Plumbings of lens spaces and crepant resolutions of compound $A_n$ singularities

Sintesi Tecnica: Plumbings di Spazi Lente e Risoluzioni Crepanti di Singolarità Composte $A_n$

Enunciato del Problema
Il lavoro indaga la topologia simplettica di una specifica classe di varietà di Weinstein 6-dimensionali costruite come plumbings ciclici di fibrati cotangenti di spazi lenti 3-dimensionali lungo cerchi. Queste varietà, denotate $\mathcal{W}_f$, sorgono come spazi totali di fibrazioni Morse-Bott su $\mathbb{C}^*$ con fibre singolari determinate da una fattorizzazione polinomiale $f(x,y) = \prod f_i(x,y)$. Il problema centrale è stabilire la Simmetria Speculare Omodologica (HMS) per queste 3-fogli Stein non compatti e comprendere i loro gruppi di classe di mappatura simplettica. Nello specifico, gli autori mirano a relazionare la categoria di Fukaya avvolta derivata di $\mathcal{W}_f$ alla categoria derivata dei fasci coerenti sulla risoluzione crepante di una corrispondente singolarità composta $A_n$ ($cA_n$) $R_f = K[u,v,x,y]/(uv - f(x,y))$.

Metodologia
Gli autori impiegano una combinazione di geometria simplettica, geometria algebrica e teoria delle categorie:

1. Costruzione e Calcolo Simplettico:

   • La varietà $\mathcal{W}_f$ è realizzata come un plumbing affine $A_n$ di fibrati cotangenti $T^*Q_i$ (dove $Q_i$ sono spazi lenti o $S^1 \times S^2$) lungo cerchi.
   • La categoria di Fukaya avvolta $\mathcal{W}(\mathcal{W}_f; K)$ è calcolata contando sezioni olomorfe della fibrazione Morse-Bott $\mathcal{W}_f \to \mathbb{C}^*$. Gli autori utilizzano un hamiltoniano di avvolgimento specifico adattato alla struttura della fibrazione.
   • Identificano l'algebra $A_\infty$ degli endomorfismi di un insieme generatore di fibre lagrangiane ($L_0, \dots, L_n$) con un'algebra di cammino di un quiver con relazioni, deformata dal polinomio $f(x,y)$.

2. Geometria Algebrica e Simmetria Speculare:

   • Sul lato B, gli autori costruiscono una specifica risoluzione crepante $\phi: Y_f \to \text{Spec}(R_f)$ della singolarità $cA_n$. Il luogo eccezionale consiste in una catena di curve razionali.
   • Utilizzano il modello Evans-Lekili, che relaziona le categorie di Fukaya avvolte relative di dischi forati alle algebre di cammino di quiver.
   • Gli autori eseguono localizzazioni e completamenti categoriali (rispetto alle filtrazioni per lunghezza delle parole e agli elementi di Seidel) per colmare il divario tra il contesto affine non compatto e il contesto locale completo.

3. Gruppi di Classe di Mappatura:

   • Gli autori analizzano il gruppo di classe di mappatura simplettica $\pi_0 \text{Symp}_c(\mathcal{W}_f)$ sfruttando l'equivalenza HMS. Relazionano le autoequivalenze della categoria derivata dei fasci coerenti sul luogo eccezionale (calcolate da Toda) agli automorfismi simplettici di $\mathcal{W}_f$.

Contributi e Risultati Chiave

1. Teoremi di Simmetria Speculare Omodologica (HMS):
   Il lavoro dimostra due versioni di HMS per la 3-foglia Stein $\mathcal{W}_f$:

