Plumbings of lens spaces and crepant resolutions of compound $A_n$ singularities

Résumé Technique : Plumbings d'espaces lenticulaires et résolutions crépantes de singularités composées $A_n$

Énoncé du problème
L'article étudie la topologie symplectique d'une classe spécifique de variétés de Weinstein de dimension 6, construites comme des plumbings cycliques de fibrés cotangents d'espaces lenticulaires de dimension 3 le long de cercles. Ces variétés, notées $\mathcal{W}_f$, apparaissent comme les espaces totaux de fibrations de Morse-Bott sur $\mathbb{C}^*$, dont les fibres singulières sont déterminées par une factorisation polynomiale $f(x,y) = \prod f_i(x,y)$. Le problème central consiste à établir la Symétrie Miroir Homologique (HMS) pour ces 3-variétés de Stein non compactes et à comprendre leurs groupes de classes d'isotopie symplectiques. Plus précisément, les auteurs visent à relier la catégorie de Fukaya enroulée dérivée de $\mathcal{W}_f$ à la catégorie dérivée des faisceaux cohérents sur la résolution crépante d'une singularité composée $A_n$ ($cA_n$) correspondante $R_f = K[u,v,x,y]/(uv - f(x,y))$.

Méthodologie
Les auteurs emploient une combinaison de géométrie symplectique, de géométrie algébrique et de théorie des catégories :

1. Construction et calcul symplectiques :

   • La variété $\mathcal{W}_f$ est réalisée comme un plumbing affine de type $A_n$ de fibrés cotangents $T^*Q_i$ (où $Q_i$ sont des espaces lenticulaires ou $S^1 \times S^2$) le long de cercles.
   • La catégorie de Fukaya enroulée $\mathcal{W}(\mathcal{W}_f; K)$ est calculée en comptant les sections holomorphes de la fibration de Morse-Bott $\mathcal{W}_f \to \mathbb{C}^*$. Les auteurs utilisent un hamiltonien d'enroulement spécifique adapté à la structure de la fibration.
   • Ils identifient l'algèbre $A_\infty$ d'endomorphismes d'un ensemble générateur de fibres lagrangiennes ($L_0, \dots, L_n$) avec une algèbre de chemin d'un carquois avec relations, déformée par le polynôme $f(x,y)$.

2. Géométrie algébrique et symétrie miroir :

   • Du côté B, les auteurs construisent une résolution crépante spécifique $\phi: Y_f \to \text{Spec}(R_f)$ de la singularité $cA_n$. Le lieu exceptionnel consiste en une chaîne de courbes rationnelles.
   • Ils utilisent le modèle Evans-Lekili, qui relie les catégories de Fukaya enroulées relatives de disques poinçonnés aux algèbres de chemin de carquois.
   • Les auteurs effectuent des localisations et des complétions catégorielles (par rapport aux filtrations par longueur de mots et aux éléments de Seidel) pour combler le fossé entre le cadre affine non compact et le cadre local complet.

3. Groupes de classes d'isotopie :

   • Les auteurs analysent le groupe de classes d'isotopie symplectique $\pi_0 \text{Symp}_c(\mathcal{W}_f)$ en exploitant l'équivalence HMS. Ils relient les autoéquivalences de la catégorie dérivée des faisceaux cohérents sur le lieu exceptionnel (calculées par Toda) aux automorphismes symplectiques de $\mathcal{W}_f$.

Contributions et résultats clés

1. Théorèmes de Symétrie Miroir Homologique (HMS) :
   L'article prouve deux versions de la HMS pour la 3-variété de Stein $\mathcal{W}_f$ :

