No exact on average additive complements of squares

A continuación presento un resumen técnico detallado del artículo "Cross representations of additive complements of r-th powers" (Representaciones cruzadas de complementos aditivos de potencias r-ésimas) de Yuchen Ding, Csaba Sándor y Zihan Zhang.

1. Planteamiento del Problema y Contexto

El artículo se centra en la teoría de números aditiva, específicamente en el estudio de los complementos aditivos de conjuntos de potencias enteras.

• Definiciones Básicas:

  • Sea $S_r = \{1^r, 2^r, 3^r, \dots\}$ el conjunto de las potencias $r$-ésimas ($r \ge 2$).
  • Un subconjunto $W \subset \mathbb{N}$ es un complemento aditivo de $S_r$ si todo entero suficientemente grande puede escribirse como la suma de un elemento de $W$ y un elemento de $S_r$.
  • Se define la función de conteo de representaciones cruzadas:
    $$f_r(n) = \#\{(w, m^r) \in W \times S_r : n = w + m^r\}$$
  • El problema fundamental, motivado por una conjetura de Cilleruelo (1993), es determinar si es posible que la suma de las representaciones $f_r(n)$ sea asintóticamente igual a $N$ (es decir, $\sum_{n \le N} f_r(n) \sim N$). Si esto ocurriera, $W$ sería un "complemento aditivo exacto en promedio".

• Antecedentes y Problemas Abiertos:

  • Problema 1 (Ben Green, 2017): ¿Existe un complemento aditivo $W$ de los cuadrados ($r=2$) tal que su crecimiento sea óptimo, es decir, $W(N) \sim \frac{4}{\pi}\sqrt{N}$?
  • Problema 2 (Ruzsa, 2001): ¿Existe un complemento aditivo exacto en promedio para los cuadrados? (Esto implicaría que $\sum f(n) \sim N$).
  • Resultados previos (Chen y Fang, Ding et al.) habían establecido cotas inferiores para la desviación $\sum f(n) - N$, pero solo para $r=2$ y con factores logarítmicos débiles o constantes. Para $r \ge 3$, los métodos anteriores no lograban ni siquiera demostrar que la suma divergiera a infinito.

2. Metodología

Los autores emplean una combinación de técnicas analíticas y combinatorias para establecer cotas inferiores rigurosas:

1. Descomposición de Intervalos (Partición):
   Dividen el intervalo $[1, N]$ en $K$ subintervalos de longitud $N/2K$. Definen $W_k$ y $S_k$ como las intersecciones de $W$ y $S$ con estos subintervalos, y $h(k), g(k)$ como sus cardinalidades.

2. Sumación de Abel y Teorema del Valor Medio:
   Utilizan la fórmula de sumación de Abel para manipular la suma de productos $h(k)g(k)$, que representa el número de pares $(w, s)$ con diferencias acotadas. Aplican el teorema del valor medio de Lagrange para aproximar las diferencias de potencias fraccionarias ($k^{1/r} - (k-1)^{1/r}$), obteniendo una cota inferior para la suma total de pares.

3. Conteo de Diferencias y Colisiones:
   Analizan las diferencias $d = w - s$. Si una diferencia $d$ se puede formar de múltiples maneras ($\ell_d \ge 2$), esto implica la existencia de "colisiones" en las sumas $w+s$. Específicamente, si $w_1 - s_1 = w_2 - s_2$, entonces $w_1 + s_2 = w_2 + s_1 = n$. Esto permite relacionar el número de pares con diferencias repetidas con la suma de las funciones $f(n)$.

4. Propiedades Estructurales de los Cuadrados (Para $r=2$):
   Para el caso específico de los cuadrados, el teorema 2 aprovecha resultados profundos sobre el problema de la tabla de multiplicación (multiplicative table problem) de Ford. Utilizan una cota para el número de enteros que pueden escribirse como producto de dos factores menores que $\sqrt{x}$, lo cual introduce factores logarítmicos finos en la cota final.

