No exact on average additive complements of squares

这篇论文《Cross representations of additive complements of r-th powers》（$r$ 次幂加性补集的交叉表示）由 Yuchen Ding, Csaba Sándor 和 Zihan Zhang 撰写。文章主要研究了自然数集 $\mathbb{N}$ 中 $r$ 次幂集合 $S_r = \{1^r, 2^r, 3^r, \dots\}$ 的加性补集（additive complement）的性质，特别是关于补集元素与幂次元素之和表示整数的频率问题。

以下是该论文的详细技术总结：

1. 研究背景与核心问题

定义与背景：

• 设 $S_r$ 为 $r$ 次幂集合（$r \ge 2$）。
• 集合 $W \subset \mathbb{N}$ 被称为 $S_r$ 的加性补集，如果所有足够大的整数 $n$ 都可以表示为 $n = w + s$，其中 $w \in W, s \in S_r$。
• 定义表示函数 $f_r(n)$ 为方程 $n = w + m^r$ 的解 $(w, m^r) \in W \times S_r$ 的个数。
• 若 $W$ 是加性补集，则显然有 $\sum_{n \le N} f_r(n) \ge N$（因为每个 $n$ 至少有一个表示）。

核心问题：
文章主要关注两个由 Erdős、Ruzsa 和 Cilleruelo 提出的著名问题：

1. Ben Green 问题 (2017)： 是否存在一个加性补集 $W$，使得其计数函数 $W(N)$ 渐近于 $\frac{4}{\pi}\sqrt{N}$（即 $w_n \sim \frac{\pi^2}{16}n^2$）？
2. Ruzsa/Cilleruelo 问题 (2001/1993)： 平方数集合是否存在一个“平均精确”的加性补集？即是否存在 $W$ 使得 $\sum_{n \le N} f(n) \sim N$？

Cilleruelo 曾猜想：对于任何 $r$ 次幂的加性补集 $W$，都有 $\sum_{n \le N} f_r(n) - N \gg N$（即偏差至少是线性的）。如果该猜想成立，则上述两个问题均是否定的（即不存在满足特定渐近行为的“稀疏”补集）。

2. 主要贡献与结果

文章通过新的方法证明了 Cilleruelo 猜想在更广泛情况下的部分成立，并显著改进了已知界限。

定理 1：一般 $r$ 次幂的下界推广

• 内容： 设 $S \subset \mathbb{N}$ 满足 $S(x) \sim c_r x^{1/r}$。对于 $S$ 的任意加性补集 $W$，有：
  $$\sum_{n \le N} f_{S,W}(n) - N \gg_{r, c_r} N^{1 - 1/r}$$
• 意义：
  • 此前该下界仅在 $r=2$（平方数）时被证明（由 Ding, Sun, Wang, Xia 等人证明）。
  • 本文首次将这一结果推广到任意 $r \ge 2$。
  • 该结果表明，$\sum f_r(n)$ 与 $N$ 的偏差至少是 $N^{1-1/r}$ 量级，这否定了存在“平均精确”补集（即偏差为 $o(N)$）的可能性，因为 $1-1/r > 0$。

定理 2：平方数 ($r=2$) 的精细对数改进

• 内容： 针对 $r=2$ 的情况，利用平方数的算术特性，作者得到了更强的下界：
  $$\sum_{n \le N} f(n) - N \gg N^{1/2} (\log N)^{1 - \frac{1+\log \log 2}{\log 2}} (\log \log N)^{3/2}$$
• 意义：
  • 之前的最好结果是 $0.193 N^{1/2}$。
  • 本文在 $N^{1/2}$ 的基础上增加了一个对数因子 $(\log N)^\delta$（其中 $\delta \approx 0.086$），这是对现有界限的显著改进。
  • 该证明依赖于 Ford 关于乘法表问题（multiplicative table problem）的深刻结果（引理 1）。

定理 3：问题 1 与问题 2 的等价性

• 内容： 证明了如果存在一个“平均精确”的平方数加性补集 $W$（即 $\sum f(n) \sim N$），那么必然有 $W(N) \sim \frac{4}{\pi}\sqrt{N}$。
• 意义： 这表明 Ben Green 的问题（是否存在满足特定渐近增长的补集）与 Ruzsa 的问题（是否存在平均精确补集）在本质上是同一个问题。如果 Cilleruelo 的猜想成立（即偏差总是很大），那么这两个问题的答案都是否定的。

3. 方法论与技术细节

文章的核心证明策略基于区间分割和Abel 求和公式，结合反证法思想。

1. 区间分割 (Interval Partitioning)：

   • 将区间 $[1, N]$ 分割成 $K$ 个子区间。
   • 定义 $W_k$ 和 $S_k$ 分别为 $W$ 和 $S$ 在第 $k$ 个子区间内的元素。
   • 利用 $W$ 是补集的性质，推导出 $W$ 和 $S$ 在这些子区间内元素个数的下界。

2. 差集分析 (Difference Set Analysis)：

   • 考虑差值 $d = w - s$。如果 $w \in W_k, s \in S_k$，则 $d$ 落在某个特定范围内。
   • 利用 Abel 求和公式计算所有可能的差值对 $(w, s)$ 的总数。
   • 关键步骤：如果某个差值 $d$ 被多对 $(w, s)$ 表示（即 $\ell_d \ge 2$），则可以通过构造 $w_i + s_j = w_j + s_i$ 来产生 $N$ 以内的整数 $n$ 的多个表示。

3. 计数与不等式推导：

   • 通过计算重复表示的数量，建立 $\sum f(n)$ 与 $\sum \ell_d$ 之间的关系。
   • 利用 $S(x)$ 的渐近性质和 $W$ 作为补集的下界，导出 $\sum f(n) - N$ 必须足够大，否则会导致矛盾（即无法覆盖所有大整数或表示数不足）。

4. 针对 $r=2$ 的特殊处理 (Theorem 2)：

   • 为了获得对数改进，作者区分了两种情况：
     • 情况 I： 第一个区间内 $W$ 的元素足够多，直接导出下界。
     • 情况 II： 第一个区间元素较少，利用后续区间的累积效应。
   • 在情况 II 的子情况中，利用 Ford 关于乘法表 $L(x)$ 的估计（即 $x$ 以内能表示为 $m_1 m_2$ 的数的个数），来处理 $w_i = n^* - m_i^2$ 这种结构产生的重叠表示。这是引入 $(\log N)^\delta$ 因子的关键。

4. 结论与意义

• 理论突破： 文章成功将 Cilleruelo 关于平方数补集偏差的下界结果推广到了任意 $r$ 次幂，解决了长期存在的 $r \ge 3$ 情形下的技术障碍。
• 界限优化： 对于 $r=2$ 的情形，通过结合乘法表问题的最新进展，将下界中的常数因子优化为包含对数增长的形式，这是目前该领域的最好结果。
• 问题澄清： 通过定理 3，文章理清了 Ben Green 问题与 Ruzsa 问题之间的逻辑联系，表明解决其中一个将直接解决另一个。
• 否定猜想： 虽然文章没有完全证明 Cilleruelo 的原始猜想（即偏差 $\gg N$），但证明了偏差至少是 $N^{1-1/r}$，这对于 $r \ge 2$ 来说已经是一个非平凡的下界，有力地支持了“不存在平均精确补集”的观点。

综上所述，该论文在加性数论领域，特别是关于幂次集合的加性补集结构方面，做出了重要的理论推进，结合了组合分析、渐近分析和解析数论中的深刻结果。