Plumbings of lens spaces and crepant resolutions of compound $A_n$ singularities

技術的概要：レンズ空間のプラインディングと複合 $A_n$ 特異点のクリーパント解消

問題提起
本論文は、3 次元レンズ空間の余接束を円に沿って周期的にプラインディングすることで構成される、特定のクラスの 6 次元ワインシュタイン多様体のシンプレクティック位相幾何を調査する。これら多様体 $\mathcal{W}_f$ は、多項式因数分解 $f(x,y) = \prod f_i(x,y)$ によって決定される特異ファイバーを持つ、$\mathbb{C}^*$ 上の Morse-Bott ファイバー束の全空間として現れる。中心的な問題は、これらの非コンパクトな Stein 3 多様体に対してホモロジカル・ミラー対称性（HMS）を確立し、それらのシンプレクティック写像類群を理解することである。具体的には、著者らは $\mathcal{W}_f$ の導来包囲フカヤ圏を、対応する複合 $A_n$（$cA_n$）特異点 $R_f = K[u,v,x,y]/(uv - f(x,y))$ のクリーパント解消上のコヒーレント層の導来圏に関連付けることを目指している。

手法
著者らは、シンプレクティック幾何、代数幾何、圏論の組み合わせを採用する：

1. シンプレクティック構成と計算：

   • 多様体 $\mathcal{W}_f$ は、円に沿った余接束 $T^*Q_i$（ここで $Q_i$ はレンズ空間または $S^1 \times S^2$）のアフィン $A_n$ プラインディングとして実現される。
   • 包囲フカヤ圏 $\mathcal{W}(\mathcal{W}_f; K)$ は、Morse-Bott ファイバー束 $\mathcal{W}_f \to \mathbb{C}^*$ の正則断面を数えることで計算される。著者らはファイバー束構造に適応した特定の包囲ハミルトニアンを利用する。
   • 彼らは、生成系となるラグランジュファイバー（$L_0, \dots, L_n$）の自己準同型 $A_\infty$-代数を、多項式 $f(x,y)$ によって変形された、関係式付きのクイバーの経路代数と同定する。

2. 代数幾何とミラー対称性：

   • B 側において、著者らは $cA_n$ 特異点の特定のクリーパント解消 $\phi: Y_f \to \text{Spec}(R_f)$ を構成する。例外集合は有理曲線の鎖からなる。
   • 彼らは、穴あき円盤の相対的包囲フカヤ圏をクイバーの経路代数に関連付ける Evans-Lekili モデルを利用する。
   • 著者らは、非コンパクトなアフィン設定と完全局所設定の間のギャップを埋めるために、圏論的な局所化と完全化（語長フィルトレーションおよび Seidel 要素に関する）を行う。

3. 写像類群：

   • 著者らは、HMS 同値を活用してシンプレクティック写像類群 $\pi_0 \text{Symp}_c(\mathcal{W}_f)$ を解析する。彼らは、例外集合上のコヒーレント層の導来圏の自己同値（Toda によって計算されたもの）を、$\mathcal{W}_f$ のシンプレクティック自己同型に関連付ける。

主要な貢献と結果

1. ホモロジカル・ミラー対称性（HMS）定理：
   本論文は、Stein 3 多様体 $\mathcal{W}_f$ に対する HMS の 2 つのバージョンを証明する：

   • 未完成バージョン（定理 3）： $\mathcal{W}_f$ の導来包囲フカヤ圏と、クリーパント解消における除子を除いた部分上の有界コヒーレント層の導来圏との間に同値が存在する：
     $$D^b\text{Coh}(\mathcal{Y}_f) \simeq D^{\text{perf}}\mathcal{W}(\mathcal{W}_f; K)$$
     ここで $\mathcal{Y}_f = Y_f \setminus D$ である。
   • 完全化バージョン（定理 7）： ハミルトニアン弦の語長フィルトレーションに関して完全化された包囲フカヤ圏上の完全モジュールの導来圏と、解消の完全局所バージョン $\hat{Y}_f$ 上の有界コヒーレント層の導来圏との間に同値が存在する：
     $$D^{\text{perf}}\widehat{\mathcal{W}}(\mathcal{W}_f; K) \simeq D^b\text{Coh}(\hat{Y}_f)$$

2. 相対的特異点圏とマルチバブル・プラインディング：
   ファイバー束の底面の原点を充填することで、著者らは「マルチバブル」プラインディング $W_f$ を得る。彼らは（定理 10）、ラグランジュコアに関する特定の非等方条件が満たされる場合、$W_f$ の導来包囲フカヤ圏がクリーパント解消 $Y_f$ の相対的特異点圏（構造層による導来圏の商として定義される）と同値であることを証明する。これは、ダブルバブル・プラインディングに関する以前の結果を一般化するものである。

3. シンプレクティック写像類群：
   本論文は、$\mathcal{W}_f$ のシンプレクティック写像類群が無限生成であることを確立する。

   • 定理 15： $cA_n$ 特異点が孤立している場合、特定の無限生成部分群である純粋な編み群 $PBr_{n+2}$（$PBr^c_{n+2}$ と表記）が、コンパクト台を持つシンプレクティック写像類群 $\pi_0 \text{Symp}_c(\mathcal{W}_f)$ に分裂単射として埋め込まれる。
   • 定理 17： 完全な純粋な編み群 $PBr_{n+2}$ を含むgradedシンプレクティック写像類群についても、同様の分裂単射が存在する。
   • これらの結果は、Keating-Smith の仕事（特異点解消の場合を扱ったもの）を、レンズ空間のプラインディングを含むより広範なクラスに一般化するものである。

4. ラグランジュ埋め込みへの応用：
   HMS 同値から導かれる周期的準ダイレーションの存在を用いて、著者らは（命題 47）、特定の条件下では、$W_f$ 内の閉じた向き付けられた正確なラグランジュ部分多様体が $K(\pi, 1)$ 空間となり得ないことを証明する。

意義と主張
本論文は、ダブルバブル・プラインディング（Smith-Wemyss）および特異点解消（Keating-Smith）に対するホモロジカル・ミラー対称性の結果を、レンズ空間を含む周期的なプラインディングのクラスに一般化すると主張する。

• それは、ミラー幾何が非自明なレンズ空間のコアと周期的な交差パターンを含む、3 多様体のクラスに対する HMS の具体的な実現を提供する。
• それは、Smith と Wemyss によって提起された「どの相対的特異点圏がレンズ空間のプラインディングから生じるか」という実現問題に対する部分的な回答を提供する。
• それは、これらの Stein 多様体のシンプレクティック写像類群が豊かで無限生成であることを示し、既知の現象を $A_1$（特異点解消）の場合から、より高次の $A_n$ およびより複雑な位相的タイプへと拡張する。
• この研究は、この特定の設定において、代数トーラスファイバー束の全空間の包囲フカヤ圏とその底面のそれとの間の関係に関する Lekili-Segal の予想を確認する。

著者らは、彼らの結果が、Morse-Bott ファイバー束を通じた包囲フカヤ圏の計算と、その結果生じる代数をクリーパント解消に関連するクイバーの経路代数との同定に依存していることを強調している。写像類群の結果の証明は、例外集合上のコヒーレント層の導来圏の自己同値群の計算（Toda によるもの）に依存している。