p-Primary Torsion of the Brauer Group in Characteristic p

Technische Samenvatting: $p$-primaire Torsie van de Brauer-groep in Karakteristiek $p$

Probleemstelling
De thesis onderzoekt de structuur van de $p$-primaire component van de Brauer-groep, aangeduid als $\text{Br}(X)[p^\infty]$, voor een eigentijdse gladde variëteit $X$ over een algebraïsch gesloten lichaam $k$ van karakteristiek $p > 0$. Terwijl de $\ell$-primaire torsie voor $\ell \neq p$ goed begrepen is via étale cohomologie en de Kummer-sequentie, is het $p$-primaire deel aanzienlijk subtieler. De groep $\text{Br}(X)[p^\infty]$ ontleedt in een divisibel deel $(\mathbb{Q}_p/\mathbb{Z}_p)^{r-\rho}$ (waarbij $r$ de multipliciteit van helling 1 is in kristallijne cohomologie en $\rho$ het Picard-getal is) en een torsie-deel $H^3(X, \mathbb{Z}_p(1))[p^\infty]$. De centrale uitdaging die wordt aangepakt is de precieze beschrijving van dit laatste, dat past in een exacte sequentie:
$$0 \to U(k) \to H^3(X, \mathbb{Z}_p(1))[p^\infty] \to J \to 0$$
waarbij $U$ een verbonden commutatieve unipotente algebraïsche groep is en $J$ een eindige groep. De thesis beoogt de dimensie, de isogenie-klasse en de expliciete structuur van $U$ en $J$ te bepalen, in het bijzonder voor abelse variëteiten.

Methodologie
Het onderzoek maakt gebruik van een synthese van verschillende geavanceerde instrumenten uit de arithmetische meetkunde:

1. Illusie's Theorie van Logaritmische de Rham-Witt Schoven: De thesis maakt gebruik van de de Rham-Witt complex $W\Omega^\bullet_{X/k}$ en de bijbehorende logaritmische subschoven $W\Omega^i_{X/k, \log}$ om platte cohomologie $H^i_{fppf}(X, \mu_{p^n})$ te relateren aan kristallijne cohomologie.
2. Helling-spectrale sequenties en Domino-getallen: De analyse steunt op de helling-spectrale sequentie $E_1^{pq} = H^q(X, W\Omega^p_{X/k}) \Rightarrow H^{p+q}_{\text{cris}}(X/W)$. De niet-degeneratie van deze sequentie op het $E_1$-blad (door $p$-torsie) wordt gemeten door "domino-getallen" $T^{ij}$, geïntroduceerd door Crew en Ekedahl. De dimensie van de unipotente groep $U$ wordt geïdentificeerd met het domino-getal $T^{0,2}$.
3. Dieudonné-module Theorie: Voor abelse variëteiten vertaalt de thesis het geometrische probleem naar lineaire algebra over de Cartier-Dieudonné ring $W\sigma[F, V]$. Er wordt gebruikgemaakt van de classificatie van eindige commutatieve groepsschemata door Kraft en de stratificatie van moduli-ruimten door Ekedahl-Oort types.
4. Skorobogatov's Formule: Een cruciaal methodologisch instrument is een formule van Skorobogatov (voor $p \neq 2$) die $\text{Br}(A)[p^n]$ uitdrukt in termen van de symmetrische homomorfismen $\text{Hom}(A[p^n], A^\vee[p^n])_{\text{sym}}$. Dit maakt expliciete berekening van de $p$-torsie ondergroep $U[p]$ mogelijk via de relaties van Dieudonné-modules.
5. Platte Dualiteit en Formele Groepen: Het werk past de platte dualiteitstelling van Milne toe voor oppervlakken en onderzoekt de gladheid van platte Artin-Mazur formele groepen zonder te vertrouwen op Ekedahls diagonale $t$-structuur.

Kernbijdragen en Resultaten

Deel I: Algemene Theorie en Eerste Toepassingen

• Structuurstelling: De thesis bevestigt de gesplitste exacte sequentie $0 \to (\mathbb{Q}_p/\mathbb{Z}_p)^{r-\rho} \to \text{Br}(X)[p^\infty] \to H^3(X, \mathbb{Z}_p(1))[p^\infty] \to 0$.
• Unipotente Dimensie: Het stelt vast dat de dimensie van de unipotente groep $U$ gegeven wordt door het domino-getal $T^{0,2}$. Voor oppervlakken herstelt dit de formule van Crew: $\dim U = (h_{0,2} - h_{0,1}) - (m_{0,2} - m_{0,1})$.
• Ordinaire Variëteiten: Er wordt aangetoond dat als $X$ ordinaal is, dan $U = 0$ en $J$ de Pontryagin-duaal is van $\text{NS}(X)[p^\infty]$.
• Oppervlakken: Voor oppervlakken met $q = -p_a$ (inclusief Enriques-, Godeaux- en hyperelliptische oppervlakken), geldt $U=0$. De eindige groep $J$ wordt geïdentificeerd als de dual van de $p$-torsie van de Neron-Severi groep.
• Producten: Gebruikmakend van Ekedahls Künneth-formule wordt bewezen dat als $X$ ordinaal is, het unipotente deel van $\text{Br}(X \times Y)$ isomorf is aan dat van $\text{Br}(Y)$.

