Torelli loci, product cycles, and the homomorphism conjecture for $\mathcal{A}_g$

Aquí presento un resumen técnico detallado del artículo "Torelli Loci, Product Cycles, and the Homomorphism Conjecture for $A_g$", escrito por Samir Canning, Lycka Drakengren, Jeremy Feusi, Daniel Holmes, Aitor Iribar López, Denis Nesterov, Dragoș Oprea, Rahul Pandharipande, Johannes Schmitt y Zheming Sun.

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1. Introducción y Planteamiento del Problema

El artículo aborda problemas fundamentales en la geometría algebraica relacionados con el espacio de móduli de variedades abelianas principalmente polarizadas, denotado como $A_g$. El foco central es la estructura del anillo tautológico $R^*(A_g) \subset CH^*(A_g)$, generado por las clases de Chern del haz de Hodge ($\lambda_i$).

El Problema Principal:
Se estudia la propiedad de homomorfismo de la proyección tautológica $\text{taut}: CH^*(A_g) \to R^*(A_g)$. Esta proyección, construida previamente en [9], es un operador lineal sobre $\mathbb{Q}$ que descompone cualquier clase de Chow en una parte tautológica y una parte no tautológica. La conjetura central es si esta proyección preserva la estructura multiplicativa del anillo de Chow, es decir, si para dos clases $\alpha, \beta \in CH^*(A_g)$ se cumple:
$$\text{taut}(\alpha \cdot \beta) = \text{taut}(\alpha) \cdot \text{taut}(\beta)$$
Si esto es cierto, la proyección sería un homomorfismo de álgebras.

Ciclos Específicos de Estudio:
Los autores se centran en pares de ciclos geométricos específicos:

1. Ciclo de Torelli ($[J_g]$): La imagen del morfismo de Torelli desde el espacio de móduli de curvas de tipo compacto $M_g^{ct}$ hacia $A_g$.
2. Ciclos de Producto ($[A_{g_1} \times \dots \times A_{g_k}]$): Loci de variedades abelianas que se descomponen como productos de variedades de menor dimensión.

El objetivo es verificar si la propiedad de homomorfismo se cumple para pares de la forma $([J_g], [A_{g_1} \times \dots \times A_{g_k}])$.

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2. Metodología

Los autores emplean dos enfoques independientes y complementarios para calcular la pullback (trazada inversa) del ciclo de producto bajo el morfismo de Torelli:
$$\text{Tor}^*([A_{g_1} \times \dots \times A_{g_k}]) \in CH^*(M_g^{ct})$$

A. Enfoque de Intersección Excesiva (Secciones 2 y 3)

• Geometría del Producto Fibra: Se estudia el producto fibra $Z = M_g^{ct} \times_{A_g} (A_{g_1} \times \dots \times A_{g_k})$.
• Estructura de Árbol: Se demuestra que $Z$ admite una estratificación indexada por árboles extremos coloreados (g-colored extremal trees). Estos árboles codifican cómo las componentes de una curva de tipo compacto se descomponen en Jacobianas que pertenecen a los factores del producto.
• Cálculo de Contribuciones: Utilizando la teoría de intersección excesiva, se calculan las contribuciones locales de cada estrato. Un resultado clave es la reducibilidad del producto fibra (demostrada por Drakengren), lo que permite escribir ecuaciones locales y calcular la clase de pullback como una suma sobre grafos de clases tautológicas en $M_g^{ct}$.
• Implementación Computacional: Se utiliza el paquete TorelliTrees.jl y el software admcycles para realizar los cálculos simbólicos en el anillo tautológico de curvas.

B. Enfoque de Cruce de Paredes (Wall-Crossing) (Sección 4)

• Teoría de Mapas Estables: Se reformula el problema geométrico en términos de clases de Gromov-Witten para familias de variedades abelianas.
• Mapas No Ramificados: Se introduce el espacio de mapas no ramificados a degeneraciones de Fulton-MacPherson de variedades abelianas.
• Fórmula de Cruce de Paredes: Se aplica una fórmula de cruce de paredes (establecida en [51, 52]) que relaciona las clases fundamentales virtuales de mapas estables con las de mapas no ramificados.
• Simplificación: Para dimensiones bajas ($r=2$), los espacios de mapas no ramificados se describen como blow-ups iterados de espacios de móduli de curvas, permitiendo el cálculo explícito de las contribuciones excepcionales.

C. Proyecciones Tautológicas en Productos Fibrados (Secciones 5 y 6)

• Se definen nuevas proyecciones tautológicas en productos fibrados universales $X_g^s \to A_g$.
• Se calculan explícitamente las proyecciones de loci de productos generalizados mediante determinantes que involucran divisores theta universales y clases de Poincaré.
• Se utilizan mapas de Abel-Jacobi para tirar hacia atrás estos ciclos desde $X_g^s$ hacia $M_{g,n}^{ct}$, generando nuevas clases en el anillo tautológico de curvas.

