No exact on average additive complements of squares

1. Problématique et Contexte

L'article s'inscrit dans le domaine de la théorie additive des nombres, plus précisément dans l'étude des compléments additifs.

• Définition : Soit $S_r = \{1^r, 2^r, 3^r, \dots\}$ l'ensemble des puissances $r$-ièmes ($r \ge 2$). Un sous-ensemble $W \subset \mathbb{N}$ est un complément additif de $S_r$ si tout entier suffisamment grand peut s'écrire sous la forme $n = w + s$ avec $w \in W$ et $s \in S_r$.
• Fonction de comptage : On note $f_r(n)$ le nombre de représentations de $n$ sous la forme $w + m^r$.
• Conjecture de Cilleruelo (1993) : Il est conjecturé que pour tout complément additif $W$ de $S_r$, la somme des représentations dépasse significativement la valeur attendue $N$. Plus précisément, Cilleruelo conjecturait que $\sum_{n \le N} f_r(n) - N \gg N$ (ou même $rN + o(N)$). Cela impliquerait qu'il n'existe pas de « complément additif exact en moyenne » (où la somme serait asymptotiquement égale à $N$).
• Problème de Ben Green (2017) : Existe-t-il un complément additif $W$ des carrés ($r=2$) tel que sa fonction de comptage $W(N)$ croisse asymptotiquement comme $\frac{4}{\pi}\sqrt{N}$ ? (Cette croissance est la borne inférieure théorique minimale).

État de l'art avant ce papier :

• Pour $r=2$, des bornes inférieures avaient été établies, notamment par Chen et Fang ($\gg N^{1/4} \log N$) puis par Ding, Sun, Wang et Xia ($\gg 0.193 N^{1/2}$).
• Pour $r \ge 3$, les méthodes existantes ne parvenaient même pas à prouver que la somme diverge vers l'infini.

2. Méthodologie

Les auteurs développent une approche combinatoire et analytique basée sur la méthode des différences et l'inégalité de Cauchy-Schwarz (via le comptage des paires), couplée à des résultats profonds sur les tables de multiplication.

A. Preuve du Théorème 1 (Cas général $r \ge 2$)

L'objectif est de montrer que $\sum_{n \le N} f_{S,W}(n) - N \gg N^{1-1/r}$.

1. Partitionnement : L'intervalle $[1, N]$ est divisé en $K$ sous-intervalles de taille $N/2K$. On définit $W_k$ et $S_k$ comme les intersections de $W$ et $S$ avec ces intervalles.
2. Comptage des différences : On considère les différences $d = w - s$ où $w \in W_k$ et $s \in S_k$. L'auteur utilise la formule de sommation d'Abel pour estimer le nombre total de telles paires.
3. Principe des tiroirs (Pigeonhole) : Si le nombre total de paires $(w,s)$ est grand, alors certaines différences $d$ doivent apparaître plusieurs fois ($\ell_d \ge 2$).
4. Lien avec les représentations : Si une différence $d$ est obtenue par plusieurs paires distinctes $(w_i, s_i)$, alors pour $i \neq j$, on a $w_i + s_j = w_j + s_i = n$. Cela crée des représentations multiples pour un même entier $n$.
5. Optimisation : En choisissant judicieusement le paramètre de partition $K$ (de l'ordre de $e^{32r}$), les auteurs démontrent que le nombre de représentations excédentaires est proportionnel à $N^{1-1/r}$.

B. Preuve du Théorème 2 (Cas spécifique $r=2$)

Pour les carrés, les auteurs améliorent le facteur logarithmique en exploitant la structure multiplicative des carrés.

1. Utilisation du Lemme de Ford : Ils s'appuient sur un résultat célèbre de Ford concernant le nombre d'entiers $n \le x$ qui peuvent s'écrire comme produit $m_1 m_2$ avec $m_1, m_2 \le \sqrt{x}$. Ce nombre est de l'ordre de $\frac{x}{(\log x)^\delta (\log \log x)^{3/2}}$.
2. Analyse de cas :
   • Si la densité de $W$ est faible dans le premier intervalle, on utilise directement la borne inférieure.
   • Si la densité est élevée, on identifie un entier $n^*$ ayant un grand nombre de représentations.
3. Construction de collisions : En utilisant la structure $n^* - m_i^2$, on génère un ensemble de nombres de la forme $n^* - (m_i - m)(m_i + m)$. Grâce au lemme de Ford, on contrôle le nombre de valeurs distinctes générées, ce qui permet de prouver que la somme des représentations dépasse $N$ avec un facteur logarithmique amélioré.

3. Résultats Principaux

Théorème 1 (Extension aux puissances $r$-ièmes)

Pour tout $r \ge 2$ et tout complément additif $W$ de l'ensemble des puissances $r$-ièmes $S_r$, on a :
$$\sum_{n \le N} f_r(n) - N \gg_r N^{1 - 1/r}$$
C'est la première preuve valide pour tout $r \ge 2$. Cela répond négativement à la possibilité d'un complément additif « exact en moyenne » pour $r \ge 3$ (puisque la somme diverge).

Théorème 2 (Amélioration pour les carrés $r=2$)

Pour les carrés ($r=2$), la borne est améliorée avec un facteur logarithmique précis :
$$\sum_{n \le N} f_2(n) - N \gg N^{1/2} (\log N)^{1 - \frac{1+\log \log 2}{\log 2}} (\log \log N)^{3/2}$$
Ceci améliore le résultat précédent de Ding, Sun, Wang et Xia en ajoutant un facteur logarithmique significatif.

Théorème 3 (Équivalence des problèmes)

Les auteurs prouvent que le Problème 1 (existence d'un complément avec croissance $\frac{4}{\pi}\sqrt{N}$) et le Problème 2 (existence d'un complément exact en moyenne) sont équivalents.

• Si un complément exact en moyenne existe, alors sa croissance doit être asymptotiquement $\frac{4}{\pi}\sqrt{N}$.
• Inversement, si la croissance est exactement $\frac{4}{\pi}\sqrt{N}$, cela impliquerait des propriétés contradictoires avec les bornes inférieures démontrées dans les théorèmes 1 et 2.
• Conclusion implicite : La réponse aux deux problèmes est probablement négative (un tel complément n'existe pas), car la somme des représentations est toujours strictement supérieure à $N$ de manière significative.

4. Contributions Clés et Signification

1. Généralisation majeure : Le passage de $r=2$ à tout $r \ge 2$ est une avancée théorique importante, comblant un vide laissé par les méthodes antérieures qui échouaient pour les puissances supérieures.
2. Optimisation des bornes : Pour $r=2$, l'article fournit la meilleure borne inférieure connue à ce jour, intégrant des termes logarithmiques fins grâce à l'arithmétique des carrés.
3. Résolution de conjectures : Le travail apporte un soutien fort à la conjecture de Cilleruelo et fournit une réponse négative conditionnelle aux problèmes de Ben Green et Ruzsa concernant l'existence de compléments « parfaits » (exactement en moyenne ou avec la croissance minimale théorique).
4. Méthodologie hybride : L'article combine efficacement des techniques de combinatoire additive (sommation d'Abel, partitionnement) avec des résultats profonds de théorie analytique des nombres (tables de multiplication de Ford).

En résumé, cet article démontre que les compléments additifs des puissances $r$-ièmes ne peuvent pas être « trop efficaces » : ils doivent nécessairement produire un excès de représentations par rapport à la borne théorique minimale, et cet excès est quantifié avec précision.