On spectral sequences for semiabelian varieties over non-closed fields

Resumo Técnico: Sobre Sequências Espectrais para Variedades Semiabelianas sobre Corpos Não Fechados

Enunciado do Problema
O artigo investiga a estrutura do complexo de cohomologia étale $R\Gamma_{\text{ét}}(X_{k^s}, \mathbb{Z}_\ell)$ para variedades algébricas $X$ sobre um corpo não fechado $k$. Embora o teorema de decomposição de Deligne garanta que, para variedades projetivas suaves, o complexo de cohomologia étale racional seja quase-isomorfo à soma direta de seus grupos de cohomologia individuais, essa propriedade falha para coeficientes integrais. Essa falha se manifesta na sequência espectral de Hochschild–Serre:
$$E_2^{p,q} = H^p(k, H^q_{\text{ét}}(X_{k^s}, \mathbb{Z}_\ell)) \Rightarrow H^{p+q}_{\text{ét}}(X, \mathbb{Z}_\ell)$$
que, em geral, possui diferenciais não nulos. Os autores visam fornecer uma descrição precisa dos primeiros diferenciais potencialmente não nulos para variedades semiabelianas (extensões de variedades abelianas por tori) e determinar as condições sob as quais esses diferenciais são nulos ou não nulos.

Metodologia
Os autores empregam uma combinação de técnicas de categoria derivada, cohomologia de grupos e geometria aritmética:

1. Análise de Categoria Derivada: Eles analisam o truncamento $\tau^{[i, i+1]}R\Gamma_{\text{ét}}(X_{k^s}, \mathbb{Z}/n)$ para identificar as classes de extensão correspondentes aos diferenciais na sequência espectral.
2. Redução à Cohomologia de Grupos: Utilizando o fato de que variedades semiabelianas são espaços étale $K(\pi, 1)$, eles identificam o complexo de cohomologia étale com o complexo de cohomologia de grupo contínua do módulo de Tate (ou módulo de caracteres para tori).
3. Construção Explícita de Extensões: Eles constroem extensões de ordem 2 explícitas envolvendo funções quadráticas e produtos tensoriais para representar as classes de extensão em $\text{Ext}^2_\Gamma$. Especificamente, eles relacionam o diferencial $\delta_2^{p,2}$ à extensão definida pela sequência de funções quadráticas $0 \to M \to Q(M) \to M \otimes 2 \to \wedge^2 M \to 0$.
4. Paridadeações Aritméticas: Para variedades abelianas, particularmente jacobianos, os autores utilizam o emparelhamento de Cassels–Tate e a dualidade de Poitou–Tate para testar a divisibilidade de classes de cohomologia específicas (relacionadas ao torsor das características de theta) por 2.
5. Obstrução de Brauer–Manin: Eles interpretam certas obstruções cohomológicas via o emparelhamento de Brauer–Manin em variedades localmente solúveis para construir contraexemplos explícitos.

Principais Contribuições e Resultados

• Descrição Geral de Diferenciais para Variedades Semiabelianas (Teorema 1.6, 1.13):
  Os autores fornecem uma nova prova curta descrevendo o diferencial $\delta_2^{p,2}: H^p(k, \wedge^2 M) \to H^{p+2}(k, M)$ (onde $M = H^1_{\text{ét}}(A_{k^s}, \mathbb{Z}_2)$) para uma variedade semiabeliana $A$. Eles mostram que este diferencial corresponde ao mapa de conexão de uma extensão de ordem 2 específica envolvendo funções quadráticas. Esta descrição é generalizada para coeficientes $\mathbb{Z}/2^m$ via homomorfismos de Bockstein.

• Não Degeneração para Superfícies Abelianas (Teorema 1, Teorema 3.5):
  Contrariamente ao comportamento de jacobianos com classes de divisores racionais, os autores provam que a sequência espectral de Hochschild–Serre não necessariamente degenera para todas as variedades abelianas. Eles constroem uma superfície abeliana principalmente polarizada $A$ sobre $\mathbb{Q}$ onde o diferencial $\delta_2^{0,2}$ é não nulo. Isso ocorre quando a classe do torsor das características de theta (ou o torsor de Albanese) não é divisível por 2 no grupo de cohomologia de Galois $H^1(k, J)$. Dois exemplos explícitos de curvas hiperelípticas de gênero 2 são fornecidos onde esta condição é satisfeita, utilizando a obstrução de Brauer–Manin para verificar a não-divisibilidade.

