On spectral sequences for semiabelian varieties over non-closed fields

Résumé Technique : Sur les suites spectrales pour les variétés semi-abéliennes sur des corps non clos

Énoncé du Problème
L'article étudie la structure du complexe de cohomologie étale $R\Gamma_{\text{ét}}(X_{k^s}, \mathbb{Z}_\ell)$ pour les variétés algébriques $X$ sur un corps non clos $k$. Bien que le théorème de décomposition de Deligne garantisse que pour les variétés lisses projectives, le complexe de cohomologie étale rationnelle est quasi-isomorphe à la somme directe de ses groupes de cohomologie individuels, cette propriété échoue pour les coefficients intégraux. Cet échec se manifeste dans la suite spectrale de Hochschild–Serre :
$$E_2^{p,q} = H^p(k, H^q_{\text{ét}}(X_{k^s}, \mathbb{Z}_\ell)) \Rightarrow H^{p+q}_{\text{ét}}(X, \mathbb{Z}_\ell)$$
qui, en général, possède des différentielles non nulles. Les auteurs visent à fournir une description précise des premières différentielles potentiellement non nulles pour les variétés semi-abéliennes (extensions de variétés abéliennes par des tores) et à déterminer les conditions sous lesquelles ces différentielles s'annulent ou sont non nulles.

Méthodologie
Les auteurs emploient une combinaison de techniques de catégories dérivées, de cohomologie de groupes et de géométrie arithmétique :

1. Analyse de Catégorie Dérivée : Ils analysent la troncature $\tau^{[i, i+1]}R\Gamma_{\text{ét}}(X_{k^s}, \mathbb{Z}/n)$ pour identifier les classes d'extension correspondant aux différentielles dans la suite spectrale.
2. Réduction à la Cohomologie de Groupes : Utilisant le fait que les variétés semi-abéliennes sont des espaces $K(\pi, 1)$ étales, ils identifient le complexe de cohomologie étale avec le complexe de cohomologie de groupe continue du module de Tate (ou du module de caractères pour les tores).
3. Construction Explicite d'Extensions : Ils construisent des 2-extensions explicites impliquant des fonctions quadratiques et des produits tensoriels pour représenter les classes d'extension dans $\text{Ext}^2_\Gamma$. Plus précisément, ils relient la différentielle $\delta_2^{p,2}$ à l'extension définie par la suite de fonctions quadratiques $0 \to M \to Q(M) \to M \otimes 2 \to \wedge^2 M \to 0$.
4. Couplages Arithmétiques : Pour les variétés abéliennes, particulièrement les jacobiennes, les auteurs utilisent le couplage de Cassels–Tate et la dualité de Poitou–Tate pour tester la divisibilité par 2 de classes de cohomologie spécifiques (liées au torsor des caractéristiques thêta).
5. Obstruction de Brauer–Manin : Ils interprètent certaines obstructions cohomologiques via le couplage de Brauer–Manin sur des variétés localement solubles pour construire des contre-exemples explicites.

Contributions Clés et Résultats

• Description Générale des Différentielles pour les Variétés Semi-Abéliennes (Théorème 1.6, 1.13) :
  Les auteurs fournissent une nouvelle preuve courte décrivant la différentielle $\delta_2^{p,2}: H^p(k, \wedge^2 M) \to H^{p+2}(k, M)$ (où $M = H^1_{\text{ét}}(A_{k^s}, \mathbb{Z}_2)$) pour une variété semi-abélienne $A$. Ils montrent que cette différentielle correspond à la application de connexion d'une 2-extension spécifique impliquant des fonctions quadratiques. Cette description est généralisée aux coefficients $\mathbb{Z}/2^m$ via les homomorphismes de Bockstein.

• Non-Dégénérescence pour les Surfaces Abéliennes (Théorème 1, Théorème 3.5) :
  Contrairement au comportement des jacobiennes avec des classes de diviseurs rationnels, les auteurs prouvent que la suite spectrale de Hochschild–Serre ne dégénère pas nécessairement pour toutes les variétés abéliennes. Ils construisent une surface abélienne principalement polarisée $A$ explicite sur $\mathbb{Q}$ où la différentielle $\delta_2^{0,2}$ est non nulle. Cela se produit lorsque la classe du torsor des caractéristiques thêta (ou du torsor d'Albanese) n'est pas divisible par 2 dans le groupe de cohomologie galoisienne $H^1(k, J)$. Deux exemples explicites de courbes hyperelliptiques de genre 2 sont fournis où cette condition est vérifiée, utilisant l'obstruction de Brauer–Manin pour vérifier la non-divisibilité.

