Torelli loci, product cycles, and the homomorphism conjecture for $\mathcal{A}_g$

1. Problématique et Contexte

Le papier s'inscrit dans l'étude de la géométrie algébrique des variétés abéliennes, plus précisément de l'espace de modules $\mathcal{A}_g$ des variétés abéliennes principalement polarisées de dimension $g$.

• Le cadre : L'anneau de Chow $CH^*(\mathcal{A}_g)$ contient une sous-algèbre appelée anneau tautilogique $R^*(\mathcal{A}_g)$, générée par les classes de Chern du fibré de Hodge ($\lambda_i$).
• L'opérateur de projection : Une projection linéaire canonique $\text{taut} : CH^*(\mathcal{A}_g) \to R^*(\mathcal{A}_g)$ a été construite précédemment (réf [9]). Cette projection décompose tout cycle en une partie tautilogique et une partie non-tautilogique.
• La question centrale : La projection $\text{taut}$ est-elle un homomorphisme d'algèbres ? C'est-à-dire, pour tout couple de cycles $\alpha, \beta$, a-t-on l'égalité :
  $$\text{taut}(\alpha \cdot \beta) = \text{taut}(\alpha) \cdot \text{taut}(\beta)$$
  Cette propriété est triviale si l'un des cycles est déjà tautilogique, mais elle devient une obstruction profonde à la tautilogicité pour des cycles géométriques généraux.
• Les cycles étudiés : Les auteurs se concentrent sur les produits de la locus de Torelli $[J_g]$ (image de l'application de Torelli de l'espace des courbes de type compact $\mathcal{M}^{ct}_g$ vers $\mathcal{A}_g$) et les cycles produits $[\mathcal{A}_{g_1} \times \dots \times \mathcal{A}_{g_k}]$.

2. Méthodologie

Les auteurs adoptent deux approches indépendantes et complémentaires pour calculer le tiré en arrière (pullback) par l'application de Torelli des cycles produits, noté $\text{Tor}^*([\mathcal{A}_{g_1} \times \dots \times \mathcal{A}_{g_k}])$. La vérification de la propriété d'homomorphisme repose sur la comparaison de ce tiré en arrière avec le tiré en arrière de la projection tautilogique du cycle produit.

A. Approche par Intersection Excédentaire (Excess Intersection)

• Fibre produit : Ils étudient la structure du fibre produit $Z = \mathcal{M}^{ct}_g \times_{\mathcal{A}_g} (\mathcal{A}_{g_1} \times \dots \times \mathcal{A}_{g_k})$.
• Stratification : Le stack $Z$ est stratifié par des arbres stables "g-colorés" (arbres où les sommets de genre positif sont colorés par les indices $1, \dots, k$).
• Calculs locaux : En utilisant des équations locales pour $Z$ (démontrées réduites par Drakengren), ils appliquent la théorie de l'intersection excédentaire pour exprimer la classe du tiré en arrière comme une somme sur les arbres, impliquant des classes tautilogiques sur les strates de $\mathcal{M}^{ct}_g$.
• Implémentation : Ces calculs sont implémentés dans le package Julia TorelliTrees.jl et exécutés via le logiciel admcycles.

B. Approche par "Wall-Crossing" (Changement de Mur)

• Théorie de Gromov-Witten : Ils reformulent le problème géométrique en termes de classes de Gromov-Witten pour des familles de variétés abéliennes.
• Application de Torelli et cartes non ramifiées : Ils établissent un isomorphisme entre le fibre produit et un espace de modules de cartes stables vers les fibres d'une famille universelle $\pi_r : \mathcal{X}_r \to \mathcal{A}_r$.
• Formule de changement de mur : Ils utilisent une formule de wall-crossing (réf [51, 52]) reliant les classes fondamentales virtuelles des cartes stables à celles des cartes non ramifiées (unramified maps).
• Simplification : Pour $r=2$ (cas $\mathcal{A}_2 \times \mathcal{A}_{g-2}$), les espaces de cartes non ramifiées s'identifient à des éclatés itérés d'espaces de modules de courbes, permettant un calcul explicite des classes tautilogiques.

