On the stability of solutions to non-Newtonian Navier--Stokes--Fourier-like systems in the supercritical case

技术摘要：超临界情形下非牛顿 Navier–Stokes–Fourier 类系统的解的稳定性研究

问题陈述
本文研究了一种三维、齐次、不可压缩、非牛顿热传导流体的数学分析。该系统由修正的 Navier–Stokes–Fourier 系统控制，包括动量方程、不可压缩约束以及包含动能耗散源项的热方程。柯西应力张量的本构关系是通用的，涵盖了幂律模型和 Ladyzhenskaya 模型，其幂律指数 $p$ 的范围为 $p \in [8/5, 11/5)$。该范围被确定为“超临界”状态，即在这一状态下，标准的正则性、唯一性和能量等式结果尚不明确。问题设定在有界 Lipschitz 区域 $\Omega \subset \mathbb{R}^3$ 上，具有速度无滑移边界条件和预设的非均匀温度（Dirichlet）边界条件。主要目标是建立对于任意有限能量初始数据的全局时间解的存在性，并证明随着时间趋于无穷，唯一的稳态 $(0, \hat{\vartheta})$ 的非线性稳定性。

方法论与新概念
作者通过引入一种被称为 $b$-弱解 的新颖解的概念，来解决超临界状态下缺乏正则性的问题。这种表述背离了经典的弱解，它通过引入熵不等式取代了内能等式，并且至关重要地引入了 $b$-修正的总能量不等式。

1. 熵不等式： 该方法不再使用热方程，而是通过将热方程除以温度 $\vartheta$ 来满足一个熵不等式。这利用了熵变量 $\eta = \ln \vartheta$，它比 $\vartheta$ 本身具有更好的可积性质。
2. $\gamma$-修正函数： 为了处理由于温度导致的非齐次 Dirichlet 边界条件（这会阻碍直接使用标准总能量不等式，因为存在不可控的边界通量项），作者引入了一个 $\gamma$-修正函数 $b(\vartheta, \hat{\vartheta})$。该函数允许构建一个修正后的能量泛函，以补偿通过边界的热通量。
3. $b$-修正的总能量不等式： 通过将热方程乘以修正函数，并结合动量方程，作者推导出了一个修正后的能量平衡。该不等式包含一个涉及 $b$ 的原函数的修正项 $B$，并确保总能量（动能加热能，经 $B$ 调整后）满足适用于稳定性分析的微分不等式。
4. 存在性证明： $b$-弱解的存在性是通过 Faedo–Galerkin 近似建立的。作者推导了独立于近似参数 $n$ 的先验估计，这些估计利用了动能不等式、熵不等式和 $b$-修正的总能量不等式。极限过程依赖于应力张量的单调性、用于识别应力极限的旋度 Lipschitz 截断法以及紧致性论证（Aubin–Lions 引理）。
5. 稳定性分析： 稳态的稳定性通过衡量解与稳态之间“距离”的 Lyapunov 泛函 $L_{\alpha, \beta}$ 进行分析。该泛函结合了辅助函数 $H_\alpha$ 和 $G$，以处理非恒定的热导率。通过对熵不等式进行重整化，并结合 $b$-修正能量不等式，作者推导出了关于 Lyapunov 泛函的微分不等式，从而得出指数衰减估计。

核心结果

• 定理 1.3（全局存在性）： 对于任何具有有限能量（$v_0 \in L^2_{0,div}$, $\vartheta_0 \in L^1$）且边界温度 $\hat{\vartheta}$ 满足标准正则性的初始数据，存在全局时间 $b$-弱解。该解在温度方面满足一致的全局估计 $L^\infty(0, +\infty; L^1(\Omega))$。值得注意的是，这一结果对于幂律指数 $p > 6/5$ 均成立，扩展了此前受限于 $p > 9/5$ 或要求 Neumann 边界条件的结论。
• 定理 1.4（非线性稳定性）： 唯一的稳态 $(0, \hat{\vartheta})$ 是非线性稳定的。具体而言：
  • 速度场随时间呈指数衰减：$\|v(\tau)\|_2^2 \leq e^{-\mu \tau} \|v(0)\|_2^2$（对于 $p < 2$ 的情况，针对大初始数据进行了特定修改）。
  • 全解（速度与温度）在 Lyapunov 泛函的意义下收敛于稳态。对于任何有界初始数据集，存在常数 $\mu, \beta > 0$，使得 Lyapunov 泛函呈指数衰减：$\int_\Omega L_{\alpha, \beta}(v(\tau), \vartheta(\tau), \hat{\vartheta}) dx \leq e^{-\mu(\tau-\sigma)} \int_\Omega L_{\alpha, \beta}(v(\sigma), \vartheta(\sigma), \hat{\vartheta}) dx$。

意义与主张
本文声称提供了首个同时建立此类特定类别的非牛顿热传导流体在超临界状态下具有非齐次 Dirichlet 边界条件时，全局时间解的存在性及其长期非线性稳定性的结果。

作者强调，以往类似系统的研究要么假设存在光滑解，要么将分析限制在经典能量等式成立的亚临界状态，或者依赖于在剪切稀化流体中尚无法获得的唯一性结果。$b$-弱解概念的引入被视为克服能量等式缺失以及边界条件挑战所必需的技术进步。稳定性结果被描述为一个重要的进展，证明了尽管在该状态下弱解可能存在非唯一性，但具有物理意义的 $b$-弱解类表现出稳定的长期行为，并收敛于唯一的平衡态。该分析显式地避免了 Oberbeck–Boussinesq 近似，处理了完整的耦合问题，即动能耗散作为热方程中的源项，这一特征与简化模型相比引入了巨大的数学困难。