No exact on average additive complements of squares

Titel: Kruisrepresentaties van additieve complementen van $r$-de machten

1. Het Probleem en Achtergrond

Het artikel onderzoekt een fundamenteel probleem in de additieve getaltheorie, gerelateerd aan de dichtheid van verzamelingen die als "additieve complementen" fungeren voor de verzameling van $r$-de machten.

• Definitie: Laat $S_r = \{1^r, 2^r, 3^r, \dots\}$ de verzameling van $r$-de machten zijn ($r \ge 2$). Een deelverzameling $W \subset \mathbb{N}$ is een additief complement van $S_r$ als elke voldoende grote geheel getal $n$ geschreven kan worden als $n = w + m^r$ met $w \in W$ en $m^r \in S_r$.
• De telling: De functie $f_r(n)$ telt het aantal manieren waarop $n$ als som van een element uit $W$ en een $r$-de macht kan worden geschreven:
  $$f_r(n) = \#\{(w, m^r) \in W \times S_r : n = w + m^r\}.$$
• Historische Context:
  • Erdős (1950s): Vroeg zich af of de limietinfimum van $W(N)/\sqrt{N}$ (waarbij $W(N)$ het aantal elementen $\le N$ is) strikt groter is dan 1 voor kwadraten ($r=2$). Dit werd bevestigend beantwoord (Moser, later verbeterd door Cilleruelo et al. tot $4/\pi$).
  • Ben Green (2017): Stelde de vraag of er een additief complement $W$ bestaat dat exact de asymptotische groei $W(N) \sim \frac{4}{\pi}\sqrt{N}$ volgt (wat zou impliceren dat $f(n) \sim 1$ gemiddeld).
  • Ruzsa (2001) & Cilleruelo (1993): Stelden het probleem of er een "exact gemiddeld additief complement" bestaat, d.w.z. een verzameling waarbij $\sum_{n \le N} f(n) \sim N$. Cilleruelo vermoedde dat dit niet mogelijk is en stelde de conjectuur dat voor elke additieve complement geldt:
    $$\sum_{n \le N} f_r(n) - N \gg_r N.$$
  • Bestaande resultaten: Voor $r=2$ was de ondergrens voor de afwijking $\sum f(n) - N$ eerder bewezen als $\gg N^{1/4} \log N$ (Chen & Fang) en later verbeterd naar $\gg N^{1/2}$ (Ding et al.). Voor $r \ge 3$ was er geen bewijs dat de som zelfs maar naar oneindig gaat.

2. Methodologie

De auteurs gebruiken een combinatie van analytische technieken, waaronder:

• Abel's Sommatieformule: Om sommen over de verzamelingen $W$ en $S_r$ te herschrijven en te benaderen.
• Intervalverdeling: De verzameling $W$ wordt opgesplitst in intervallen $W_k$ van grootte $N/2K$. Dit maakt het mogelijk om lokale dichtheden te analyseren.
• Verschillenanalyse: Het tellen van het aantal paren $(w, s)$ met een specifiek verschil $d = w - s$. Als er veel paren zijn met hetzelfde verschil, leidt dit tot veel representaties van sommen $n = w + s$.
• Meerwaarde van Lagrange: Gebruikt om de groei van functies zoals $k^{1/r}$ te schatten.
• Vermenigvuldigingstabel-probleem (voor $r=2$): Voor het specifieke geval van kwadraten maken ze gebruik van een diep resultaat van Ford over het aantal getallen $\le x$ die als product van twee getallen $\le \sqrt{x}$ geschreven kunnen worden. Dit levert een extra logaritmische factor op.

3. Belangrijkste Resultaten

Hoofdstelling 1 (Algemene $r \ge 2$)

De auteurs bewijzen dat voor elke natuurlijke $r \ge 2$ en elke additieve complement $W$ van $S_r$ (waarbij $S(x) \sim c_r x^{1/r}$), de volgende ondergrens geldt:
$$\sum_{n \le N} f_r(n) - N \gg_{r, c_r} N^{1 - 1/r}.$$

• Betekenis: Dit is een doorbraak omdat het de conjectuur van Cilleruelo voor $r \ge 3$ substantieel versterkt. Het toont aan dat de som van representaties niet alleen naar oneindig gaat, maar een specifieke polynoomgrootte heeft. Het weerlegt impliciet de mogelijkheid van een "exact gemiddeld" complement (waar de som $\sim N$ zou zijn), omdat de afwijking te groot is.

Hoofdstelling 2 (Specifiek voor $r=2$, Kwadraten)

Voor het geval van kwadraten ($r=2$) verbeteren de auteurs de bestaande ondergrens aanzienlijk door een logaritmische factor toe te voegen:
$$\sum_{n \le N} f(n) - N \gg N^{1/2} (\log N)^{\delta'} (\log \log N)^{3/2},$$
waarbij $\delta' = 1 - \frac{1+\log \log 2}{\log 2} \approx 0.086$.

• Technische Nuance: Deze verbetering is mogelijk dankzij de specifieke arithmetische eigenschappen van kwadraten (gerelateerd aan het vermenigvuldigingstabel-probleem). De methode is niet direct toepasbaar op $r \ge 3$.

Stelling 3 (Relatie tussen Probleem 1 en 2)

De auteurs bewijzen dat de vraag van Ben Green (Probleem 1: bestaat een complement met exacte groei $W(N) \sim \frac{4}{\pi}\sqrt{N}$?) en de vraag van Ruzsa/Cilleruelo (Probleem 2: bestaat een exact gemiddeld complement?) identiek zijn.

• Als er een exact gemiddeld complement bestaat, moet de groei van $W(N)$ noodzakelijkerwijs asymptotisch gelijk zijn aan $\frac{4}{\pi}\sqrt{N}$.
• Gezien de resultaten van Stelling 1 en 2 (dat de som van representaties significant groter is dan $N$), concluderen ze dat dergelijke verzamelingen niet bestaan. Dit geeft een negatief antwoord op beide problemen.

4. Significantie en Impact

1. Oplossing van een langdurig vermoeden: Het artikel levert een sterk bewijs tegen de hypothese dat er een "perfect" additief complement bestaat voor $r$-de machten dat de verwachte dichtheid exact volgt zonder extra "overschot" aan representaties.
2. Veralgemening: Het resultaat voor $r \ge 3$ is nieuw en vult een leemte in de literatuur waar eerdere methoden faalden om zelfs maar te bewijzen dat de som divergeert.
3. Technische Vooruitgang: De verbetering van de ondergrens voor $r=2$ met logaritmische factoren toont de kracht van het combineren van additieve en multiplicatieve getaltheorie (via het werk van Ford).
4. Verbinding van problemen: Het artikel verduidelijkt de theoretische link tussen de dichtheid van de complementen en het aantal representaties, en toont aan dat een optimale dichtheid leidt tot een onvermijdelijke afwijking in het aantal sommen.

Kortom, Ding, Sándor en Zhang tonen aan dat de structuur van additieve complementen van $r$-de machten fundamenteel "rommeliger" is dan eerder gehoopt; er is altijd een significante hoeveelheid "redundantie" (meer dan één manier om een getal te schrijven als som) die niet kan worden geëlimineerd, zelfs niet bij optimale keuze van de verzameling $W$.