On spectral sequences for semiabelian varieties over non-closed fields

Resumen Técnico: Sobre las secuencias espectrales para variedades semiabelianas sobre cuerpos no cerrados

Planteamiento del problema
El artículo investiga la estructura del complejo de cohomología étale $R\Gamma_{\text{ét}}(X_{k^s}, \mathbb{Z}_\ell)$ para variedades algebraicas $X$ sobre un cuerpo no cerrado $k$. Si bien el teorema de descomposición de Deligne asegura que, para variedades proyectivas suaves, el complejo de cohomología étale racional es cuasi-isomorfo a la suma directa de sus grupos de cohomología individuales, esta propiedad falla para coeficientes integrales. Este fallo se manifiesta en la secuencia espectral de Hochschild–Serre:
$$E_2^{p,q} = H^p(k, H^q_{\text{ét}}(X_{k^s}, \mathbb{Z}_\ell)) \Rightarrow H^{p+q}_{\text{ét}}(X, \mathbb{Z}_\ell)$$
la cual, en general, posee diferenciales no nulas. Los autores pretenden proporcionar una descripción precisa de las primeras diferenciales potencialmente no nulas para variedades semiabelianas (extensiones de variedades abelianas por toros) y determinar las condiciones bajo las cuales estas diferenciales se anulan o son no nulas.

Metodología
Los autores emplean una combinación de técnicas de categorías derivadas, cohomología de grupos y geometría aritmética:

1. Análisis de categorías derivadas: Analizan la truncación $\tau^{[i, i+1]}R\Gamma_{\text{ét}}(X_{k^s}, \mathbb{Z}/n)$ para identificar las clases de extensión correspondientes a las diferenciales en la secuencia espectral.
2. Reducción a la cohomología de grupos: Utilizando el hecho de que las variedades semiabelianas son espacios $K(\pi, 1)$ etales, identifican el complejo de cohomología etale con el complejo de cohomología de grupos continuos del módulo de Tate (o el módulo de caracteres para los toros).
3. Construcción explícita de extensiones: Construyen extensiones de orden 2 explícitas involucrando funciones cuadráticas y productos tensoriales para representar las clases de extensión en $\text{Ext}^2_\Gamma$. Específicamente, relacionan la diferencial $\delta_2^{p,2}$ con la extensión definida por la secuencia de funciones cuadráticas $0 \to M \to Q(M) \to M \otimes 2 \to \wedge^2 M \to 0$.
4. Emparejamientos aritméticos: Para variedades abelianas, particularmente jacobianos, los autores utilizan el emparejamiento de Cassels–Tate y la dualidad de Poitou–Tate para probar la divisibilidad de clases de cohomología específicas (relacionadas con el torsor de las características theta) por 2.
5. Obstrucción de Brauer–Manin: Interpretan ciertas obstrucciones cohomológicas mediante el emparejamiento de Brauer–Manin en variedades localmente solubles para construir contraejemplos explícitos.

Contribuciones clave y resultados

• Descripción general de las diferenciales para variedades semiabelianas (Teoremas 1.6, 1.13):
  Los autores proporcionan una prueba nueva y corta que describe la diferencial $\delta_2^{p,2}: H^p(k, \wedge^2 M) \to H^{p+2}(k, M)$ (donde $M = H^1_{\text{ét}}(A_{k^s}, \mathbb{Z}_2)$) para una variedad semiabeliana $A$. Muestran que esta diferencial corresponde al mapa de conexión de una extensión de orden 2 específica que involucra funciones cuadráticas. Esta descripción se generaliza a coeficientes $\mathbb{Z}/2^m$ mediante homomorfismos de Bockstein.

• No degeneración para superficies abelianas (Teorema 1, Teorema 3.5):
  Contrario al comportamiento de los jacobianos con clases de divisores racionales, los autores demuestran que la secuencia espectral de Hochschild–Serre no necesariamente degenera para todas las variedades abelianas. Construyen una superficie abeliana principalmente polarizada $A$ sobre $\mathbb{Q}$ donde la diferencial $\delta_2^{0,2}$ es no nula. Esto ocurre cuando la clase del torsor de las características theta (o el torsor de Albanese) no es divisible por 2 en el grupo de cohomología de Galois $H^1(k, J)$. Se proporcionan dos ejemplos explícitos de curvas hiperelípticas de género 2 donde esta condición se cumple, utilizando la obstrucción de Brauer–Manin para verificar la no divisibilidad.