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3. Contribuciones Clave y Resultados

A. Verificación de la Propiedad de Homomorfismo

El resultado principal es la verificación de la propiedad de homomorfismo en casos nuevos y no triviales:

• Teorema 7: La propiedad de homomorfismo se cumple para los pares:
  • $([J_g], [A_2 \times A_{g-2}])$ en $A_g$ para todo $2 \leq g \leq 8$.
  • $([J_6], [A_3 \times A_3])$ en $A_6$.
• Vanishing (Anulación): Se demuestra que para particiones que no caen en los casos triviales o de baja dimensión (como $A_3 \times A_{g-3}$ para $g \geq 7$), la intersección $[J_g] \cdot [A_3 \times A_{g-3}]$ es cero. Esto se debe a que la pullback de Torelli de estos ciclos de producto se anula en el anillo tautológico de curvas debido a restricciones de dimensión.

B. Núcleos de Gorenstein y Conjeturas

• Nuevos Elementos en el Núcleo: Los autores construyen una nueva familia de clases utilizando pullbacks de Abel-Jacobi de ciclos de producto generalizados:
  $$\Delta_{g,s} = \text{aj}^*([PR_{g,s}] - \text{taut}_s([PR_{g,s}]))$$
• Teorema 48: Se demuestra que estas clases $\Delta_{g,s}$ pertenecen al núcleo de Gorenstein (el núcleo del emparejamiento $\lambda_g$) del anillo tautológico $R^*(M_{g,2s}^{ct})$.
  • Se verifica explícitamente que $\Delta_{5,1}$ genera el núcleo 1-dimensional en $R^*(M_{5,2}^{ct})$.
  • Se verifica que $\Delta_{4,2}$ es un elemento no trivial en el núcleo de $R^*(M_{4,4}^{ct})$.
• Conjetura 8: Los resultados apoyan fuertemente la conjetura de que la proyección $\text{taut}$ es un homomorfismo de álgebras para todos los ciclos en $A_g$.
• Espección 50: Se propone que los núcleos de Gorenstein de todos los anillos tautológicos $R^*(M_{g,n}^{ct})$ están generados por estas clases $\Delta_{g,s}$ y sus imágenes bajo las operaciones de emparejamiento y pegado (gluing).

C. Fórmulas Explícitas

• Se proporciona una fórmula cerrada para la proyección tautológica de los loci de productos generalizados en $X_g^s$ (Teorema 12), expresada como un determinante de clases $\theta_i$ y $\eta_{ij}$.
• Se establecen identidades para integrales de Hodge que son equivalentes a la propiedad de homomorfismo.

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4. Significado e Impacto

1. Avance en la Estructura de $A_g$: El trabajo profundiza en la comprensión de la relación entre la geometría de curvas (vía el morfismo de Torelli) y la geometría de variedades abelianas. La verificación de la propiedad de homomorfismo sugiere que la estructura algebraica del anillo tautológico es más rígida y "natural" de lo que se pensaba.
2. Herramientas Computacionales y Teóricas: La combinación de la teoría de intersección excesiva con la fórmula de cruce de paredes para variedades abelianas representa un avance metodológico significativo. La implementación en admcycles permite cálculos que antes eran inaccesibles.
3. Conexión con la Teoría de Gromov-Witten: El uso de mapas no ramificados y degeneraciones de Fulton-MacPherson conecta la teoría de móduli de curvas con la teoría de Gromov-Witten de variedades abelianas, ofreciendo nuevas perspectivas sobre las clases fundamentales virtuales.
4. Núcleos de Gorenstein: La construcción de elementos explícitos en los núcleos de Gorenstein de $R^*(M_{g,n}^{ct})$ es crucial para entender la dualidad de estos anillos. La conjetura de que estas clases generan todo el núcleo abre una nueva vía de investigación sobre la estructura completa de los anillos tautológicos de curvas.
5. Homenaje a Carel Faber: El trabajo honra la labor de Carel Faber, quien fue pionero en la exploración computacional de estos anillos y estableció las bases para muchos de los cálculos de integrales de Hodge discutidos en el artículo.

En resumen, el artículo proporciona evidencia computacional y teórica sólida a favor de la conjetura de que la proyección tautológica es un homomorfismo, introduce nuevas clases geométricas que generan los núcleos de Gorenstein y establece un marco unificado para estudiar la interacción entre curvas y variedades abelianas mediante técnicas avanzadas de intersección y teoría de mapas.