Torelli loci, product cycles, and the homomorphism conjecture for $\mathcal{A}_g$

1. Il Problema e il Contesto

Il lavoro si concentra sulla struttura dell'anello tautologico $R^*(A_g)$ dello spazio di moduli $A_g$ delle varietà abeliane principalmente polarizzate di dimensione $g$.

• L'anello tautologico: È il sottoringo dell'anello di Chow $CH^*(A_g)$ generato dalle classi di Chern del fibrato di Hodge ($\lambda_i$).
• La proiezione tautologica: In [9] è stato costruito un operatore di proiezione lineare $\mathbb{Q}$-lineare $\text{taut}: CH^*(A_g) \to R^*(A_g)$.
• La Congettura: Il problema centrale è determinare se questa proiezione sia un omomorfismo di algebre, ovvero se valga l'uguaglianza:
  $$\text{taut}(\alpha \cdot \beta) = \text{taut}(\alpha) \cdot \text{taut}(\beta)$$
  per ogni coppia di cicli $\alpha, \beta \in CH^*(A_g)$. Se ciò fosse vero, la proiezione preserverebbe la struttura moltiplicativa, semplificando drasticamente lo studio della coomologia di $A_g$.

Il documento si concentra specificamente sul caso in cui uno dei due cicli è la classe di Torelli $[J_g]$ (l'immagine dello spazio di moduli delle curve di tipo compatto $M_g^{ct}$ tramite la mappa di Torelli) e l'altro è un ciclo prodotto $[A_{g_1} \times \dots \times A_{g_k}]$ (varietà abeliane che si decompongono in prodotti).

2. Metodologia

Gli autori utilizzano due approcci indipendenti e complementari per calcolare il pullback della mappa di Torelli sui cicli prodotto, ovvero $Tor^*([A_{g_1} \times \dots \times A_{g_k}]) \in CH^*(M_g^{ct})$.

A. Geometria dell'Intersezione Eccessiva (Approccio Diretto)

• Struttura del Prodotto Fibra: Studiano il prodotto fibra $Z = M_g^{ct} \times_{A_g} (A_{g_1} \times \dots \times A_{g_k})$.
• Stratificazione: Dimostrano che $Z$ ammette una stratificazione naturale indotta da alberi stabili "g-colorati" (Theorem 4). Le componenti irriducibili corrispondono ad alberi senza vertici di genere 0, mentre le intersezioni corrispondono ad alberi con vertici di genere 0.
• Calcolo: Utilizzano la teoria dell'intersezione eccessiva (excess intersection theory) su queste strati. Un risultato chiave è la ridottezza del prodotto fibra $Z$ (prova di Drakengren), che permette di scrivere equazioni locali e calcolare esplicitamente le classi di intersezione in termini di classi tautologiche su $M_g^{ct}$.
• Implementazione: I calcoli sono stati eseguiti utilizzando il pacchetto software TorelliTrees.jl e admcycles.

B. Wall-Crossing e Teoria di Gromov-Witten (Approccio Indiretto)

• Riformulazione: Riformulano la geometria in termini di spazi di moduli di mappe stabili non ramificate verso le fibre del fibrato universale $\pi_r: X_r \to A_r$.
• Isomorfismo: Stabiliscono un isomorfismo tra il prodotto fibra e lo spazio di mappe stabili $M_g^{ct}(\pi_r)$ che rappresentano la classe minima $\beta_{min}$.
• Formula di Wall-Crossing: Applicano una formula di "wall-crossing" (cambiamento di parete) che relaziona le classi fondamentali virtuali delle mappe stabili a quelle delle mappe non ramificate. Questo permette di esprimere la classe di intersezione come una somma su grafi "a stella" (star-shaped graphs) di contributi calcolabili tramite classi tautologiche su spazi di moduli di curve.
• Vantaggio: Questo approccio trasforma il problema geometrico complesso in un calcolo combinatorio su grafi e classi $\psi$, $\lambda$ e $\kappa$.

