Sample size and power calculations for causal inference of observational studies

Riepilogo Tecnico: Calcoli della Dimensione Campionaria e della Potenza per l'Inferenza Causale negli Studi Osservazionali

Enunciato del Problema
Sebbene i calcoli della dimensione campionaria e della potenza siano una pratica standard per gli studi controllati randomizzati (RCT), rimangono poco sviluppati e problematici per gli studi osservazionali. Negli RCT, la randomizzazione elimina la confondenza, permettendo l'uso di formule in forma chiusa basate su semplici differenze delle medie. Al contrario, gli studi osservazionali richiedono un aggiustamento per la confondenza per ottenere stime non distorte dell'effetto del trattamento. I metodi esistenti per l'analisi della potenza negli studi osservazionali si basano spesso sulla simulazione di dati individuali fondati su assunzioni non verificabili riguardo all'intero processo generatore dei dati, oppure utilizzano fattori di inflazione della varianza che richiedono la conoscenza delle distribuzioni dei pesi, non disponibili nella fase di progettazione. Di conseguenza, l'applicazione di formule basate sugli RCT agli studi osservazionali porta frequentemente a studi gravemente sottopotenziati, mentre gli attuali approcci basati sulla simulazione mancano di una base teorica per determinare statistiche riassuntive sufficienti.

Metodologia
Gli autori sviluppano formule analitiche per i calcoli della dimensione campionaria e della potenza basate sulla varianza dello stimatore di ponderazione inversa della probabilità (IPW) di Hájek per l'effetto medio del trattamento (ATE). L'innovazione centrale consiste nella scomposizione della varianza dello stimatore in tre componenti interpretabili: la distribuzione del punteggio di propensione, la distribuzione dell'esito potenziale e la loro correlazione.

Per rendere queste componenti calcolabili a partire dalle statistiche riassuntive disponibili nella fase di progettazione, gli autori propongono il seguente quadro:

1. Distribuzione del Punteggio di Propensione: Assumendo un modello di regressione logistica per il punteggio di propensione, gli autori invocano il Teorema del Limite Centrale di Lyapunov per approssimare la combinazione lineare delle covariate ($X'\beta$) come una distribuzione normale. Ciò implica che il punteggio di propensione segue una distribuzione logit-normale. Per facilitare il calcolo, essi approssimano questa con una distribuzione Beta. Dimostrano che i parametri Beta ($a, b$) sono univocamente identificabili utilizzando due input:

   • La proporzione di trattamento ($r$).
   • Un coefficiente di sovrapposizione ($\phi$), definito come il coefficiente di Bhattacharyya tra le densità dei punteggi di propensione dei gruppi di trattamento e di controllo. Questo coefficiente quantifica la somiglianza delle distribuzioni delle covariate tra i gruppi.

2. Distribuzione dell'Esito Potenziale: Gli autori assumono un modello semiparametrico della media vincolata con un effetto del trattamento omogeneo e errori omoschedastici. Approssimano la distribuzione congiunta dell'esito e del predittore lineare del punteggio di propensione come una normale bivariata. La correlazione tra gli esiti potenziali e il punteggio di propensione è catturata da un "coefficiente di confondenza" ($\rho$), che è limitato dalla statistica $R^2$ della regressione dell'esito sulle covariate.

3. Formula Analitica: Integrando queste componenti, gli autori derivano una formula in forma chiusa per la dimensione campionaria minima ($N$) richiesta per rilevare una dimensione dell'effetto standardizzata ($e_\tau$) con una potenza $\beta$ al livello di significatività $\alpha$. La formula dipende dagli input standard degli RCT ($\alpha, \beta, e_\tau, r$) più due nuovi parametri: il coefficiente di sovrapposizione ($\phi$) e il coefficiente di confondenza ($\rho$).

La metodologia è estesa ad altri stimandi dell'effetto medio del trattamento ponderato (WATE), in particolare l'Effetto Medio del Trattamento sui Trattati (ATT) e l'Effetto Medio del Trattamento sulla Sovrapposizione (ATO), utilizzando l'integrazione numerica per calcolare la varianza sotto funzioni di inclinazione.

