problema em termos de elementos "uniformemente finitos" na cohomologia cristalina.

Significância e Alegações
O artigo afirma fornecer uma descrição estrutural abrangente da torção $p$-primária do grupo de Brauer, indo além das fórmulas de dimensão para determinar as classes de isogenia específicas dos componentes unipotentes.

• Resolve a estrutura de $\text{Br}(A)[p^\infty]$ para todas as trêsvariedades abelianas, identificando o caso único (supergeneral) onde o grupo unipotente é não-trivial e não é um produto de $\mathbb{G}_a$.
• Oferece fórmulas combinatórias explícitas para a dimensão de $U[p]$ baseadas em tipos de Ekedahl-Oort.
• Fornece uma nova prova elementar para a suavidade de certos grupos formais, contornando a necessidade da estrutura $t$ diagonal.
• Propõe uma descrição conjectural para a classe de isogenia de $U$ no caso supergeral geral, apoiada por cálculos explícitos em dimensão 3 e resultados parciais em dimensões superiores.

A tese enfatiza que, embora a dimensão de $U$ fosse conhecida via Crew e Ekedahl, o comportamento intrincado dos grupos unipotentes em característica $p$ (especificamente suas classes de isogenia) exigia os cálculos de módulos de Dieudonné e a aplicação da fórmula de Skorobogatov aqui apresentados.