3. Contributi Chiave e Risultati Principali

Verifica della Proprietà di Omomorfismo

Gli autori verificano computazionalmente e teoricamente la congettura di omomorfismo per nuove coppie di cicli:

1. Caso $A_2 \times A_{g-2}$: Dimostrano che la proprietà di omomorfismo vale per la coppia $([J_g], [A_2 \times A_{g-2}])$ per tutti i $g$ tali che $2 \le g \le 8$ (Teorema 7).
2. Caso $A_3 \times A_3 \to A_6$: Verificano la proprietà per la coppia $([J_6], [A_3 \times A_3])$.
3. Vanishing: Dimostrano che per partizioni di $g$ che non rientrano nei casi critici (es. $A_3 \times A_{g-3}$ per $g \ge 7$), il prodotto tra la classe di Torelli e il ciclo prodotto è nullo, coerentemente con le previsioni dimensionali.

Proiezioni Tautologiche su Prodotti Fibra

• Introducono nuove proiezioni tautologiche sui prodotti fibra $X_g^s \to A_g$ dell'universale famiglia.
• Teorema 12: Calcolano esplicitamente la proiezione tautologica del ciclo del "luogo prodotto generalizzato" $[PR_{g,s}]$ come un determinante che coinvolge le classi theta universali ($\theta_i$) e le classi di Poincaré ($\eta_{ij}$).
  $$\text{taut}_s([PR_{g,s}]) = \frac{g}{6\kappa_{g,s}|B_{2g}|} \det(\dots) \cdot \lambda_{g-1}$$

Nuclei di Gorenstein e Cicli Non Tautologici

• Costruzione di Nuovi Elementi: Utilizzando i pullback di Abel-Jacobi dei cicli prodotto generalizzati, costruiscono una nuova famiglia di classi $\Delta_{g,s}$ che si ipotizza appartengano al nucleo di Gorenstein $K_{g,n}$ dell'anello tautologico $R^*(M_{g,n}^{ct})$.
• Risultati Specifici:
  • Dimostrano che $\Delta_{5,1}$ genera il nucleo 1-dimensionale di $R^*(M_{5,2}^{ct})$ (Teorema 10').
  • Dimostrano che $\Delta_{4,2}$ è un elemento non banale nel nucleo di $R^*(M_{4,4}^{ct})$.
  • Confermano che le classi $[PR_{5,1}]$ e $[PR_{4,2}]$ non sono tautologiche, fornendo nuovi esempi di classi non tautologiche in $CH^*(X_g^s)$.

4. Significato e Implicazioni

1. Supporto alla Congettura di Omomorfismo: I risultati forniscono forti evidenze a sostegno della congettura che la proiezione tautologica $\text{taut}$ sia un omomorfismo di algebre su $A_g$, almeno per cicli speciali (Torelli e prodotti). Questo suggerisce una profonda connessione tra la geometria delle curve e quella delle varietà abeliane.
2. Nuovi Strumenti Computazionali: Lo sviluppo di due metodologie indipendenti (intersezione eccessiva su alberi e wall-crossing su mappe non ramificate) offre nuovi strumenti potenti per lo studio degli spazi di moduli di varietà abeliane e delle loro intersezioni.
3. Comprensione dei Nuclei di Gorenstein: La costruzione di elementi espliciti nei nuclei di Gorenstein di $R^*(M_{g,n}^{ct})$ aiuta a comprendere la struttura non perfetta della forma di accoppiamento $\lambda_g$ su questi anelli, un problema aperto nella teoria degli spazi di moduli di curve.
4. Connessione con la Teoria di Gromov-Witten: Il lavoro collega in modo non banale la geometria delle varietà abeliane alla teoria di Gromov-Witten delle mappe non ramificate, mostrando come tecniche avanzate di teoria delle stringhe possano risolvere problemi classici di geometria algebrica.

In sintesi, il paper rappresenta un avanzamento significativo nella comprensione della struttura algebrica degli spazi di moduli abeliani, fornendo calcoli espliciti che validano congetture profonde e aprendo nuove direzioni di ricerca sui cicli non tautologici.