On spectral sequences for semiabelian varieties over non-closed fields

Sintesi Tecnica: Sulle sequenze spettrali per varietà semiassiali su campi non chiusi

Enunciato del Problema
Il saggio investiga la struttura del complesso di coomologia étale $R\Gamma_{\text{ét}}(X_{k^s}, \mathbb{Z}_\ell)$ per varietà algebriche $X$ su un campo non chiuso $k$. Mentre il teorema di decomposizione di Deligne garantisce che, per varietà proiettive lisce, il complesso di coomologia étale razionale sia quasi-isomorfo alla somma diretta dei suoi singoli gruppi di coomologia, tale proprietà fallisce per coefficienti integrali. Questo fallimento si manifesta nella sequenza spettrale di Hochschild–Serre:
$$E_2^{p,q} = H^p(k, H^q_{\text{ét}}(X_{k^s}, \mathbb{Z}_\ell)) \Rightarrow H^{p+q}_{\text{ét}}(X, \mathbb{Z}_\ell)$$
la quale, in generale, possiede differenziali non nulle. Gli autori mirano a fornire una descrizione precisa delle prime differenziali potenzialmente non nulle per le varietà semiassiali (estensioni di varietà abeliane da tori) e a determinare le condizioni sotto le quali tali differenziali sono nulle o non nulle.

Metodologia
Gli autori impiegano una combinazione di tecniche di categoria derivata, coomologia di gruppi e geometria aritmetica:

1. Analisi della Categoria Derivata: Analizzano la troncatura $\tau^{[i, i+1]}R\Gamma_{\text{ét}}(X_{k^s}, \mathbb{Z}/n)$ per identificare le classi di estensione corrispondenti alle differenziali nella sequenza spettrale.
2. Riduzione alla Coomologia di Gruppi: Utilizzando il fatto che le varietà semiassiali sono spazi étale $K(\pi, 1)$, identificano il complesso di coomologia étale con il complesso di coomologia di gruppo continua del modulo di Tate (o del modulo dei caratteri per i tori).
3. Costruzione Esplicita di Estensioni: Costruiscono estensioni esplicite di ordine 2 coinvolgendo funzioni quadratiche e prodotti tensoriali per rappresentare le classi di estensione in $\text{Ext}^2_\Gamma$. Nello specifico, collegano la differenziale $\delta_2^{p,2}$ all'estensione definita dalla sequenza di funzioni quadratiche $0 \to M \to Q(M) \to M \otimes 2 \to \wedge^2 M \to 0$.
4. Accoppiamenti Aritmetici: Per le varietà abeliane, in particolare i Jacobiani, gli autori utilizzano l'accoppiamento di Cassels–Tate e la dualità di Poitou–Tate per testare la divisibilità di specifiche classi di coomologia (correlate al torsore delle carateristiche theta) per 2.
5. Ostruzione di Brauer–Manin: Interpretano certe obstruzioni coomologiche tramite l'accoppiamento di Brauer–Manin su varietà localmente solubili per costruire controesempi espliciti.

Contributi Chiave e Risultati

• Descrizione Generale delle Differenziali per Varietà Semiassiali (Teorema 1.6, 1.13):
  Gli autori forniscono una nuova, breve dimostrazione che descrive la differenziale $\delta_2^{p,2}: H^p(k, \wedge^2 M) \to H^{p+2}(k, M)$ (dove $M = H^1_{\text{ét}}(A_{k^s}, \mathbb{Z}_2)$) per una varietà semiassiale $A$. Essi mostrano che questa differenziale corrisponde alla mappa di connessione di una specifica estensione di ordine 2 che coinvolge funzioni quadratiche. Questa descrizione è generalizzata a coefficienti $\mathbb{Z}/2^m$ tramite omomorfismi di Bockstein.

• Non Degenerazione per Superfici Abeliane (Teorema 1, Teorema 3.5):
  Contrariamente al comportamento dei Jacobiani con classi di divisori razionali, gli autori dimostrano che la sequenza spettrale di Hochschild–Serre non necessariamente degenera per tutte le varietà abeliane. Costruiscono un esplicito esempio di superficie abeliana principalmente polarizzata $A$ su $\mathbb{Q}$ dove la differenziale $\delta_2^{0,2}$ è non nulla. Ciò avviene quando la classe del torsore delle carateristiche theta (o del torsore di Albanese) non è divisibile per 2 nel gruppo di coomologia galoisiana $H^1(k, J)$. Sono forniti due esempi espliciti di curve iperellittiche di genere 2 in cui questa condizione sussiste, utilizzando l'ostruzione di Brauer–Manin per verificare la non-divisibilità.

