No exact on average additive complements of squares

1. Il Problema e il Contesto

Il lavoro si inserisce nel campo della teoria dei numeri additiva, specificamente nello studio dei complementi additivi di insiemi di potenze.

• Definizioni di base: Sia $\mathbb{N}$ l'insieme dei numeri naturali e $S_r = \{1^r, 2^r, 3^r, \dots\}$ l'insieme delle potenze $r$-esime (con $r \ge 2$). Un sottoinsieme $W \subset \mathbb{N}$ è detto complemento additivo di $S_r$ se ogni intero sufficientemente grande può essere scritto come somma $n = w + m^r$, con $w \in W$ e $m^r \in S_r$.
• Funzione di conteggio: Si definisce $f_r(n)$ come il numero di rappresentazioni di $n$ come somma di un elemento di $W$ e una potenza $r$-esima:
  $$f_r(n) = \#\{(w, m^r) \in W \times S_r : n = w + m^r\}.$$
• Congetture e Problemi Aperti:
  • Problema di Erdős (1993): Se $W$ è un complemento additivo dei quadrati ($r=2$), è vero che $\liminf_{N\to\infty} W(N)/\sqrt{N} > 1$? (Dove $W(N)$ è il numero di elementi di $W$ fino a $N$).
  • Congettura di Cilleruelo (1993): Per qualsiasi complemento additivo $W_r$ di $S_r$, la somma delle rappresentazioni devia significativamente da $N$. Nello specifico, Cilleruelo congettura che:
    $$\sum_{n \le N} f_r(n) - N \gg_r N.$$
    Una risposta positiva a questa congettura implicherebbe una risposta negativa ai problemi di Erdős e di Ruzsa sull'esistenza di complementi "esatti in media" (dove la somma delle rappresentazioni sarebbe asintoticamente $N$).
  • Stato dell'arte: Per $r=2$, erano noti risultati parziali (es. Ding et al. [10] avevano dimostrato un limite inferiore di ordine $N^{1/2}$), ma per $r \ge 3$ non esisteva alcuna prova che la differenza $\sum f_r(n) - N$ tendesse all'infinito.

2. Metodologia

Gli autori utilizzano una combinazione di tecniche analitiche e combinatorie, basate su una partizione dell'intervallo e il metodo delle somme doppie.

• Partizione dell'intervallo: L'intervallo $[1, N]$ viene suddiviso in $K$ sottointervalli di lunghezza $N/2K$. Si definiscono $W_k$ e $S_k$ come le intersezioni di $W$ e $S$ con questi sottointervalli.
• Somma di Abel e Teorema del Valor Medio: Si analizza il numero di differenze $w - s$ tra elementi di $W$ e $S$. Utilizzando la formula di somma di Abel e il teorema del valor medio di Lagrange, si stima il numero di coppie $(w, s)$ che generano differenze specifiche.
• Conteggio delle collisioni: L'idea centrale è che se molte coppie $(w, s)$ producono la stessa differenza $d$, allora esistono molte coppie distinte che sommano allo stesso numero $n$. Questo permette di legare la densità di $W$ e $S$ alla quantità di "rappresentazioni multiple" (cioè $f(n) \ge 2$).
• Caso $r=2$ (Quadrati): Per il caso specifico dei quadrati, gli autori integrano un risultato profondo di Ford sulla problema della tabella moltiplicativa (multiplicative table problem). Questo risultato fornisce stime precise sul numero di interi che possono essere scritti come prodotto di due fattori limitati, introducendo fattori logaritmici sottili che migliorano i limiti inferiori.

3. Risultati Principali

Il paper presenta tre teoremi fondamentali che risolvono o migliorano significativamente le questioni aperte.

Teorema 1: Generalizzazione per $r \ge 2$

Il teorema estende i risultati noti a qualsiasi potenza $r \ge 2$.

• Enunciato: Sia $S \subset \mathbb{N}$ un sottoinsieme tale che $S(x) \sim c_r x^{1/r}$. Per qualsiasi complemento additivo $W$ di $S$, vale:
  $$\sum_{n \le N} f_{S,W}(n) - N \gg_{r, c_r} N^{1 - 1/r}.$$
• Significato: Questo risolve il problema per $r \ge 3$, dimostrando che la somma delle rappresentazioni supera $N$ di un ordine di grandezza $N^{1-1/r}$. Prima di questo lavoro, non si sapeva nemmeno se la differenza tendesse all'infinito per $r \ge 3$.

Teorema 2: Miglioramento per i Quadrati ($r=2$)

Per il caso dei quadrati, gli autori ottengono un limite inferiore più preciso, migliorando un risultato recente di Ding, Sun, Wang e Xia.

• Enunciato: Se $W$ è un complemento additivo dei quadrati, allora:
  $$\sum_{n \le N} f(n) - N \gg N^{1/2} (\log N)^{\delta} (\log \log N)^{3/2},$$
  dove $\delta = 1 - \frac{1 + \log \log 2}{\log 2} \approx 0.086$.
• Significato: Il fattore logaritmico aggiuntivo deriva dalle proprietà aritmetiche specifiche dei quadrati (tramite il Lemma 1 di Ford). Questo rappresenta un miglioramento quantitativo significativo rispetto ai limiti precedenti.

Teorema 3: Equivalenza dei Problemi di Erdős e Ruzsa

Gli autori dimostrano che il "Problema 1" (esistenza di un complemento con crescita asintotica specifica) e il "Problema 2" (esistenza di un complemento esatto in media) sono essenzialmente lo stesso problema.

• Risultato: Se esiste un complemento additivo esatto in media per i quadrati (cioè $\sum f(n) \sim N$), allora deve necessariamente valere l'asintotica $W(N) \sim \frac{4}{\pi}\sqrt{N}$.
• Implicazione: Poiché i Teoremi 1 e 2 mostrano che $\sum f(n) - N$ è significativamente positivo (non trascurabile rispetto a $N$), ciò fornisce forti evidenze contro l'esistenza di tali complementi "perfetti" con crescita asintotica esatta, confermando le aspettative negative di Cilleruelo.

4. Contributi Chiave e Significato

1. Superamento della barriera $r=2$: Il contributo più importante è la dimostrazione che la congettura di Cilleruelo (o almeno la sua versione quantitativa sulla deviazione da $N$) vale per tutte le potenze $r \ge 2$, non solo per i quadrati.
2. Nuovi limiti inferiori: Si passa da risultati che non garantivano nemmeno la divergenza della somma (per $r \ge 3$) a limiti inferiori espliciti di ordine $N^{1-1/r}$.
3. Ottimizzazione logaritmica: Per il caso $r=2$, l'uso delle tecniche di Ford sulla tabella moltiplicativa permette di affinare il limite inferiore, aggiungendo fattori logaritmici che erano assenti nelle stime precedenti.
4. Unificazione dei problemi: La dimostrazione che i problemi di Erdős e Ruzsa sono equivalenti semplifica il panorama teorico, indicando che la ricerca di un complemento "ottimale" è strettamente legata alla precisione della stima della somma delle rappresentazioni.

In sintesi, questo lavoro rappresenta un avanzamento sostanziale nella comprensione della struttura additiva delle potenze, fornendo limiti inferiori robusti che confutano l'ipotesi di esistenza di complementi additivi "troppo efficienti" (esatti in media) per le potenze $r$-esime.