Torelli loci, product cycles, and the homomorphism conjecture for $\mathcal{A}_g$

Resumo Técnico: Lócus de Torelli, Ciclos de Produto e a Conjectura do Homomorfismo para $A_g$

1. Problema e Contexto

O artigo investiga a estrutura da álgebra tautológica $R^*(A_g)$ do anel de Chow do espaço de módulos de variedades abelianas principalmente polarizadas de dimensão $g$, denotado por $A_g$.

• Definição: $R^*(A_g)$ é a subálgebra de $CH^*(A_g)$ gerada pelas classes de Chern do fibrado de Hodge ($\lambda_i$).
• O Operador de Projeção: Em trabalhos anteriores ([9]), foi construído um operador de projeção linear $\mathbb{Q}$-linear:
  $$\text{taut}: CH^*(A_g) \to R^*(A_g)$$
  que projeta qualquer classe de Chow na sua componente tautológica.
• A Conjectura Central: O problema principal é determinar se este operador é um homomorfismo de álgebras. Ou seja, para quaisquer classes $\alpha, \beta \in CH^*(A_g)$, vale a igualdade:
  $$\text{taut}(\alpha \cdot \beta) = \text{taut}(\alpha) \cdot \text{taut}(\beta) ?$$
  Sabe-se que a propriedade vale se pelo menos uma das classes for tautológica. A questão não trivial surge quando ambas as classes são não-tautológicas.

O foco deste trabalho é testar essa propriedade para pares formados pelo ciclo de Torelli $[J_g]$ (a imagem do espaço de curvas de tipo compacto $M_g^{ct}$ sob o morfismo de Torelli) e ciclos de produto $[A_{g_1} \times \dots \times A_{g_k}]$ (variedades abelianas que se decompõem em produtos).

2. Metodologia

Os autores utilizam duas abordagens independentes e complementares para calcular o pullback do ciclo de produto através do morfismo de Torelli:
$$\text{Tor}^*([A_{g_1} \times \dots \times A_{g_k}]) \in CH^*(M_g^{ct})$$
A verificação da propriedade do homomorfismo depende da comparação entre o pullback do produto e o produto dos pullbacks (ou projeções).

Abordagem 1: Geometria de Interseção Excessiva (Fiber Products)

• Analisa-se o produto fibrado $Z = M_g^{ct} \times_{A_g} (A_{g_1} \times \dots \times A_{g_k})$.
• O espaço $Z$ parametriza curvas de tipo compacto cujos jacobianos se decompõem em produtos.
• Utiliza-se a teoria de interseção excessiva para calcular a classe fundamental do pullback.
• Teorema Chave (Teorema 4): O espaço $Z$ admite uma estratificação indexada por árvores estáveis coloridas ($g$-colored extremal trees), onde os vértices representam componentes de curvas e as cores indicam a decomposição em fatores do produto.
• A classe é expressa como uma soma sobre essas árvores, envolvendo classes tautológicas nos espaços de módulos das componentes.
• A prova da reduzibilidade do produto fibrado (Drakengren [17]) é crucial para escrever equações locais e aplicar a teoria de interseção.

Abordagem 2: "Wall-Crossing" e Teoria de Gromov-Witten

• Recorre-se à teoria de mapas estáveis e não ramificados (unramified maps) para famílias de variedades abelianas.
• Estabelece-se uma isomorfismo entre o produto fibrado e um espaço de módulos de mapas estáveis para fibras de um fibrado universal $\pi_r: X_r \to A_r$.
• Aplica-se uma fórmula de "wall-crossing" (relacionando mapas estáveis e não ramificados) para calcular a classe virtual reduzida.
• Para casos específicos ($r=2$), os espaços de mapas não ramificados são descritos como blow-ups iterados de espaços de módulos de curvas ($M_{g,n}$), permitindo o cálculo explícito das classes excepcionais.
• Esta abordagem conecta a geometria de $A_g$ à teoria de Gromov-Witten de curvas.

