On spectral sequences for semiabelian varieties over non-closed fields

技術要約：非閉体上の半アベル多様体に関するスペクトル列について

問題設定
本論文は、非閉体 $k$ 上の代数多様体 $X$ に対するエタール・コホモロジー複体 $R\Gamma_{\text{ét}}(X_{k^s}, \mathbb{Z}_\ell)$ の構造を調査している。デリーヌの分解定理は、滑らかな射影多様体に対して有理係数のエタール・コホモロジー複体が個々のコホモロジー群の直和に準同型であることを保証しているが、この性質は整数係数においては成立しない。この失敗は、一般に非ゼロの微分を持つホッチホルト–セールのスペクトル列として現れる：
$$E_2^{p,q} = H^p(k, H^q_{\text{ét}}(X_{k^s}, \mathbb{Z}_\ell)) \Rightarrow H^{p+q}_{\text{ét}}(X, \mathbb{Z}_\ell)$$
著者らは、半アベル多様体（アベル多様体とトーラスの拡大）に対して、最初に現れ得る非ゼロの微分を精密に記述し、これらの微分が消滅するか非ゼロとなるための条件を決定することを目的としている。

手法
著者らは、派生圏の手法、群コホモロジー、および算術幾何学を組み合わせて用いている：

1. 派生圏による解析： $R\Gamma_{\text{ét}}(X_{k^s}, \mathbb{Z}/n)$ の切断 $\tau^{[i, i+1]}$ を解析し、スペクトル列における微分に対応する拡大類を特定する。
2. 群コホモロジーへの還元： 半アベル多様体がエタール $K(\pi, 1)$ 空間であるという事実を利用して、エタール・コホモロジー複体を（テイト加群、またはトーラスの指標加群の）連続群コホモロジー複体と同一視する。
3. 拡大の明示的構成： 2次関数とテンソル積を用いた明示的な2-拡大を構成することで、$\text{Ext}^2_\Gamma$ における拡大類を表現する。具体的には、微分 $\delta_2^{p,2}$ を、2次関数の列 $0 \to M \to Q(M) \to M \otimes 2 \to \wedge^2 M \to 0$ によって定義される拡大に関連付ける。
4. 算術的ペアリング： アベル多様体、特にヤコビアンについては、カッセル–テイト・ペアリングおよびポイトゥ–テート双対性を利用して、特定のコホモロジー類（テータ特性のトースルのクラスに関連するもの）が2で割れるかどうかをテストする。
5. ブラウアー–マニン障害： 局所的に解を持つ多様体上のブラウアー–マニン・ペアリングを通じて、特定のコホモロジー的障害を解釈し、明示的な反例を構成する。

主要な貢献と結果

• 半アベル多様体の微分の一般的記述 (Theorem 1.6, 1.13):
  著者らは、半アベル多様体 $A$ に対する微分 $\delta_2^{p,2}: H^p(k, \wedge^2 M) \to H^{p+2}(k, M)$ （ここで $M = H^1_{\text{ét}}(A_{k^s}, \mathbb{Z}_2)$）の新しい短い証明を提供する。彼らは、この微分が2次関数を含む特定の2-拡大の連結写像に対応することを示す。この記述は、ボックシュタイン準同型を通じて係数 $\mathbb{Z}/2^m$ へと一般化される。

• アベル曲面の非退化 (Theorem 1, Theorem 3.5):
  有理的な因子類を持つヤコビアンの挙動とは対照的に、著者らは、すべてのアベル多様体においてホッチホルト–セールのスペクトル列が必ずしも退化するわけではないことを証明する。彼らは、$\mathbb{Q}$ 上の主極化されたアベル曲面 $A$ を明示的に構成し、そこでは微分 $\delta_2^{0,2}$ が非ゼロとなる。これは、テータ特性（またはアルバネーゼ・トースル）のトソルのクラスが、ガロア・コホモロジー群 $H^1(k, J)$ において2で割れない場合に発生する。条件を満たす種数2のハイパーエリプティック曲線の2つの具体的な例を、ブラウアー–マニン障害を用いて非可除性を検証することで提示している。