• Degeneração para Jacobianos com Divisores Racionais (Teorema 3, Teorema 2.1):
  O artigo estabelece que, se uma curva $C$ admite uma classe de divisor de grau 1 definida sobre $k$, o complexo de cohomologia étale de seu jacobiano $J$ se decompõe na categoria derivada $D(\Gamma, \mathbb{Z}/n)$. Consequentemente, a sequência espectral de Hochschild–Serre para tais jacobianos degenera na segunda página. Este resultado generaliza fatos conhecidos, mas é apresentado com uma prova usando projetores de Künneth integrais definidos sobre $k$.

• Torsores e o Torsor de Albanese (Teorema 4, Teorema 5.1):
  Para um torsor $X$ de uma variedade semiabeliana $A$, os autores descrevem a obstrução para a quebra do complexo $\tau^{[0,1]}R\Gamma_{\text{ét}}(X_{k^s}, \mathbb{Z}/n)$. Eles provam que a classe correspondente a esta obstrução em $H^2(k, A[n])$ é exatamente a imagem da classe do torsor $[X] \in H^1(k, A)$ sob o homomorfismo de Bockstein. Isso vincula a não-quebra do complexo de cohomologia diretamente à não-trivialidade do torsor.

• O Grupo de Brauer de Tori (Teorema 4.1):
  Os autores descrevem o diferencial $d_3^{0,2}$ na sequência espectral de Hochschild–Serre para um toro $T$ com coeficientes em $\mathbb{G}_m$. Este diferencial computa a obstrução à surjetividade do mapa $Br(T) \to Br(T_{k^s})^\Gamma$. Eles fornecem uma fórmula explícita para este diferencial no subgrupo de torção 2-primária usando mapas de Bockstein e a classe de extensão do módulo de caracteres. Como corolário, eles confirmam que, para tori quase-triviais ou tori sobre corpos locais/globais, este mapa é surjetivo.

• Diferenciais para Curvas (Proposição 6.1, 6.5, Corolário 6.6):
  Para curvas projetivas suaves, o artigo generaliza o lema de Suslin. Eles caracterizam os diferenciais na segunda página em termos do torsor de Albanese. Se o torsor de Albanese for divisível por $n$, os diferenciais da segunda página desaparecem, e os autores descrevem os diferenciais não nulos na terceira página. Estes diferenciais da terceira página são mostrados como sendo induzidos por uma classe específica em $H^3(k, \mu_n$ derivada do stack de Picard da curva.

Significância e Alegações
O artigo afirma oferecer uma "nova, prova curta" da fórmula para o primeiro diferencial não nulo da sequência espectral de Hochschild–Serre para variedades semiabelianas, unificando o tratamento de variedades abelianas e tori. Sua principal significância reside em:

1. Contraexemplos Explícitos: Fornecer os primeiros exemplos conhecidos de variedades abelianas (especificamente superfícies) sobre corpos numéricos onde a sequência espectral falha em degenerar, desafiando a intuição de que tais degenerações possam ocorrer para todas as variedades abelianas.
2. Interpretação Aritmética: Conectar a não-nulidade dos diferenciais a propriedades aritméticas profundas, especificamente a divisibilidade por 2 da classe do torsor das características de theta e a obstrução de Brauer–Manin.
3. Ferramentas Computacionais: Oferecer fórmulas explícitas para calcular o grupo de Brauer de tori e os diferenciais para curvas, respondendo a questões específicas levantadas na literatura prévia (por exemplo, sobre o grupo de Brauer de tori em [CTS21]).
4. Generalização: Estender resultados sobre a decomposição de complexos de cohomologia para fatores diretos de produtos de jacobianos com classes de divisores racionais, um resultado que os autores notam poder ser conhecido por especialistas, mas que anteriormente não estava disponível na literatura.

Os autores permanecem modestos quanto à não-nulidade de diferenciais para tori, observando que, embora forneçam uma fórmula, atualmente é desconhecido se existem exemplos não nulos para tori (Observação 4.2). Da mesma forma, a construção da superfície abeliana baseia-se em construções aritméticas existentes de Creutz e Viray, que os autores sintetizam para demonstrar o fenômeno de não-degeneração.