   • La version non complétée (Théorème 3) : Il existe une équivalence entre la catégorie de Fukaya enroulée dérivée de $\mathcal{W}_f$ et la catégorie dérivée bornée des faisceaux cohérents sur le complément d'un diviseur dans la résolution crépante :
     $$D^b\text{Coh}(\mathcal{Y}_f) \simeq D^{\text{perf}}\mathcal{W}(\mathcal{W}_f; K)$$
     où $\mathcal{Y}_f = Y_f \setminus D$.
   • La version complétée (Théorème 7) : Il existe une équivalence entre la catégorie dérivée des modules parfaits sur la catégorie de Fukaya enroulée complétée (complétée par rapport à la filtration par longueur de mots des cordes hamiltoniennes) et la catégorie dérivée bornée des faisceaux cohérents sur la version locale complète de la résolution $\hat{Y}_f$ :
     $$D^{\text{perf}}\widehat{\mathcal{W}}(\mathcal{W}_f; K) \simeq D^b\text{Coh}(\hat{Y}_f)$$

2. Catégories de singularités relatives et plumbings multi-bulles :
   En remplissant l'origine de la base de la fibration, les auteurs obtiennent un plumbing « multi-bulles » $W_f$. Ils prouvent (Théorème 10) que la catégorie de Fukaya enroulée dérivée de $W_f$ est équivalente à la catégorie de singularité relative de la résolution crépante $Y_f$ (définie comme le quotient de la catégorie dérivée par le faisceau structural), à condition qu'une condition spécifique de non-isotopie sur les cœurs lagrangiens soit satisfaite. Cela généralise les résultats précédents sur les plumbings de doubles bulles.

3. Groupes de classes d'isotopie symplectiques :
   L'article établit que le groupe de classes d'isotopie symplectique de $\mathcal{W}_f$ est de génération infinie.

   • Théorème 15 : Si la singularité $cA_n$ est isolée, un sous-groupe spécifiquement de génération infinie du groupe de tresses pures $PBr_{n+2}$ (noté $PBr^c_{n+2}$) s'injecte par scission dans le groupe de classes d'isotopie symplectique à support compact $\pi_0 \text{Symp}_c(\mathcal{W}_f)$.
   • Théorème 17 : Une injection par scission similaire existe pour le groupe de classes d'isotopie symplectique gradué impliquant le groupe de tresses pures complet $PBr_{n+2}$.
   • Ces résultats généralisent le travail de Keating-Smith (qui traitait le cas de la conifold) à la classe plus large des plumbings d'espaces lenticulaires.

4. Applications aux plongements lagrangiens :
   En utilisant l'existence de quasi-dilations cycliques dérivées de l'équivalence HMS, les auteurs prouvent (Proposition 47) que, sous certaines conditions, aucune sous-variété lagrangienne exacte, orientée et fermée dans $W_f$ ne peut être un espace $K(\pi, 1)$.

Portée et affirmations
L'article affirme généraliser les résultats de symétrie miroir homologique pour les plumbings de doubles bulles (Smith-Wemyss) et les lissages de conifolds (Keating-Smith) à une classe cyclique de plumbings impliquant des espaces lenticulaires.

• Il fournit une réalisation concrète de la HMS pour une classe de 3-variétés où la géométrie miroir implique des cœurs d'espaces lenticulaires non triviaux et des schémas d'intersection cycliques.
• Il répond partiellement à la « question de réalisation » posée par Smith et Wemyss concernant quelles catégories de singularités relatives proviennent de plumbings d'espaces lenticulaires.
• Il démontre que les groupes de classes d'isotopie symplectiques de ces variétés de Stein sont riches et de génération infinie, étendant le phénomène connu du cas $A_1$ (conifold) à des $A_n$ supérieurs et à des types topologiques plus complexes.
• Ce travail confirme une conjecture de Lekili-Segal concernant la relation entre la catégorie de Fukaya enroulée d'un espace total d'une fibration de tore algébrique et celle de sa base dans ce contexte spécifique.

Les auteurs soulignent que leurs résultats reposent sur le calcul de la catégorie de Fukaya enroulée via des fibrations de Morse-Bott et l'identification subséquente de l'algèbre résultante avec l'algèbre de chemin d'un carquois associé à la résolution crépante. Les preuves des résultats sur les groupes de classes d'isotopie dépendent du calcul par Toda du groupe d'autoéquivalences de la catégorie dérivée des faisceaux cohérents sur le lieu exceptionnel.