• Degeneración para jacobianos con divisores racionales (Teorema 3, Teorema 2.1):
  El artículo establece que si una curva $C$ admite una clase de divisor de grado 1 definida sobre $k$, el complejo de cohomología etale de su jacobiano $J$ se descompone en la categoría derivada $D(\Gamma, \mathbb{Z}/n)$. En consecuencia, la secuencia espectral de Hochschild–Serre degenera en su segunda página. Este resultado generaliza hechos conocidos pero se presenta con una prueba utilizando proyectores de Künneth integrales definidos sobre $k$.

• Torsores y el torsor de Albanese (Teorema 4, Teorema 5.1):
  Para un torsor $X$ de una variedad semiabeliana $A$, los autores describen la obstrucción para escindir el complejo $\tau^{[0,1]}R\Gamma_{\text{ét}}(X_{k^s}, \mathbb{Z}/n)$. Demuestran que la clase correspondiente a esta obstrucción en $H^2(k, A[n])$ es exactamente la imagen de la clase del torsor $[X] \in H^1(k, A)$ bajo el homomorfismo de Bockstein. Esto vincula la no escisión del complejo de cohomología directamente con la no trivialidad del torsor.

• El grupo de Brauer de los toros (Teorema 4.1):
  Los autores describen la diferencial $d_3^{0,2}$ en la secuencia espectral de Hochschild–Serre para un toro $T$ con coeficientes en $\mathbb{G}_m$. Esta diferencial calcula la obstrucción a la suryectividad del mapa $Br(T) \to Br(T_{k^s})^\Gamma$. Proporcionan una fórmula explícita para esta diferencial en el subgrupo de torsión 2-primaria utilizando mapas de Bockstein y la clase de extensión del módulo de caracteres. Como corolario, confirman que para toros cuasi-triviales o toros sobre cuerpos locales/globales, este mapa es suryectivo.

• Diferenciales para curvas (Proposición 6.1, 6.5, Corolario 6.6):
  Para curvas proyectivas suaves, el artículo generaliza el lema de Suslin. Caracterizan las diferenciales en la segunda página en términos del torsor de Albanese. Si el torsor de Albanese es divisible por $n$, las diferenciales de la segunda página se anulan, y los autores describen las diferenciales no nulas en la tercera página. Estas diferenciales de la tercera página están inducidas por una clase específica en $H^3(k, \mu_n)$ derivada del stack de Picard de la curva.

Significancia y afirmaciones
El artículo afirma ofrecer una "prueba nueva y corta" de la fórmula para la primera diferencial no nula de la secuencia espectral de Hochschild–Serre para variedades semiabelianas, unificando el tratamiento de las variedades abelianas y los toros. Su principal significancia radica en:

1. Contraejemplos explícitos: Proporcionar los primeros ejemplos conocidos de variedades abelianas (específicamente superficies) sobre cuerpos numéricos donde la secuencia espectral falla en degenerar, desafiando la intuición de que tales degeneraciones podrían sostenerse para todas las variedades abelianas.
2. Interpretación aritmética: Conectar la no anulación de las diferenciales con propiedades aritméticas profundas, específicamente la divisibilidad por 2 de la clase del torsor de las características theta y la obstrucción de Brauer–Manin.
3. Herramientas computacionales: Ofrecer fórmulas explícitas para calcular el grupo de Brauer de los toros y las diferenciales para curvas, respondiendo a preguntas específicas planteadas en la literatura previa (por ejemplo, respecto al grupo de Brauer de los toros en [CTS21]).
4. Generalización: Extender los resultados sobre la descomposición de los complejos de cohomología a factores directos de productos de jacobianos con clases de divisores racionales, un resultado que los autores señalan que puede ser conocido por expertos pero que no estaba disponible previamente en la literatura.

Los autores mantienen la modestia respecto a la no anulación de las diferenciales para los toros, señalando que, aunque proporcionan una fórmula, actualmente se desconoce si existen ejemplos no nulos para los toros (Observación 4.2). Del mismo modo, la construcción de la superficie abeliana se basa en construcciones aritméticas existentes de Creutz y Viray, las cuales los autores sintetizan para demostrar el fenómeno de la no degeneración.