Torelli loci, product cycles, and the homomorphism conjecture for $\mathcal{A}_g$

Titel en Context

Titel: Torelli Loci, Product Cycles, and the Homomorphism Conjecture for $A_g$
Auteurs: Samir Canning, Lycka Drakengren, Jeremy Feusi, Daniel Holmes, Aitor Iribar López, Denis Nesterov, Dragos Oprea, Rahul Pandharipande, Johannes Schmitt, en Zheming Sun.
Onderwerp: De studie van de tautologische ring van de moduli-ruimte van gepolariseerde abelse variëteiten ($A_g$) en de relatie tussen de Torelli-afbeelding en productcycli.

---

1. Het Probleem

De kern van dit onderzoek ligt in de structuur van de Chow-ring $CH^*(A_g)$ van de moduli-ruimte $A_g$ van principally polarized abelian varieties (ppav) van dimensie $g$.

• Tautologische Ring: De tautologische ring $R^*(A_g) \subset CH^*(A_g)$ wordt gegenereerd door de Chern-classes van het Hodge-bundel ($\lambda_i$).
• Tautologische Projectie: Er bestaat een canonieke $\mathbb{Q}$-lineaire projectie-operator $\text{taut}: CH^*(A_g) \to R^*(A_g)$, geconstrueerd in eerdere werken [9].
• De Homomorfisme-eigenschap: De centrale vraag is of deze projectie een algebra-homomorfisme is. Dat wil zeggen, geldt voor twee cycli $\alpha, \beta \in CH^*(A_g)$:
  $$\text{taut}(\alpha \cdot \beta) = \text{taut}(\alpha) \cdot \text{taut}(\beta)?$$
  Als dit waar is, zou de tautologische ring een veel sterkere algebraïsche structuur hebben. Het is bekend dat dit geldt als een van de cycli al tautologisch is, maar het falen van deze eigenschap zou betekenen dat er "niet-tautologische" interacties zijn die de structuur van de ring beïnvloeden.

Het artikel focust specifiek op paren bestaande uit de Torelli-cyclus $[J_g]$ (de pushforward van de moduli-ruimte van krommen van compact type $M_g^{ct}$ via de Torelli-afbeelding) en productcycli $[A_{g_1} \times \dots \times A_{g_k}]$.

---

2. Methodologie

De auteurs gebruiken twee onafhankelijke en complementaire methoden om de pullback van productcycli onder de Torelli-afbeelding te berekenen:
$$\text{Tor}^*([A_{g_1} \times \dots \times A_{g_k}]) \in CH^*(M_g^{ct})$$
Deze berekening is cruciaal om de homomorfisme-eigenschap te testen.

A. Excess Intersection Geometry (Fiber Product)

• Benadering: Directe studie van de geometrie van het fiber product van de Torelli-afbeelding en de product-afbeelding.
• Stratificatie: Het fiber product wordt geanalyseerd via stratificatie door "g-gekleurde extremale bomen" (stabiele bomen met toewijzingen van genus en kleur aan knopen).
• Resultaat: Een grafische somformule (Theorema 5) die de pullback uitdrukt als een som over deze bomen, waarbij elke term een tautologische klasse is die recursief wordt berekend via excess intersection theorie.
• Techniek: Het gebruik van lokale vergelijkingen voor het fiber product (bewezen door Drakengren [17] dat het een gereduceerde stack is) maakt het mogelijk om de pullback te berekenen via de normale bundels van de strata.

B. Wall-Crossing en Families Gromov-Witten Theorie

• Benadering: Herformulering van de geometrie in termen van stabiele afbeeldingen naar families van abelse variëteiten.
• Isomorfisme: Er wordt een isomorfisme geïdentificeerd tussen het fiber product en de moduli-ruimte van stabiele afbeeldingen naar de universele familie $\pi_r: X_r \to A_r$ in de minimale homologieklasse.
• Wall-Crossing Formule: De auteurs gebruiken een wall-crossing formule (gebaseerd op [51, 52]) die de virtuele fundamentele klasse van stabiele afbeeldingen relateert aan die van onvertakte afbeeldingen (unramified maps).
• Implementatie: Voor $r=2$ (producten $A_2 \times A_{g-2}$) worden de moduli-ruimtes van onvertakte afbeeldingen beschreven als iteratieve opblazingen van moduli-ruimtes van krommen. Dit maakt een expliciete berekening mogelijk met behulp van de software admcycles.

