On the stability of solutions to non-Newtonian Navier--Stokes--Fourier-like systems in the supercritical case

Resumo Técnico: Sobre a Estabilidade de Soluções para Sistemas do Tipo Navier–Stokes–Fourier Não Newtonianos no Caso Supercrítico

Enunciado do Problema
O artigo investiga a análise matemática de um fluido não newtoniano, condutor de calor, incompressível e homogêneo tridimensional. O sistema é governado por um sistema de Navier–Stokes–Fourier modificado, que compreende a equação de momento, a restrição de incompressibilidade e a equação do calor com um termo de fonte representando a dissipação da energia cinética. A relação constitutiva para o tensor de tensão de Cauchy é geral, abrangendo modelos de lei de potência e de Ladyzhenskaya com um expoente de lei de potência $p$ no intervalo $p \in [8/5, 11/5)$. Este intervalo é identificado como "supercrítico", um regime onde resultados padrão de regularidade, unicidade e igualdade de energia não são conhecidos por se manterem. O problema é formulado em um domínio Lipschitz limitado $\Omega \subset \mathbb{R}^3$ com condições de contorno de não-deslizamento para a velocidade e temperatura prescrita não uniforme (Dirichlet) na fronteira. O objetivo principal é estabelecer a existência de soluções globais no tempo para quaisquer dados iniciais de energia finita e provar a estabilidade não linear do estado estacionário único $(0, \hat{\vartheta})$ quando o tempo tende ao infinito.

Metodologia e Conceitos Inovadores
Os autores abordam a falta de regularidade no regime supercrítico introduzindo um novo conceito de solução, denominado solução $b$-fraca. Esta formulação afasta-se das soluções fracas clássicas ao substituir a igualdade de energia interna por uma desigualdade de entropia e, crucialmente, ao introduzir uma desigualdade de energia total corrigida por $b$.

1. Desigualdade de Entropia: Em vez da equação do calor, a solução satisfaz uma desigualdade de entropia derivada ao dividir a equação do calor pela temperatura $\vartheta$. Isso utiliza a variável de entropia $\eta = \ln \vartheta$, que possui melhores propriedades de integrabilidade do que o próprio $\vartheta$.
2. Função de Correção $\gamma$: Para lidar com as condições de contorno de Dirichlet não homogêneas para a temperatura, que impedem o uso direto de desigualdades de energia total padrão (devido a termos de fluxo de fronteira incontroláveis), os autores introduzem uma função de correção $\gamma$, $b(\vartheta, \hat{\vartheta})$. Esta função permite a construção de um funcional de energia modificado que contabiliza o fluxo de calor através da fronteira.
3. Desigualdade de Energia Total Corrigida por $b$: Ao multiplicar a equação do calor pela função de correção e combiná-la com a equação do momento, os autores derivam um balanço de energia modificado. Esta desigualdade inclui um termo de correção envolvendo a primitiva de $b$, denotada por $B$, e garante que a energia total (cinética mais térmica, ajustada por $B$) satisfaça uma desigualdade diferencial adequada para a análise de estabilidade.
4. Prova de Existência: A existência de soluções $b$-fracas é estabelecida via aproximações de Faedo–Galerkin. Os autores derivam estimativas a priori independentes do parâmetro de aproximação $n$, utilizando a desigualdade de energia cinética, a desigualdade de entropia e a desigualdade de energia total corrigida por $b$. A passagem ao limite baseia-se na monotonicidade do tensor de tensão, no método de truncamento Lipschitz solenoidal para identificar o limite da tensão e em argumentos de compacidade (lema de Aubin–Lions).
5. Análise de Estabilidade: A estabilidade do estado estacionário é analisada usando um funcional de Lyapunov $L_{\alpha, \beta}$, que mede a "distância" entre a solução e o estado estacionário. Este funcional incorpora as funções auxiliares $H_\alpha$ e $G$ para lidar com a condutividade térmica não constante. A prova envolve a renormalização da desigualdade de entropia e a combinação desta com a desigualdade de energia corrigida por $b$ para derivar uma desigualdade diferencial para o funcional de Lyapunov, levando a estimativas de decaimento exponencial.

Principais Resultados

• Teorema 1.3 (Existência Global): Para quaisquer dados iniciais com energia finita ($v_0 \in L^2_{0,div}$, $\vartheta_0 \in L^1$) e temperatura de fronteira $\hat{\vartheta}$ satisfazendo regularidade padrão, existe uma solução $b$-fraca global no tempo. A solução satisfaz uma estimativa global uniforme em $L^\infty(0, +\infty; L^1(\Omega))$ para a temperatura. Notavelmente, este resultado é válido para expoentes de lei de potência $p > 6/5$, estendendo resultados anteriores que eram restritos a $p > 9/5$ ou que exigiam condições de contorno de Neumann.
• Teorema 1.4 (Estabilidade Não Linear): O estado estacionário único $(0, \hat{\vartheta})$ é não linearmente estável. Especificamente:
  • O campo de velocidade decai exponencialmente no tempo: $\|v(\tau)\|_2^2 \leq e^{-\mu \tau} \|v(0)\|_2^2$ (com modificações específicas para grandes dados iniciais quando $p < 2$).
  • A solução completa (velocidade e temperatura) converge para o estado estacionário no sentido do funcional de Lyapunov $L_{\alpha, \beta}$. Para qualquer conjunto limitado de dados iniciais, existem constantes $\mu, \beta > 0$ tais que o funcional de Lyapunov decai exponencialmente: $\int_\Omega L_{\alpha, \beta}(v(\tau), \vartheta(\tau), \hat{\vartheta}) dx \leq e^{-\mu(\tau-\sigma)} \int_\Omega L_{\alpha, \beta}(v(\sigma), \vartheta(\sigma), \hat{\vartheta}) dx$.

Significância e Alegações
O artigo alega fornecer o primeiro resultado que estabelece simultaneamente a existência de soluções globais no tempo e sua estabilidade não linear de longo prazo para esta classe específica de fluidos não newtonianos condutores de calor no regime supercrítico com condições de contorno de Dirichlet não homogêneas.

Os autores enfatizam que trabalhos anteriores sobre sistemas similares ou assumiam a existência de soluções suaves, ou restringiam a análise a regimes subcríticos onde as igualdades de energia clássicas se aplicam, ou dependiam de resultados de unicidade que não estão disponíveis no caso supercrítico para fluidos de afinamento de cisalhamento (shear-thinning). A introdução do conceito de solução $b$-fraca é apresentada como um avanço técnico necessário para superar a falta de igualdade de energia e os desafios impostos pelas condições de contorno. O resultado de estabilidade é descrito como um passo significativo à frente, demonstrando que, apesar da potencial não unicidade das soluções fracas neste regime, a classe fisicamente relevante de soluções $b$-fracas exibe um comportamento de longo prazo estável convergindo para o equilíbrio único. A análise evita explicitamente a aproximação de Oberbeck–Boussinesq, abordando o acoplamento total onde a dissipação da energia cinética atua como uma fonte na equação do calor, uma característica que introduz dificuldades matemáticas substanciais em comparação com modelos simplificados.