   • La Versione Non Completata (Teorema 3): Esiste un'equivalenza tra la categoria di Fukaya avvolta derivata di $\mathcal{W}_f$ e la categoria derivata limitata dei fasci coerenti sul complemento di un divisore nella risoluzione crepante:
     $$D^b\text{Coh}(\mathcal{Y}_f) \simeq D^{\text{perf}}\mathcal{W}(\mathcal{W}_f; K)$$
     dove $\mathcal{Y}_f = Y_f \setminus D$.
   • La Versione Completata (Teorema 7): Esiste un'equivalenza tra la categoria derivata dei moduli perfetti sulla categoria di Fukaya avvolta completata (completata rispetto alla filtrazione per lunghezza delle parole dei cammini hamiltoniani) e la categoria derivata limitata dei fasci coerenti sulla versione locale completa della risoluzione $\hat{Y}_f$:
     $$D^{\text{perf}}\widehat{\mathcal{W}}(\mathcal{W}_f; K) \simeq D^b\text{Coh}(\hat{Y}_f)$$

2. Categorie di Singolarità Relative e Plumbings Multi-Bolla:
   Riempendo l'origine della base della fibrazione, gli autori ottengono un plumbing "multi-bolla" $W_f$. Dimostrano (Teorema 10) che la categoria di Fukaya avvolta derivata di $W_f$ è equivalente alla categoria di singolarità relativa della risoluzione crepante $Y_f$ (definita come il quoziente della categoria derivata per il fascio strutturale), a condizione che valga una specifica condizione di non-isotopia sui nuclei lagrangiani. Questo generalizza risultati precedenti sui plumbings a doppia bolla.

3. Gruppi di Classe di Mappatura Simplettica:
   Il lavoro stabilisce che il gruppo di classe di mappatura simplettica di $\mathcal{W}_f$ è infinitamente generato.

   • Teorema 15: Se la singolarità $cA_n$ è isolata, un specifico sottogruppo infinitamente generato del gruppo di treccia puro $PBr_{n+2}$ (denotato $PBr^c_{n+2}$) si inietta per spaccatura nel gruppo di classe di mappatura simplettica a supporto compatto $\pi_0 \text{Symp}_c(\mathcal{W}_f)$.
   • Teorema 17: Esiste una simile iniezione per spaccatura per il gruppo di classe di mappatura simplettica graduato che coinvolge l'intero gruppo di treccia puro $PBr_{n+2}$.
   • Questi risultati generalizzano il lavoro di Keating-Smith (che trattava il caso della conifera) alla più ampia classe di plumbings di spazi lenti.

4. Applicazioni agli Incastri Lagrangiani:
   Utilizzando l'esistenza di quasi-dilatazioni cicliche derivate dall'equivalenza HMS, gli autori dimostrano (Proposizione 47) che, sotto certe condizioni, nessuna sottovarietà lagrangiana esatta chiusa e orientata in $W_f$ può essere uno spazio $K(\pi, 1)$.

Significato e Affermazioni
Il lavoro afferma di generalizzare i risultati sulla simmetria speculare omodologica per i plumbings a doppia bolla (Smith-Wemyss) e le lisciature di conifere (Keating-Smith) a una classe ciclica di plumbings che coinvolge spazi lenti.

• Fornisce una realizzazione concreta di HMS per una classe di 3-fogli dove la geometria speculare coinvolge nuclei di spazi lenti non banali e pattern di intersezione ciclici.
• Risponde parzialmente alla "questione della realizzazione" posta da Smith e Wemyss riguardo a quali categorie di singolarità relative sorgono da plumbings di spazi lenti.
• Dimostra che i gruppi di classe di mappatura simplettica di queste varietà Stein sono ricchi e infinitamente generati, estendendo il fenomeno noto dal caso $A_1$ (conifera) a $A_n$ superiori e a tipi topologici più complessi.
• Il lavoro conferma una congettura di Lekili-Segal riguardante la relazione tra la categoria di Fukaya avvolta di uno spazio totale di una fibrazione di toro algebrico e quella della sua base in questo specifico contesto.

Gli autori sottolineano che i loro risultati si basano sul calcolo della categoria di Fukaya avvolta tramite fibrazioni Morse-Bott e sulla successiva identificazione dell'algebra risultante con l'algebra di cammino di un quiver associato alla risoluzione crepante. Le dimostrazioni dei risultati sui gruppi di classe di mappatura dipendono dal calcolo di Toda del gruppo di autoequivalenze della categoria derivata dei fasci coerenti sul luogo eccezionale.