Plumbings of lens spaces and crepant resolutions of compound $A_n$ singularities

Technische Samenvatting: Plumbings van Lensruimten en Crepante Resoluties van Samengestelde $A_n$-Singulariteiten

Probleemstelling
Het artikel onderzoekt de symplectische topologie van een specifieke klasse van 6-dimensionale Weinstein-variëteiten, geconstrueerd als cyclische plumbings van cotangentbundels van 3-dimensionale lensruimten langs cirkels. Deze variëteiten, aangeduid als $\mathcal{W}_f$, ontstaan als totale ruimten van Morse-Bott-vibraties over $\mathbb{C}^*$ met singuliere vezels bepaald door een polynoomfactorisatie $f(x,y) = \prod f_i(x,y)$. Het centrale probleem is het vaststellen van Homologische Spiegelsymmetrie (HMS) voor deze niet-compacte Stein-3-variëteiten en het begrijpen van hun symplectische afbeeldingsklassengroepen. Specifiek beogen de auteurs de relatie te leggen tussen de afgeleide ingewikkelde Fukaya-categorie van $\mathcal{W}_f$ en de afgeleide categorie van coherentie-voorbijgangers op de crepante resolutie van een overeenkomstige samengestelde $A_n$ ($cA_n$)-singulariteit $R_f = K[u,v,x,y]/(uv - f(x,y))$.

Methodologie
De auteurs maken gebruik van een combinatie van symplectische meetkunde, algebraïsche meetkunde en categorietheorie:

1. Symplectische Constructie en Berekening:

   • De variëteit $\mathcal{W}_f$ wordt gerealiseerd als een affiene $A_n$-plumbing van cotangentbundels $T^*Q_i$ (waarbij $Q_i$ lensruimten of $S^1 \times S^2$ zijn) langs cirkels.
   • De ingewikkelde Fukaya-categorie $\mathcal{W}(\mathcal{W}_f; K)$ wordt berekend door het tellen van holomorfische secties van de Morse-Bott-vibratie $\mathcal{W}_f \to \mathbb{C}^*$. De auteurs maken gebruik van een specifieke wikkings-Hamiltoniaan die is aangepast aan de vibratiestructuur.
   • Zij identificeren de endomorfisme $A_\infty$-algebra van een genererende verzameling van Lagrange-vezels ($L_0, \dots, L_n$) met een padalgebra van een quiver met relaties, gedeformeerd door het polynoom $f(x,y)$.

2. Algebraïsche Meetkunde en Spiegelsymmetrie:

   • Aan de B-kant construeren de auteurs een specifieke crepante resolutie $\phi: Y_f \to \text{Spec}(R_f)$ van de $cA_n$-singulariteit. De uitzonderlijke locus bestaat uit een keten van rationale krommen.
   • Zij maken gebruik van het Evans-Lekili-model, dat relatieve ingewikkelde Fukaya-categorieën van gepuncteerde schijven relateert aan padalgebra's van quivers.
   • De auteurs voeren categorische localisaties en completies uit (met betrekking tot woordlengte-filtraties en Seidel-elementen) om de kloof te overbruggen tussen de niet-compacte affiene setting en de complete lokale setting.

3. Afbeeldingsklassengroepen:

   • De auteurs analyseren de symplectische afbeeldingsklassengroep $\pi_0 \text{Symp}_c(\mathcal{W}_f)$ door gebruik te maken van de HMS-equivalentie. Zij relateren auto-equivalenties van de afgeleide categorie van coherentie-voorbijgangers op de uitzonderlijke locus (berekend door Toda) aan symplectische automorfismen van $\mathcal{W}_f$.

Belangrijkste Bijdragen en Resultaten

1. Homologische Spiegelsymmetrie (HMS)-stellingen:
   Het artikel bewijst twee versies van HMS voor de Stein-3-variëteit $\mathcal{W}_f$:

