p-Primary Torsion of the Brauer Group in Characteristic p

Résumé Technique : La torsion $p$-primaire du groupe de Brauer en caractéristique $p$

Énoncé du Problème
La thèse étudie la structure de la composante $p$-primaire du groupe de Brauer, notée $\text{Br}(X)[p^\infty]$, pour une variété propre et lisse $X$ sur un corps algébriquement clos $k$ de caractéristique $p > 0$. Alors que la torsion $\ell$-primaire pour $\ell \neq p$ est bien comprise via la cohomologie étale et la suite de Kummer, la partie $p$-primaire est nettement plus subtile. Le groupe $\text{Br}(X)[p^\infty]$ se décompose en une partie divisible $(\mathbb{Q}_p/\mathbb{Z}_p)^{r-\rho}$ (où $r$ est la multiplicité de la pente 1 dans la cohomologie cristalline et $\rho$ est le nombre de Picard) et une partie torsion $H^3(X, \mathbb{Z}_p(1))[p^\infty]$. Le défi central abordé est la description précise de cette dernière, qui s'inscrit dans une suite exacte :
$$0 \to U(k) \to H^3(X, \mathbb{Z}_p(1))[p^\infty] \to J \to 0$$
où $U$ est un groupe algébrique unipotente commutatif connexe et $J$ est un groupe fini. La thèse vise à déterminer la dimension, la classe d'isogénie et la structure explicite de $U$ et de $J$, particulièrement pour les variétés abéliennes.

Méthodologie
La recherche emploie une synthèse de plusieurs outils avancés de la géométrie arithmétique :

1. Théorie des faisceaux de de Rham-Witt logarithmiques d'Illusie : La thèse utilise le complexe de de Rham-Witt $W\Omega^\bullet_{X/k}$ et ses sous-faisceaux logarithmiques $W\Omega^i_{X/k, \log}$ pour relier la cohomologie plate $H^i_{fppf}(X, \mu_{p^n})$ à la cohomologie cristalline.
2. Suites spectrales de pentes et nombres de domino : L'analyse repose sur la suite spectrale de pentes $E_1^{pq} = H^q(X, W\Omega^p_{X/k}) \Rightarrow H^{p+q}_{\text{cris}}(X/W)$. La non-dégénérescence de cette suite à la page $E_1$ (due à la torsion $p$) est mesurée par des « nombres de domino » $T^{ij}$, introduits par Crew et Ekedahl. La dimension du groupe unipotente $U$ est identifiée au nombre de domino $T^{0,2}$.
3. Théorie des modules de Dieudonné : Pour les variétés abéliennes, la thèse traduit le problème géométrique en algèbre linéaire sur l'anneau de Cartier-Dieudonné $W\sigma[F, V]$. Elle emploie la classification des schémas en groupes commutatifs finis par Kraft et la stratification des espaces de modules par types d'Ekedahl-Oort.
4. Formule de Skorobogatov : Un outil méthodologique clé est une formule de Skorobogatov (pour $p \neq 2$) qui exprime $\text{Br}(A)[p^n]$ en termes de homomorphismes symétriques $\text{Hom}(A[p^n], A^\vee[p^n])_{\text{sym}}$. Cela permet le calcul explicite du sous-groupe de torsion $U[p]$ via les relations des modules de Dieudonné.
5. Dualité plate et groupes formels : Le travail applique le théorème de dualité plate de Milne pour les surfaces et étudie la lissité des groupes formels d'Artin-Mazur plats sans dépendre de la $t$-structure diagonale d'Ekedahl.

Contributions Clés et Résultats

Partie I : Théorie Générale et Premières Applications

• Théorème de Structure : La thèse confirme la suite exacte scindée $0 \to (\mathbb{Q}_p/\mathbb{Z}_p)^{r-\rho} \to \text{Br}(X)[p^\infty] \to H^3(X, \mathbb{Z}_p(1))[p^\infty] \to 0$.
• Dimension Unipotente : Elle établit que la dimension du groupe unipotente $U$ est donnée par le nombre de domino $T^{0,2}$. Pour les surfaces, cela retrouve la formule de Crew : $\dim U = (h_{0,2} - h_{0,1}) - (m_{0,2} - m_{0,1})$.
• Variétés Ordinaires : Il est montré que si $X$ est ordinaire, alors $U = 0$ et $J$ est le dual de Pontryagin de $\text{NS}(X)[p^\infty]$.
• Surfaces : Pour les surfaces avec $q = -p_a$ (incluant les surfaces d'Enriques, de Godeaux et hyperelliptiques), $U=0$. Le groupe fini $J$ est identifié comme le dual de la torsion $p$ du groupe de Neron-Severi.
• Produits : En utilisant la formule de Künneth d'Ekedahl, il est prouvé que si $X$ est ordinaire, la partie unipotente de $\text{Br}(X \times Y)$ est isomorphe à celle de $\text{Br}(Y)$.