---

3. Belangrijkste Bijdragen en Resultaten

A. Verificatie van de Homomorfisme-eigenschap

De auteurs hebben de homomorfisme-eigenschap voor paren $([J_g], [A_{g_1} \times \dots \times A_{g_k}])$ geverifieerd in nieuwe gevallen waar de codimensie het probleem niet triviaal maakt:

1. $A_2 \times A_{g-2}$: De eigenschap geldt voor alle $2 \le g \le 8$.
2. $A_3 \times A_3$ in $A_6$: De eigenschap geldt voor dit specifieke geval.

• Conclusie: De berekeningen suggereren sterk dat de homomorfisme-eigenschap over het algemeen waar is.

B. Nieuwe Berekeningen van Torelli Pullbacks

• De auteurs hebben expliciete formules afgeleid voor $\text{Tor}^*([A_2 \times A_{g-2}])$ in termen van tautologische klassen op $M_g^{ct}$.
• Ze tonen aan dat voor bepaalde partities (bijv. $A_3 \times A_{g-3}$ voor $g \ge 7$) de pullback verdwijnt ($0$), wat leidt tot verdwijning van de intersectie met de Torelli-cyclus in $A_g$.

C. Gorenstein Kernen en Abel-Jacobi Pullbacks

• Gorenstein Kernel: De kern van de $\lambda_g$-pairing op de tautologische ring van moduli-ruimtes van krommen ($R^*(M_{g,n}^{ct})$) is een belangrijk object.
• Nieuwe Klassen: De auteurs definiëren nieuwe klassen via Abel-Jacobi pullbacks van "generalized product loci" ($PR_{g,s}$) op de universele fiber producten $X_g^s$.
• Constructie: Ze construeren een familie klassen $\Delta_{g,s}$ die vermoedelijk in de Gorenstein-kern liggen.
• Resultaat: Ze bewijzen dat deze klassen niet-triviale elementen zijn in de kernen van $R^*(M_{5,2}^{ct})$ en $R^*(M_{4,4}^{ct})$. Dit bevestigt eerdere conjectures en biedt een nieuwe manier om de structuur van deze kernen te begrijpen.

D. De Conjecture

Op basis van de berekeningen formuleren de auteurs Conjecture 8:

De $\mathbb{Q}$-lineaire map $\text{taut}: CH^*(A_g) \to R^*(A_g)$ is een homomorfisme van $\mathbb{Q}$-algebra's.

Dit zou betekenen dat de tautologische ring de volledige algebraïsche structuur van de Chow-ring "vasthoudt" via projectie.

---

4. Significatie

1. Fundamentele Structuur van $A_g$: Als de conjecture waar is, zou dit een diep inzicht geven in de relatie tussen de meetkunde van abelse variëteiten en hun moduli-ruimte. Het impliceert dat de "niet-tautologische" delen van de Chow-ring geen interactie hebben met de tautologische ring via vermenigvuldiging.
2. Technologische Vooruitgang: Het artikel demonstreert de kracht van het combineren van klassieke intersectietheorie (excess intersection) met moderne Gromov-Witten technieken (wall-crossing, onvertakte afbeeldingen).
3. Software en Berekeningen: De resultaten zijn grotendeels gebaseerd op geavanceerde computerberekeningen met admcycles, wat de complexiteit van de tautologische ringen voor hogere genus benadrukt.
4. Verbinding met Krommen: De resultaten verbinden de geometrie van $A_g$ direct met de structuur van de tautologische ring van moduli-ruimtes van krommen ($M_g^{ct}$), met name via de Torelli-afbeelding en de Gorenstein-kernen.

Samenvatting

Dit artikel levert een grondig bewijs en sterke numerieke evidentie dat de tautologische projectie op de moduli-ruimte van abelse variëteiten een algebra-homomorfisme is. Door twee krachtige methoden te combineren, berekenen de auteurs de interactie tussen Torelli-cycli en productcycli, wat leidt tot nieuwe inzichten in de Gorenstein-kernen van moduli-ruimtes van krommen en een versterkte conjecture voor de algemene structuur van de Chow-ring van $A_g$.