3. Resultados Principales

El artículo presenta tres teoremas fundamentales que resuelven o mejoran significativamente las conjeturas existentes:

Teorema 1: Generalización para cualquier $r \ge 2$

Demuestran que para cualquier complemento aditivo $W$ de un conjunto $S$ con densidad asintótica $S(x) \sim c_r x^{1/r}$, la suma de las representaciones excede linealmente a $N$:
$$\sum_{n \le N} f_{S,W}(n) - N \gg_r N^{1 - 1/r}$$

• Significado: Esto extiende el resultado conocido solo para $r=2$ a cualquier potencia $r \ge 2$. Resuelve la dificultad de que para $r \ge 3$ los métodos anteriores fallaban. La desviación es de orden $N^{1-1/r}$, lo que implica que la suma de representaciones es estrictamente mayor que $N$ para grandes $N$.

Teorema 2: Mejora para el caso de cuadrados ($r=2$)

Para el caso específico de los cuadrados, mejoran la cota inferior incorporando un factor logarítmico explícito:
$$\sum_{n \le N} f(n) - N \gg N^{1/2} (\log N)^{\delta'} (\log \log N)^{3/2}$$
donde $\delta' = 1 - \frac{1+\log \log 2}{\log 2} \approx 0.086$.

• Significado: Esta es una mejora sustancial sobre el resultado anterior de Ding, Sun, Wang y Xia (que era $0.193 N^{1/2}$). El factor logarítmico extra proviene de las propiedades aritméticas específicas de los cuadrados y el uso del teorema de Ford.

Teorema 3: Equivalencia de Problemas

Demuestran que el Problema 1 (crecimiento óptimo $W(N) \sim \frac{4}{\pi}\sqrt{N}$) y el Problema 2 (complemento exacto en promedio) son esencialmente el mismo problema.

• Resultado: Si existe un complemento aditivo exacto en promedio, entonces necesariamente $W(N) \sim \frac{4}{\pi}\sqrt{N}$.
• Implicación: Dado que los Teoremas 1 y 2 muestran que $\sum f(n) - N$ crece indefinidamente (no tiende a 0), esto sugiere fuertemente una respuesta negativa a la conjetura de Cilleruelo: no existe un complemento aditivo exacto en promedio para los cuadrados (ni para potencias $r$-ésimas).

4. Contribuciones Clave

1. Resolución de la brecha para $r \ge 3$: Por primera vez, se demuestra que la desviación $\sum f_r(n) - N$ tiende a infinito para cualquier potencia $r \ge 2$, superando la limitación de los métodos anteriores que solo funcionaban para $r=2$.
2. Mejora de cotas logarítmicas: Para $r=2$, se logra una cota inferior más precisa con factores logarítmicos finos, acercándose más a la comprensión de la estructura de los complementos aditivos.
3. Unificación de problemas: Establece teóricamente que la búsqueda de un complemento de crecimiento óptimo y la búsqueda de un complemento exacto en promedio son caminos hacia el mismo obstáculo, reforzando la idea de que tal complemento no existe.

5. Significado e Impacto

Este trabajo es fundamental en la teoría de números aditiva porque:

• Refuta la posibilidad de "eficiencia perfecta": Sugiere que no se puede construir un conjunto $W$ que complemente a los cuadrados (o potencias) de manera tan eficiente que cada número tenga exactamente una representación (o una representación promedio de 1). Siempre habrá un "exceso" de representaciones que crece como $N^{1-1/r}$.
• Avance en la Conjetura de Cilleruelo: Proporciona evidencia fuerte contra la conjetura de que $\sum f_r(n) \sim N$, indicando que la suma debe ser significativamente mayor.
• Nuevas Herramientas: La combinación de la sumación de Abel con resultados sobre tablas de multiplicación (Ford) abre nuevas vías para atacar problemas de densidad en conjuntos aditivos.

En resumen, Ding, Sándor y Zhang demuestran que la estructura de los complementos aditivos de potencias impone una "ineficiencia" inherente, cuantificada por una cota inferior que crece con $N$, descartando la existencia de complementos exactos en promedio y resolviendo parcialmente problemas abiertos de Erdős y Ruzsa.