• Degenerazione per Jacobiani con Divisori Razionali (Teorema 3, Teorema 2.1):
  Il saggio stabilisce che se una curva $C$ ammette una classe di divisore di grado 1 razionale su $k$, il complesso di coomologia étale del suo Jacobiano $J$ si decompone nella categoria derivata $D(\Gamma, \mathbb{Z}/n)$. Di conseguenza, la sequenza spettrale di Hochschild–Serre degenera al secondo foglio. Questo risultato generalizza fatti noti ma è presentato con una dimostrazione che utilizza proiettori di Künneth integrali definiti su $k$.

• Torsori e il Torsore di Albanese (Teorema 4, Teorema 5.1):
  Per un torsore $X$ di una varietà semiassiale $A$, gli autori descrivono l'ostruzione alla scissione del complesso $\tau^{[0,1]}R\Gamma_{\text{ét}}(X_{k^s}, \mathbb{Z}/n)$. Dimostrano che la classe corrispondente a questa ostruzione in $H^2(k, A[n])$ è esattamente l'immagine della classe del torsore $[X] \in H^1(k, A)$ sotto l'omomorfismo di Bockstein. Ciò collega la non-scissione del complesso di coomologia direttamente alla non-trivialità del torsore.

• Il Gruppo di Brauer dei Tori (Teorema 4.1):
  Gli autori descrivono la differenziale $d_3^{0,2}$ nella sequenza spettrale di Hochschild–Serre per un toro $T$ con coefficienti in $\mathbb{G}_m$. Questa differenziale calcola l'ostruzione alla suriettività della mappa $Br(T) \to Br(T_{k^s})^\Gamma$. Forniscono una formula esplicita per questa differenziale sul sottogruppo di torsione 2-primaria usando mappe di Bockstein e la classe del modulo dei caratteri. Come corollario, confermano che per i tori quasi-triviali o tori su campi locali/globali, questa mappa è suriettiva.

• Differenziali per Curve (Proposizione 6.1, 6.5, Corollario 6.6):
  Per curve proiettive lisce, il saggio generalizza il lemma di Suslin. Caratterizzano le differenziali sul secondo foglio in termini del torsore di Albanese; se il torsore di Albanese è divisibile per $n$, le differenziali del secondo foglio scompaiono, e gli autori descrivono le differenziali non nulle sul terzo foglio. Queste differenziali del terzo foglio sono mostrate essere indotte da una specifica classe in $H^3(k, \mu_n$ derivata dallo stack di Picard della curva.

Significato e Rivendicazioni
Il saggio sostiene di offrire una "nuova, breve dimostrazione" della formula per la prima differenziale non nulla della sequenza spettrale di Hochschild–Serre per le varietà semiassiali, unificando il trattamento di varietà abeliane e tori. Il suo significato primario risiede in:

1. Controesempi Espliciti: Fornire i primi esempi noti di varietà abeliane (specificamente superfici) su campi numerici dove la sequenza spettrale fallisce la degenerazione, sfidando l'intuizione che tali degenerazioni possano valere per tutte le varietà abeliane.
2. Interpretazione Arithmetica: Collegare la non-vanishing delle differenziali a profonde proprietà aritmetiche, specificamente la divisibilità per 2 della classe del torsore delle carateristiche theta e l'ostruzione di Brauer–Manin.
3. Strumenti Computazionali: Offrire formule esplicite per calcolare il gruppo di Brauer dei tori e le differenziali per le curve, rispondendo a specifiche questioni sollevate nella letteratura precedente (ad esempio, riguardo al gruppo di Brauer dei tori in [CTS21]).
4. Generalizzazione: Estendere i risultati sulla decomposizione dei complessi di coomologia ai fattori diretti di prodotti di Jacobiani con classi di divisori razionali, un risultato che gli autori notano poter essere noto agli esperti ma precedentemente non disponibile in letteratura.

Gli autori rimangono modesti riguardo alla non-vanishing delle differenziali per i tori, notando che, sebbene forniscano una formula, è attualmente ignoto se esistano esempi non nulli per i tori (Osservazione 4.2). Allo stesso modo, la costruzione della superficie abeliana si basa su esistenti costruzioni aritmetiche di Creutz e Viray, che gli autori sintetizzano per dimostrare il fenomeno della non-degenerazione.