   • De Onvoltooide Versie (Stelling 3): Er is een equivalentie tussen de afgeleide ingewikkelde Fukaya-categorie van $\mathcal{W}_f$ en de begrenste afgeleide categorie van coherentie-voorbijgangers op het complement van een divisor in de crepante resolutie:
     $$D^b\text{Coh}(\mathcal{Y}_f) \simeq D^{\text{perf}}\mathcal{W}(\mathcal{W}_f; K)$$
     waarbij $\mathcal{Y}_f = Y_f \setminus D$.
   • De Voltooide Versie (Stelling 7): Er is een equivalentie tussen de afgeleide categorie van perfecte modules over de voltooide ingewikkelde Fukaya-categorie (voltooid met betrekking tot de woordlengte-filtratie van Hamiltoniaanse koorden) en de begrenste afgeleide categorie van coherentie-voorbijgangers op de complete lokale versie van de resolutie $\hat{Y}_f$:
     $$D^{\text{perf}}\widehat{\mathcal{W}}(\mathcal{W}_f; K) \simeq D^b\text{Coh}(\hat{Y}_f)$$

2. Relatieve Singulariteitscategorieën en Multi-Bubble Plumbings:
   Door de oorsprong van de basis van de vibratie in te vullen, verkrijgen de auteurs een "multi-bubble" plumbing $W_f$. Zij bewijzen (Stelling 10) dat de afgeleide ingewikkelde Fukaya-categorie van $W_f$ equivalent is aan de relatieve singulariteitscategorie van de crepante resolutie $Y_f$ (gedefinieerd als de quotiënt van de afgeleide categorie door de structuurvoorbijganger), mits een specifieke niet-isotopie-conditie op de Lagrange-kernen geldt. Dit generaliseert eerdere resultaten over dubbel-bubble plumbings.

3. Symplectische Afbeeldingsklassengroepen:
   Het artikel stelt vast dat de symplectische afbeeldingsklassengroep van $\mathcal{W}_f$ oneindig gegenereerd is.

   • Stelling 15: Als de $cA_n$-singulariteit geïsoleerd is, splitst een specifieke oneindig gegenereerde ondergroep van de pure braid-groep $PBr_{n+2}$ (aangeduid als $PBr^c_{n+2}$) in de symplectische afbeeldingsklassengroep met compacte drager $\pi_0 \text{Symp}_c(\mathcal{W}_f)$.
   • Stelling 17: Een vergelijkbare splitsende injectie bestaat voor de gegradueerde symplectische afbeeldingsklassengroep, waarbij de volledige pure braid-groep $PBr_{n+2}$ betrokken is.
   • Deze resultaten generaliseren het werk van Keating-Smith (die de conifold-geval behandelde) naar de bredere klasse van lensruimte-plumbings.

4. Toepassingen op Lagrange-inbeddingen:
   Met behulp van het bestaan van cyclische quasi-dilaties afgeleid uit de HMS-equivalentie, bewijzen de auteurs (Propositie 47) dat onder bepaalde voorwaarden geen enkele gesloten georiënteerde exacte Lagrange-variëteit in $W_f$ een $K(\pi, 1)$-ruimte kan zijn.

Betekenis en Claims
Het artikel claimt de resultaten van homologische spiegelsymmetrie voor dubbel-bubble plumbings (Smith-Wemyss) en conifold-smoothingen (Keating-Smith) te generaliseren naar een cyclische klasse van plumbings die lensruimten betrekken.

• Het biedt een concrete realisatie van HMS voor een klasse van 3-variëteiten waarbij de spiegelgeometrie niet-triviale lensruimte-kernen en cyclische snijpatronen omvat.
• Het beantwoordt gedeeltelijk de "realisatievraag" gesteld door Smith en Wemyss over welke relatieve singulariteitscategorieën voortkomen uit plumbings van lensruimten.
• Het demonstreert dat de symplectische afbeeldingsklassengroepen van deze Stein-variëteiten rijk en oneindig gegenereerd zijn, en breidt het bekende fenomeen uit van de $A_1$- (conifold) geval naar hogere $A_n$ en complexere topologische types.
• Het werk bevestigt een conjectuur van Lekili-Segal met betrekking tot de relatie tussen de ingewikkelde Fukaya-categorie van een totale ruimte van een algebraïsche torus-vibratie en die van zijn basis in deze specifieke setting.

De auteurs benadrukken dat hun resultaten afhankelijk zijn van de berekening van de ingewikkelde Fukaya-categorie via Morse-Bott-vibraties en de daaropvolgende identificatie van de resulterende algebra met de padalgebra van een quiver geassocieerd met de crepante resolutie. De bewijzen van de resultaten voor de afbeeldingsklassengroepen zijn afhankelijk van Todas berekening van de auto-equivalentiegroep van de afgeleide categorie van coherentie-voorbijgangers op de uitzonderlijke locus.