Plumbings of lens spaces and crepant resolutions of compound $A_n$ singularities

技术摘要：透镜空间的 plumbing 与复合 $A_n$ 奇点的 crepant 解消

问题陈述
本文研究了一类特定的 6 维 Weinstein 流形的辛拓扑，该类流形由 3 维透镜空间的余切丛沿圆周的循环 plumbing 构造而成。这些流形记为 $\mathcal{W}_f$，它们作为 Morse-Bott 纤维化 $\mathcal{W}_f \to \mathbb{C}^*$ 的全空间出现，其奇异纤维由多项式分解 $f(x,y) = \prod f_i(x,y)$ 确定。核心问题是建立这些非紧 Stein 3-流形的同调镜像对称（HMS），并理解其辛映射类群。具体而言，作者旨在将 $\mathcal{W}_f$ 的导出包裹 Fukaya 范畴与相应复合 $A_n$ ($cA_n$) 奇点 $R_f = K[u,v,x,y]/(uv - f(x,y))$ 的 crepant 解消上的凝聚层导出范畴联系起来。

方法论
作者结合了辛几何、代数几何和范畴论：

1. 辛构造与计算：

   • 流形 $\mathcal{W}_f$ 被实现为沿圆周的仿射 $A_n$ 型 plumbing，其组件为余切丛 $T^*Q_i$（其中 $Q_i$ 为透镜空间或 $S^1 \times S^2$）。
   • 包裹 Fukaya 范畴 $\mathcal{W}(\mathcal{W}_f; K)$ 通过计算 Morse-Bott 纤维化 $\mathcal{W}_f \to \mathbb{C}^*$ 的全纯截面来求得。作者利用了一种适应于纤维化结构的特定包裹哈密顿量。
   • 他们将生成拉格朗日纤维集 ($L_0, \dots, L_n$) 的自同态 $A_\infty$-代数识别为由多项式 $f(x,y)$ 变形的、带关系的拟代数（quiver with relations）的路径代数。

2. 代数几何与镜像对称：

   • 在 B 侧，作者构造了 $cA_n$ 奇点的一个特定 crepant 解消 $\phi: Y_f \to \text{Spec}(R_f)$。例外集由一串有理曲线组成。
   • 他们利用了 Evans-Lekili 模型，该模型将穿孔圆盘上的相对包裹 Fukaya 范畴与拟代数的路径代数联系起来。
   • 作者执行了范畴局部化和完备化（关于词长滤过和 Seidel 元素），以弥合非紧仿射情形与完备局部情形之间的差距。

3. 映射类群：

   • 作者利用 HMS 等价性分析了辛映射类群 $\pi_0 \text{Symp}_c(\mathcal{W}_f)$。他们将例外集上凝聚层导出范畴的自等价（由 Toda 计算得出）与 $\mathcal{W}_f$ 的辛自同构联系起来。

主要贡献与结果

1. 同调镜像对称 (HMS) 定理：
   本文证明了 Stein 3-流形 $\mathcal{W}_f$ 的两个版本的 HMS：

   • 未完备化版本（定理 3）： $\mathcal{W}_f$ 的导出包裹 Fukaya 范畴与 crepant 解消中除子补集上的有界凝聚层导出范畴之间存在等价关系：
     $$D^b\text{Coh}(\mathcal{Y}_f) \simeq D^{\text{perf}}\mathcal{W}(\mathcal{W}_f; K)$$
     其中 $\mathcal{Y}_f = Y_f \setminus D$。
   • 完备化版本（定理 7）： 关于哈密顿弦词长滤过进行完备化后的包裹 Fukaya 范畴上的完美模导出范畴，与解消 $\hat{Y}_f$ 的完备局部版本上的有界凝聚层导出范畴之间存在等价关系：
     $$D^{\text{perf}}\widehat{\mathcal{W}}(\mathcal{W}_f; K) \simeq D^b\text{Coh}(\hat{Y}_f)$$

2. 相对奇点范畴与多泡 plumbing：
   通过填充纤维化底空间的原点，作者得到了一个“多泡” plumbing $W_f$。他们证明了（定理 10），在拉格朗日核心满足特定非同伦条件的前提下，$W_f$ 的导出包裹 Fukaya 范畴等价于 crepant 解消 $Y_f$ 的相对奇点范畴（定义为导出范畴模去结构层的商）。这推广了关于双泡 plumbing 的先前结果。

3. 辛映射类群：
   本文确立了 $\mathcal{W}_f$ 的辛映射类群是无限生成的。

   • 定理 15： 如果 $cA_n$ 奇点是孤立的，纯辫群 $PBr_{n+2}$ 的一个特定无限生成子群（记为 $PBr^c_{n+2}$）分裂嵌入到紧支集辛映射类群 $\pi_0 \text{Symp}_c(\mathcal{W}_f)$ 中。
   • 定理 17： 对于涉及完整纯辫群 $PBr_{n+2}$ 的分次辛映射类群，也存在类似的分裂嵌入。
   • 这些结果将 Keating-Smith 的工作（处理圆锥奇点情形）推广到了包含透镜空间 plumbing 的更广泛类。

4. 在拉格朗日嵌入中的应用：
   利用从 HMS 等价性导出的循环准膨胀（cyclic quasi-dilations）的存在性，作者证明了（命题 47），在某些条件下，$W_f$ 中不存在任何闭定向精确拉格朗日子流形是 $K(\pi, 1)$ 空间。

意义与主张
本文声称将双泡 plumbing（Smith-Wemyss）和圆锥奇点光滑化（Keating-Smith）的同调镜像对称结果推广到了涉及透镜空间的循环类 plumbing。

• 它为一大类 3-流形提供了 HMS 的具体实现，其中镜像几何涉及非平凡的透镜空间核心和循环相交模式。
• 它部分回答了 Smith 和 Wemyss 提出的“实现问题”，即哪些相对奇点范畴源于透镜空间的 plumbing。
• 它证明了这些 Stein 流形的辛映射类群丰富且无限生成，将已知现象从 $A_1$（圆锥奇点）情形扩展到了更高阶的 $A_n$ 和更复杂的拓扑类型。
• 这项工作证实了 Lekili-Segal 的一个猜想，即在此特定设定下，代数环面纤维化全空间的包裹 Fukaya 范畴与其底空间的包裹 Fukaya 范畴之间的关系。

作者强调，他们的结果依赖于通过 Morse-Bott 纤维化计算包裹 Fukaya 范畴，并将所得代数识别为与 crepant 解消相关的拟代数的路径代数。映射类群结果的证明依赖于 Toda 对例外集上凝聚层导出范畴自等价群的计算。