Implementação Computacional:

• Ambos os métodos foram implementados nos pacotes de software admcycles (para cálculos no anel tautológico de curvas) e TorelliTrees.jl.
• Os cálculos foram realizados para dimensões $g$ pequenas (até $g=8$) devido à complexidade superexponencial.

3. Contribuições e Resultados Principais

A. Verificação da Propriedade do Homomorfismo
Os autores verificam computacionalmente que a propriedade do homomorfismo vale para novos casos não triviais:

• Teorema 7: A propriedade vale para os pares:
  • $([J_g], [A_2 \times A_{g-2}])$ em $A_g$ para $2 \leq g \leq 8$.
  • $([J_6], [A_3 \times A_3])$ em $A_6$.
• Conjectura 8: Com base nesses resultados, os autores conjecturam que o operador $\text{taut}$ é um homomorfismo de álgebras para todas as classes em $CH^*(A_g)$.
• Vanishing (Anulação): Para partições que não se enquadram nos casos críticos (onde a codimensão é baixa), o pullback de Torelli de ciclos de produto é zero, o que trivializa a verificação da propriedade do homomorfismo nesses casos.

B. Projeções Tautológicas em Produtos Fibrados Universais

• Introduzem novos ciclos de produto generalizados $PR_{g,s}$ no espaço de produtos fibrados universais $X_g^s \to A_g$.
• Teorema 12: Calculam explicitamente a projeção tautológica de $[PR_{g,s}]$ como um determinante envolvendo divisores theta universais ($\theta_i$) e classes de Poincaré ($\eta_{ij}$).
  $$\text{taut}_s([PR_{g,s}]) \propto \det(\theta_i, \eta_{ij}) \cdot \lambda_{g-1}$$

C. Núcleos de Gorenstein e Curvas Estáveis

• Investigam o núcleo de Gorenstein $K_{g,n}$ do anel tautológico $R^*(M_{g,n}^{ct})$ (o núcleo do emparelhamento $\lambda_g$).
• Utilizam pullbacks de Abel-Jacobi dos ciclos de produto generalizados para construir novas classes no núcleo de Gorenstein.
• Teorema 10' e 48: Constroem classes não triviais no núcleo de Gorenstein para casos específicos, como $K_{5,2}$ e $K_{4,4}$.
  • A classe $aj^*(\Delta_{5,1})$ gera o núcleo unidimensional de $R^*(M_{5,2}^{ct})$.
• Espectulação 50: Propõem que os núcleos de Gorenstein são gerados inteiramente por essas classes construídas via pullbacks de Abel-Jacobi de ciclos de produto, fechados sob as operações de esquecimento e colagem de curvas.

4. Significado e Impacto

1. Avanço na Estrutura de $A_g$: O trabalho fornece evidências robustas para a conjectura de que a projeção tautológica preserva a estrutura multiplicativa, o que simplificaria drasticamente a compreensão da geometria de interseção em espaços de módulos de variedades abelianas.
2. Conexão entre Geometrias: Estabelece uma ponte profunda entre a geometria de variedades abelianas (via morfismo de Torelli) e a teoria de curvas (via espaços de módulos $M_g^{ct}$ e teoria de Gromov-Witten), utilizando ferramentas de "wall-crossing" e interseção excessiva.
3. Novas Classes Não-Tautológicas: Demonstra a existência de classes não-tautológicas em $CH^*(X_g^s)$ e constrói explicitamente elementos no núcleo de Gorenstein de anéis tautológicos de curvas, resolvendo questões abertas sobre a estrutura de $R^*(M_{g,n}^{ct})$.
4. Ferramentas Computacionais: A implementação dos algoritmos de interseção excessiva e "wall-crossing" em admcycles e TorelliTrees.jl fornece recursos essenciais para futuras investigações em geometria algébrica de dimensões superiores.

Em suma, o artigo avança significativamente a compreensão da relação entre ciclos geométricos naturais em $A_g$ e a álgebra tautológica, sugerindo uma estrutura de homomorfismo universal e fornecendo uma nova família de geradores para os núcleos de Gorenstein nos espaços de curvas.