• Dégénérescence pour les Jacobiennes avec Diviseurs Rationnels (Théorme 3, Théorème 2.1) :
  L'article établit que si une courbe $C$ admet une classe de diviseur de degré 1 rationnelle sur $k$, la cohomologie étale du jacobien $J$ de la courbe se décompose dans la catégorie dérivée $D(\Gamma, \mathbb{Z}/n)$. Par conséquent, la suite spectrale de Hochschild–Serre pour de telles jacobiennes dégénère au deuxième feuillet. Ce résultat généralise des faits connus mais est présenté avec une preuve utilisant des projecteurs de Künneth intégraux définis sur $k$.

• Torsors et le Torsor d'Albanese (Théorème 4, Théorème 5.1) :
  Pour un torsor $X$ d'une variété semi-abélienne $A$, les auteurs décrivent l'obstruction à la scission du complexe $\tau^{[0,1]}R\Gamma_{\text{ét}}(X_{k^s}, \mathbb{Z}/n)$. Ils prouvent que la classe correspondant à cette obstruction dans $H^2(k, A[n])$ est exactement l'image de la classe du torsor $[X] \in H^1(k, A)$ sous le morphisme de Bockstein. Cela lie la non-scission du complexe de cohomologie directement à la non-trivialité du torsor.

• Le Groupe de Brauer des Tores (Théorème 4.1) :
  Les auteurs décrivent la différentielle $d_3^{0,2}$ dans la suite spectrale de Hochschild–Serre pour un tore $T$ avec des coefficients dans $\mathbb{G}_m$. Cette différentielle calcule l'obstruction à la surjectivité de l'application $Br(T) \to Br(T_{k^s})^\Gamma$. Ils fournissent une formule explicite pour cette différentielle sur le sous-groupe de torsion 2-primaire en utilisant les applications de Bockstein et la classe du module de caractères. Comme corollaire, ils confirment que pour les tores quasi-triviaux ou les tores sur des corps locaux/globaux, cette application est surjective.

• Différentielles pour les Courbes (Proposition 6.1, 6.5, Corollaire 6.6) :
  Pour les courbes projectives lisses, l'article généralise le lemme de Suslin. Il caractérise les différentielles sur le deuxième feuillet en termes du torsor d'Albanese. Si le torsor d'Albanese est divisible par $n$, les différentielles du deuxième feuillet s'annulent, et les auteurs décrivent les différentielles non nulles sur le troisième feuillet. Ces différentielles du troisième feuillet sont montrées comme étant induites par une classe spécifique dans $H^3(k, \mu_n)$ dérivée du stack de Picard de la courbe.

Signification et Revendications
L'article prétend offrir une « nouvelle preuve courte » de la formule de la première différentielle non nulle de la suite spectrale de Hochschild–Serre pour les variétés semi-abéliennes, unifiant le traitement des variétés abéliennes et des tores. Sa principale signification réside dans :

1. Contre-exemples Explicites : Fournir les premiers exemples connus de variétés abéliennes (spécifiquement des surfaces) sur des corps de nombres où la suite spectrale ne dégénère pas, défiant l'intuition selon laquelle ces dégénérescences pourraient être valables pour toutes les variétés abéliennes.
2. Interprétation Arithmétique : Connecter la non-annulation des différentielles à des propriétés arithmétiques profondes, spécifiquement la divisibilité par 2 de la classe du torsor des caractéristiques thêta et l'obstruction de Brauer–Manin.
3. Outils de Calcul : Offrir des formules explicites pour calculer le groupe de Brauer des tores et les différentielles pour les courbes, répondant à des questions spécifiques soulevées dans la littérature antérieure (par exemple, concernant le groupe de Brauer des tores dans [CTS21]).
4. Généralisation : Étendre les résultats sur la décomposition des complexes de cohomologie aux facteurs directs de produits de jacobiennes possédant des classes de diviseurs rationnels, un résultat que les auteurs notent comme pouvant être connu des experts mais qui n'était pas disponible dans la littérature.

Les auteurs restent modestes concernant la non-annulation des différentielles pour les tores, notant que bien qu'ils fournissent une formule, il est actuellement inconnu si des exemples non nuls existent pour les tores (Remarque 4.2). De même, la construction de la surface abélienne repose sur des constructions arithmétiques existantes de Creutz et Viray, que les auteurs synthétisent pour démontrer le phénomène de non-dégénérescence.