Deel II: Abelse Variëteiten

• Toepassing van Skorobogatov's Formule: De thesis berekent expliciet $\text{Br}(A)[p^n]$ voor principaal gepolariseerde abelse variëteiten met behulp van de groep van symmetrische homomorfismen.
• Dimensie van $U[p]$: Voor een principaal gepolariseerde abelse variëteit van dimensie $g$ met Ekedahl-Oort type $\phi$, wordt de dimensie van de $p$-torsie ondergroep $U[p]$ combinatorisch berekend op basis van het type.
• Classificatie voor Driedimensies: Een volledige classificatie van de isogenie-klasse van $U$ voor alle abelse driedimensions wordt geboden. De resultaten zijn getabelleerd naar Newton-polygon en $a$-getal. Een belangrijke bevinding is dat $U$ niet een product is van additieve groepen $\mathbb{G}_a$ dan en slechts dan als $A$ supersingulier is met $a$-getal 1 (getermd "supergeneral"). In dit specifieke geval is $U$ isogeen aan $\mathbb{G}_a \times W_2$ (waarbij $W_2$ de Witt-groep van lengte 2 is).
• Expliciete Hom-groepen: Voor supergenerale principaal gepolariseerde abelse driedimensions wordt de verbonden component van $\text{Hom}(A[p^2], A^\vee[p^2])_{\text{sym}}$ expliciet berekend. Het wordt getoond dat dit een unipotente groep $W(b,c)_2 \oplus \mathbb{G}_a$ is die zich welgedrag vertoont over de moduli-ruimte.
• Conjectuur: Er wordt een conjectuur voorgesteld dat voor een willekeurige supergenerale abelse variëteit van dimensie $g$, $U$ isogeen is aan $\prod_{i=1}^{g-1} W_i$.

Deel III: Verdere Onderwerpen en Toepassingen

• Injectiviteitscriterium: De thesis generaliseert een resultaat van Ogus door een injectiviteitscriterium te bewijzen voor de afbeelding $d\log: H^2_{fppf}(X, \mu_{p^n}) \to H^2_{\text{cris}}(X/W_n)$ onder de aanname dat de Frölicher-spectrale sequentie degradeert op $E_1$ en $H^1_{\text{cris}}$ torsievrij is. Dit is van toepassing op abelse variëteiten en K3-oppervlakken.
• Gladheid van Formele Groepen: Zonder beroep te doen op Ekedahls diepe diagonale $t$-structuur, stelt de thesis de gladheid vast van platte Artin-Mazur formele groepen $\Phi^i_{fl}(A, \mathbb{G}_m)$ voor alle abelse driedimensions en een grote klasse van abelse vierdimensions.
• Tate-conjectuur Analogie: De laatste sectie bespreekt de Tate-conjectuur voor divisors als een analogie van de Hodge-conjectuur, waarbij de Artin-Hasse exponentiële map en de structuur van Witt-vectoren worden gebruikt om het probleem te kaderen in termen van "uniform eindige" elementen in kristallijne cohomologie.

Betekenis en Claims
De paper claimt een uitgebreide structurele beschrijving te bieden van de $p$-primaire torsie van de Brauer-groep, waarbij verder wordt gegaan dan louter dimensieformules om de specifieke isogenie-klassen van de unipotente componenten te bepalen.

• Het lost de structuur van $\text{Br}(A)[p^\infty]$ op voor alle abelse driedimensions op, waarbij de unieke casus (supergeneral) wordt geïdentificeerd waar de unipotente groep niet-triviaal en niet een product van $\mathbb{G}_a$ is.
• Het biedt expliciete combinatorische formules voor de dimensie van $U[p]$ op basis van Ekedahl-Oort types.
• Het biedt een nieuw, elementair bewijs voor de gladheid van bepaalde formele groepen, waarbij de noodzaak voor de diagonale $t$-structuur wordt omzeild.
• Het werk stelt een conjecturale beschrijving voor van de isogenie-klasse van $U$ in het algemene supergenerale geval, ondersteund door expliciete berekeningen in dimensie 3 en gedeeltelijke resultaten in hogere dimensies.

De thesis benadrukt dat hoewel de dimensie van $U$ bekend was via Crew en Ekedahl, het complexe gedrag van unipotente groepen in karakteristiek $p$ (specifiek hun isogenie-klassen) de expliciete Dieudonné-module berekeningen en de toepassing van de formule van Skorobogatov vereiste die hier worden gepresenteerd.