Partie II : Variétés Abéliennes

• Application de la Formule de Skorobogatov : La thèse calcule explicitement $\text{Br}(A)[p^n]$ pour les variétés abéliennes principalement polarisées en utilisant le groupe des homomorphismes symétriques.
• Dimension de $U[p]$ : Pour une variété abélienne principalement polarisée de dimension $g$ avec un type d'Ekedahl-Oort $\phi$, la dimension du sous-groupe de torsion $U[p]$ est calculée de manière combinatoire selon le type.
• Classification pour les Trois-variétés : Une classification complète de la classe d'isogénie de $U$ pour toutes les variétés abéliennes de dimension trois est fournie. Les résultats sont tabulés par polygone de Newton et nombre $a$. Une découverte significative est que $U$ n'est pas un produit de groupes additifs $\mathbb{G}_a$ si et seulement si $A$ est supersingulière avec un nombre $a$ égal à 1 (appelée « supergénérale »). Dans ce cas spécifique, $U$ est isogène à $\mathbb{G}_a \times W_2$ (où $W_2$ est le groupe de Witt de longueur 2).
• Groupes Hom explicites : Pour les trois-variétés abéliennes principalement polarisées supergénérales, la composante connexe de $\text{Hom}(A[p^2], A^\vee[p^2])_{\text{sym}}$ est explicitement calculée. Il est montré qu'elle est un groupe unipotente $W(b,c)_2 \oplus \mathbb{G}_a$ qui varie de manière bien élevée à travers l'espace des modules.
• Conjecture : Une conjecture est proposée affirmant que pour une variété abélienne supergénérale arbitraire de dimension $g$, $U$ est isogène à $\prod_{i=1}^{g-1} W_i$.

Partie III : Autres Sujets et Applications

• Critère d'Injectivité : La thèse généralise un résultat d'Ogus en prouvant un critère d'injectivité pour la map $d\log: H^2_{fppf}(X, \mu_{p^n}) \to H^2_{\text{cris}}(X/W_n)$ sous l'hypothèse que la suite spectrale de Frölicher dégénère à $E_1$ et que $H^1_{\text{cris}}$ est sans torsion. Cela s'applique aux variétés abéliennes et aux surfaces K3.
• Lissité des Groupes Formels : Sans invoquer la profonde $t$-structure diagonale d'Ekedahl, la thèse établit la lissité des groupes formels d'Artin-Mazur plats $\Phi^i_{fl}(A, \mathbb{G}_m)$ pour toutes les trois-variétés abéliennes et une large classe de quatre-variétés abéliennes.
• Analogie de la Conjecture de Tate : La section finale discute de la conjecture de Tate pour les diviseurs comme d'une analogie de la conjecture de Hodge, en utilisant la map exponentielle d'Artin-Hasse et la structure des vecteurs de Witt pour cadrer le problème en termes d'éléments « uniformément finis » dans la cohomologie cristalline.

Signification et Revendications
L'article prétend fournir une description structurelle complète de la torsion $p$-primaire du groupe de Brauer, allant au-delà des formules de dimension pour déterminer les classes d'isogénie spécifiques des composantes unipotentes.

• Il résout la structure de $\text{Br}(A)[p^\infty]$ pour toutes les trois-variétés abéliennes, identifiant le cas unique (supergénéral) où le groupe unipotente est non trivial et n'est pas un produit de $\mathbb{G}_a$.
• Il offre des formules combinatoires explicites pour la dimension de $U[p]$ basées sur les types d'Ekedahl-Oort.
• Il fournit une nouvelle preuve élémentaire pour la lissité de certains groupes formels, contournant le besoin de la $t$-structure diagonale.
• Le travail propose une description conjecturale de la classe d'isogénie de $U$ dans le cas général supergénéral, soutenue par des calculs explicites en dimension 3 et des résultats partiels en dimensions supérieures.

La thèse souligne que si la dimension de $U$ était connue via Crew et Ekedahl, le comportement complexe des groupes unipotents en caractéristique $p$ (spécifiquement leurs classes d'isogénie) nécessitait les calculs de modules de Dieudonné explicites et l'application de la formule de Skorobogatov présentés ici.