Risultati Chiave
Attraverso estesi esperimenti numerici utilizzando dati sintetici e simulazioni non parametriche basate su dati reali (utilizzando il dataset della Cateterizzazione Cardiaca Destra), gli autori dimostrano:

• Accuratezza: Le formule analitiche proposte raggiungono coerentemente una potenza empirica vicina al livello nominale (ad esempio, 0.80) attraverso vari gradi di sovrapposizione delle covariate e scenari di effetto del trattamento.
• Robustezza: Il metodo rimane robusto anche quando l'assunzione di effetti del trattamento omogenei è violata (cioè, in presenza di effetti del trattamento eterogenei), nonostante la varianza teorica dipenda dalla varianza dell'effetto del trattamento condizionato.
• Confronto con Metodi Esistenti:
  • Rispetto al test z a due campioni standard (che ignora la confondenza), il metodo proposto identifica correttamente la necessità di dimensioni campionarie più grandi man mano che la sovrapposizione delle covariate peggiora, mentre il test z sottostima enormemente i requisiti.
  • Rispetto al metodo del fattore di inflazione della varianza di Shook-Sa e Hudgens (2022), il metodo proposto è leggermente più conservativo e accurato, in particolare quando il coefficiente di confondenza ($\rho$) è diverso da zero, sebbene la differenza sia minima quando $\rho$ è piccolo.
• Efficienza dello Stimando: Le simulazioni evidenziano che quando la sovrapposizione delle covariate è scarsa, lo stimando ATO richiede una dimensione campionaria sostanzialmente più piccola rispetto ad ATE o ATT, suggerendo che ATO è una scelta più efficiente per la progettazione dello studio in tali contesti.
• Sensibilità: La dimensione campionaria richiesta è sensibile al coefficiente di confondenza ($\rho$) principalmente quando la sovrapposizione è scarsa, rafforzando l'importanza di valutare sia la sovrapposizione che la forza della confondenza durante la progettazione.

Significato e Affermazioni
Il documento afferma di stabilire la base teorica per l'analisi della potenza negli studi osservazionali riducendo la complessa formula della varianza a una funzione di pochi parametri riassuntivi interpretabili e comunemente disponibili. Gli autori sostengono che il loro approccio bypassa la necessità di assunzioni non verificabili riguardo all'intero processo generatore dei dati o a dati a livello individuale.

I contributi chiave includono:

• Decomposizione Teorica: Dimostrare che solo due parametri aggiuntivi ($\phi$ e $\rho$) oltre agli input standard degli RCT sono sufficienti per determinare la dimensione campionaria minima per gli studi osservazionali.
• Utilità Pratica: Lo sviluppo del pacchetto R PSpower e di un calcolatore online, consentendo ai ricercatori di eseguire questi calcoli utilizzando dati pilota o conoscenze di dominio.
• Guida alla Progettazione: Fornire un quadro per condurre l'analisi della potenza a priori, il quale è cruciale per studi osservazionali prospettici con risorse limitate (ad esempio, malattie rare) o quando si selezionano fonti di dati con costi associati (ad esempio, cartelle cliniche elettroniche).

Gli autori mantengono una posizione modesta, riconoscendo che la loro derivazione si basa su un modello logistico del punteggio di propensione e su un modello di esito della media vincolata omoschedastico. Osservano che, sebbene lo stimatore di Hájek sia meno efficiente degli stimatori doppiamente robusti, il suo utilizzo per il calcolo della dimensione campionaria evita il rischio di un disallineamento tra progettazione e analisi che sorge dal presupporre modelli specifici di esito prima della raccolta dei dati. Posizionano il loro lavoro come una salvaguardia conservativa contro studi sottopotenziati, con la flessibilità per gli analisti di utilizzare stimatori più efficienti durante la fase di analisi effettiva.