On the stability of solutions to non-Newtonian Navier--Stokes--Fourier-like systems in the supercritical case

Sintesi Tecnica: Sulla stabilità delle soluzioni di sistemi di tipo Navier–Stokes–Fourier non newtoniani nel caso supercritico

Enunciato del problema
Il saggio investiga l'analisi matematica di un fluido non newtoniano, conduttore di calore, incomprimibile, omogeneo e tridimensionale. Il sistema è governato da un sistema Navier–Stokes–Fourier modificato che comprende l'equazione del momento, il vincolo di incomprimibilità e l'equazione del calore con un termine sorgente che rappresenta la dissipazione dell'energia cinetica. La relazione costitutiva per il tensore degli sforzi di Cauchy è generale, comprendendo modelli a legge di potenza e di Ladyzhenskaya con un esponente della legge di potenza $p$ nell'intervallo $p \in [8/5, 11/5)$. Questo intervallo è identificato come "supercritico", un regime in cui non si sa se valggano i risultati standard di regolarità, unicità ed uguaglianza dell'energia. Il problema è posto su un dominio Lipschitziano limitato $\Omega \subset \mathbb{R}^3$ con condizioni al contorno di non scivolamento (no-slip) per la velocità e temperatura prescritta non uniforme (Dirichlet) sul bordo. L'obiettivo primario è stabilire l'esistenza di soluzioni globali nel tempo per dati iniziali con energia arbitrariamente finita e dimostrare la stabilità non lineare dello stato stazionario unico $(0, \hat{\vartheta})$ per tempi che tendono all'infinito.

Metodologia e concetti innovativi
Gli autori affrontano la mancanza di regolarità nel regime supercritico introducendo un nuovo concetto di soluzione, denominata soluzione $b$-debole. Questa formulazione si discosta dalle classiche soluzioni deboli sostituendo l'uguaglianza dell'energia interna con una disuguaglianza entropica e, crucialmente, introducendo una disuguaglianza dell'energia totale corretta con $b$.

1. Disuguaglianza entropica: Invece dell'equazione del calore, la soluzione soddisfa una disuguaglianza entropica derivata dividendo l'equazione del calore per la temperatura $\vartheta$. Ciò utilizza la variabile entropica $\eta = \ln \vartheta$, che possiede proprietà di integrabilità migliori rispetto a $\vartheta$ stesso.
2. Funzione di correzione $\gamma$: Per gestire le condizioni al contorno Dirichlet non omogenee per la temperatura, che impediscono l'uso diretto delle classiche disuguaglianze dell'energia totale (a causa dei termini di flusso al contorno non controllabili), gli autori introducono una funzione di correzione $\gamma$, $b(\vartheta, \hat{\vartheta})$. Questa funzione permette la costruzione di un funzionale di energia modificato che tiene conto del flusso di calore attraverso il bordo.
3. Disuguaglianza dell'energia totale corretta con $b$: Moltiplicando l'equazione del calore per la funzione di correzione e combinandola con l'equazione del momento, gli autori derivano un bilancio di energia modificato. Questa disuguaglianza include un termine di correzione che coinvolge la primitiva di $b$, indicata con $B$, e assicura che l'energia totale (cinetica più termica, aggiustata da $B$) soddisfi una disuguaglianza differenziale adatta all'analisi di stabilità.
4. Dimostrazione dell'esistenza: L'esistenza delle soluzioni $b$-deboli è stabilita tramite approssimazioni di Faedo–Galerkin. Gli autori derivano stime a priori indipendenti dal parametro di approssimazione $n$, utilizzando la disuguaglianza dell'energia cinetica, la disuguaglianza entropica e la disuguaglianza dell'energia totale corretta con $b$. Il passaggio al limite si basa sulla monotonicità del tensore dello sforzo, sul metodo di troncamento Lipschitziano solenoidale per identificare il limite dello sforzo e su argomenti di compattezza (lemma di Aubin–Lions).
5. Analisi della stabilità: La stabilità dello stato stazionario è analizzata utilizzando un funzionale di Lyapunov $L_{\alpha, \beta}$, che misura la "distanza" tra la soluzione e lo stato stazionario. Questo funzionale incorpora le funzioni ausiliarie $H_\alpha$ e $G$ per gestire la conducibilità termica non costante. La prova prevede la rinormalizzazione della disuguaglianza entropica e la combinazione con la disuguaglianza dell'energia corretta con $b$ per derivare una disuguaglianza differenziale per il funzionale di Lyapunov, portando a stime di decadimento esponenziale.