• 有理的な因子類を持つヤコビアンの退化 (Theorem 3, Theorem 2.1):
  曲線 $C$ が次数1の $k$ 有理な因子類を持つ場合、そのヤコビアン $J$ のエタール・コホモロジー複体は派生圏 $D(\Gamma, \mathbb{Z}/n)$ において分解されることを確立する。したがって、そのようなヤコビアンに対するホッチホルト–セールのスペクトル列は第2ページで退化する。この結果は既知の事実を一般化するものであるが、$k$ 上で定義された整数・クネス・プロジェクターを用いた証明とともに提示される。

• トソルとアルバネーゼ・トソル (Theorem 4, Theorem 5.1):
  半アベル多様体 $A$ のトソル $X$ について、複体 $\tau^{[0,1]}R\Gamma_{\text{ét}}(X_{k^s}, \mathbb{Z}/n)$ の分裂に対する障害を記述する。彼らは、$H^2(k, A[n])$ におけるこの障害に対応するクラスが、ボックシュタイン準同型によるトソルのクラス $[X] \in H^1(k, A)$ の像に正確に一致することを証明する。これにより、コホモロジー複体の非分裂がトソルの非自明性と直接結び付けられる。

• トーラスのブラウアー群 (Theorem 4.1):
  著者らは、係数 $\mathbb{G}_m$ を持つトーラス $T$ のホッチホルト–セールのスペクトル列における微分 $d_3^{0,2}$ を記述する。この微分は、写像 $Br(T) \to Br(T_{k^s})^\Gamma$ の全射性に対する障害を計算する。彼らは、ボックシュタイン写像と指標加群の拡大類を用いて、2-プライリー・トーション部分群に対するこの微分の明示的な公式を提供する。その系として、準自明なトーラスや局所体・大域体上のトーラスに対して、この写像が全射であることを確認する。

• 曲線に対する微分 (Proposition 6.1, 6.5, Corollary 6.6):
  滑らかな射影曲線に対して、著者らはサスリンの補題を一般化する。彼らは、第2ページの微分をアルバネーゼ・トソルによって特徴付ける。アルバネーゼ・トソルが $n$ で可除であれば、第2ページの微分は消滅し、著者らは第3ページの非ゼロの微分を記述する。これらの第3ページの微分は、曲線のピカール・スタックから導かれる $H^3(k, \mu_n)$ の特定のクラスによって誘導されることが示される。

意義と主張
本論文は、半アベル多様体のホッチホルト–セールのスペクトル列における最初の非ゼロの微分の公式について、「新しい、短い証明」を提供することを主張しており、アベル多様体とトーラスの扱いを統一している。その主な意義は以下の点にある：

1. 明示的な反例： 数体上のアベル多様体（特に曲面）において、スペクトル列が退化しないことを示す最初の既知の例を提供し、すべてのアベル多様体においてこのような退化が成り立つという直感に疑問を投げかけている。
2. 算術的解釈： 微分の非消滅を、テータ特性のトソルのクラスの2-可除性やブラウアー–マニン障害といった深い算術的性質に結びつけている。
3. 計算ツール： トーラスのブラウアー群および曲線に対する微分を計算するための明示的な公式を提供し、先行文献（[CTS21]など）で提起された特定の問いに答えている。
4. 一般化： 有理的な因子類を持つ積のヤコビアンの直因子に対する、コホモロジー複体の分解に関する結果を拡張している。これは、専門家には既知である可能性があるが、文献としてはこれまで利用可能ではなかったものであると著者らは述べている。

著者らは、トーラスの微分に関して、公式は提供しているものの、非ゼロの例が存在するかどうかは現時点では不明であるとして、控えめな姿勢を保っている（Remark 4.2）。同様に、アベル曲面の構成は、著者らが現象を実証するために統合した、CreutzおよびVirayによる既存の算術的構成に基づいている。