3. Contributions et Résultats Clés

A. Vérification de la Propriété d'Homomorphisme

Les auteurs vérifient la conjecture d'homomorphisme pour des paires spécifiques $([J_g], [\mathcal{A}_{g_1} \times \dots \times \mathcal{A}_{g_k}])$ :

• Cas confirmés :
  • $([\mathcal{J}_g], [\mathcal{A}_2 \times \mathcal{A}_{g-2}])$ pour $2 \le g \le 8$.
  • $([\mathcal{J}_6], [\mathcal{A}_3 \times \mathcal{A}_3])$ pour $g=6$.
• Résultat de nullité : Pour des partitions de $g$ ne rentrant pas dans les cas critiques (codimension trop élevée), le produit $[J_g] \cdot [\mathcal{A}_{g_1} \times \dots]$ s'annule, rendant la propriété d'homomorphisme trivialement vraie.
• Conjecture : Les résultats suggèrent fortement que la propriété d'homomorphisme est vraie pour tous les $g \ge 2$ dans le cas $[\mathcal{A}_2 \times \mathcal{A}_{g-2}]$.

B. Nouvelles Projections Tautilogiques sur les Produits Fibres

• Ils définissent de nouvelles projections tautilogiques sur le produit fibre $s$-fois $\mathcal{X}^s_g \to \mathcal{A}_g$.
• Théorème 12 : Ils calculent la projection tautilogique du lieu de produit généralisé $[PR_{g,s}]$ sous la forme d'un déterminant impliquant les diviseurs theta universels ($\theta_i$) et les classes de Poincaré ($\eta_{ij}$) :
  $$\text{taut}_s([PR_{g,s}]) = \frac{g}{6\kappa_{g,s}|B_{2g}|} \det(\dots) \cdot \lambda_{g-1}$$
  où le déterminant est une matrice $s \times s$ dont les termes diagonaux sont $\theta_i$ et les termes hors-diagonale sont $\eta_{ij}/2$.

C. Noyaux de Gorenstein et Classes d'Abel-Jacobi

• Construction de nouvelles classes : En utilisant les tirés en arrière par les applications d'Abel-Jacobi ($aj$) des cycles produits généralisés, ils construisent une famille de classes :
  $$\Delta_{g,s} = aj^*([PR_{g,s}] - \text{taut}_s([PR_{g,s}]))$$
• Résultat majeur : Ils prouvent que ces classes $\Delta_{g,s}$ appartiennent au noyau de Gorenstein $K_{g,n}$ de l'anneau tautilogique $R^*(\mathcal{M}^{ct}_{g,n})$ (c'est-à-dire qu'elles sont orthogonales à tout l'anneau via le produit scalaire $\lambda_g$).
• Exemples concrets :
  • $\Delta_{5,1}$ est un générateur du noyau de Gorenstein de $R^*(\mathcal{M}^{ct}_{5,2})$.
  • $\Delta_{4,2}$ est un élément non trivial du noyau de $R^*(\mathcal{M}^{ct}_{4,4})$.
• Conjecture 15 : Ils conjecturent que ces classes $\Delta_{g,s}$ (et leurs généralisations) génèrent l'ensemble des noyaux de Gorenstein pour tous les $(g,n)$.

4. Signification et Impact

1. Progression vers la Conjecture d'Homomorphisme : Ce travail fournit les preuves les plus solides à ce jour que la projection tautilogique $\text{taut}$ est un homomorphisme d'algèbres pour les cycles géométriques naturels sur $\mathcal{A}_g$. Si confirmé, cela impliquerait que la structure multiplicative de l'anneau de Chow est entièrement contrôlée par les classes tautilogiques pour ces cycles.
2. Compréhension des Noyaux de Gorenstein : La construction explicite de générateurs pour les noyaux de Gorenstein (qui mesurent l'échec de la dualité parfaite dans les anneaux tautilogiques des courbes) est une avancée majeure. Cela offre une description géométrique concrète de ces objets algébriques abstraits.
3. Méthodologie Unifiée : L'utilisation combinée de la géométrie d'intersection excédentaire et de la théorie de Gromov-Witten (wall-crossing) démontre la puissance de ces outils pour résoudre des problèmes de calculs de classes de Chow sur les espaces de modules complexes.
4. Outils Computations : Le développement de codes spécifiques (TorelliTrees.jl, utilisation de admcycles) ouvre la voie à des calculs systématiques de classes tautilogiques pour des genres plus élevés, bien que la complexité computationnelle reste un défi.

En résumé, ce papier établit un lien profond entre la géométrie des variétés abéliennes, la théorie des courbes et la structure algébrique de leurs anneaux de Chow, en proposant une vision unifiée où les cycles géométriques respectent une propriété d'homomorphisme forte et où les obstructions à la tautilogicité sont générées par des constructions d'Abel-Jacobi explicites.