Risultati chiave

• Teorema 1.3 (Esistenza globale): Per qualsiasi dato iniziale con energia finita ($v_0 \in L^2_{0,div}$, $\vartheta_0 \in L^1$) e temperatura al contorno $\hat{\vartheta}$ che soddisfi la regolarità standard, esiste una soluzione $b$-debole globale nel tempo. La soluzione soddisfa una stima globale uniforme in $L^\infty(0, +\infty; L^1(\Omega))$ per la temperatura. Notevolmente, questo risultato è valido per esponenti della legge di potenza $p > 6/5$, estendendo i risultati precedenti che erano limitati a $p > 9/5$ o richiedevano condizioni al contorno di Neumann.
• Teorema 1.4 (Stabilità non lineare): Lo stato stazionario unico $(0, \hat{\vartheta})$ è non linearmente stabile. Nello specifico:
  • Il campo di velocità decade esponenzialmente nel tempo: $\|v(\tau)\|_2^2 \leq e^{-\mu \tau} \|v(0)\|_2^2$ (con specifiche modifiche per dati iniziali grandi quando $p < 2$).
  • La soluzione completa (velocità e temperatura) converge allo stato stazionario nel senso del funzionale di Lyapunov $L_{\alpha, \beta}$. Per ogni insieme limitato di dati iniziali, esistono costanti $\mu, \beta > 0$, tali che il funzionale di Lyapunov decada esponenzialmente: $\int_\Omega L_{\alpha, \beta}(v(\tau), \vartheta(\tau), \hat{\vartheta}) dx \leq e^{-\mu(\tau-\sigma)} \int_\Omega L_{\alpha, \beta}(v(\sigma), \vartheta(\sigma), \hat{\vartheta}) dx$.

Significato e affermazioni
Il saggio sostiene di fornire il primo risultato che stabilisce simultaneamente l'esistenza di soluzioni globali nel tempo e la loro stabilità non lineare a lungo termine per questa specifica classe di fluidi non newtoniani, conduttori di calore, nel regime supercritico con condizioni al contorno Dirichlet non omogenee.

Gli autori sottolineano che i lavori precedenti su sistemi simili o assumevano l'esistenza di soluzioni regolari, o limitavano l'analisi a regimi subcritici dove valgono le classiche uguaglianze dell'energia, o si affidavano a risultati di unicità che non sono disponibili nel caso supercritico per fluidi a legge di potenza sottosforzo (shear-thinning). L'introduzione del concetto di soluzione $b$-debole è presentata come un avanzamento tecnico necessario per superare la mancanza di uguaglianza dell'energia e le sfide poste dalle condizioni al contorno. Il risultato di stabilità è descritto come un passo significativo in avanti, dimostrando che, nonostante la potenziale non unicità delle soluzioni deboli in questo regime, la classe di soluzioni $b$-deboli, fisicamente rilevante, esibisce un comportamento stabile a lungo termine convergendo verso l'unico equilibrio. L'analisi evita esplicitamente l'approssimazione di Oberbeck–Boussinesq, affrontando il pieno accoppiamento dove la dissipazione dell'energia cinetica agisce come sorgente nell'equazione del calore, una caratteristica che introduce difficoltà matematiche sostanziali rispetto ai modelli semplificati.