On the stability of solutions to non-Newtonian Navier--Stokes--Fourier-like systems in the supercritical case

Resumen Técnico: Sobre la estabilidad de las soluciones de sistemas de tipo Navier–Stokes–Fourier no newtonianos en el caso supercrítico

Planteamiento del problema
El artículo investiga el análisis matemático de un fluido no newtoniano, conductor de calor, incompresible y homogéneo en tres dimensiones. El sistema está gobernado por un sistema de Navier–Stokes–Fourier modificado que comprende la ecuación de cantidad de movimiento, la restricción de incompresibilidad y la ecuación de calor con un término fuente que representa la disipación de la energía cinética. La relación constitutiva para el tensor de tensiones de Cauchy es general, abarcando modelos de ley de potencia y de Ladyzhenskaya con un exponente de ley de potencia $p$ en el rango $p \in [8/5, 11/5)$. Este rango se identifica como "supercrítico", un régimen donde no se sabe si se cumplen los resultados estándar de regularidad, unicidad e igualdad de energía. El problema se plantea en un dominio Lipschitz acotado $\Omega \subset \mathbb{R}^3$ con condiciones de contorno de no deslizamiento para la velocidad y una temperatura de Dirichlet no uniforme prescrita en la frontera. El objetivo principal es establecer la existencia de soluciones globales en el tiempo para datos iniciales de energía finita arbitraria y demostrar la estabilidad no lineal del estado estacionario único $(0, \hat{\vartheta})$ cuando el tiempo tiende al infinito.

Metodología y conceptos novedosos
Los autores abordan la falta de regularidad en el régimen supercrítico introduciendo un concepto novedoso de solución, denominado solución $b$-débil. Esta formulación difiere de las soluciones débiles clásicas al reemplazar la igualdad de energía interna por una desigualdad de entropía e, crucialmente, al introducir una desigualdad de energía total corregida por $b$.

1. Desigualdad de entropía: En lugar de la ecuación de calor, la solución satisface una desigualdad de entropía derivada al dividir la ecuación de calor por la temperatura $\vartheta$. Esto utiliza la variable de entropía $\eta = \ln \vartheta$, la cual posee mejores propiedades de integrabilidad que $\vartheta$ misma.
2. Función de corrección $\gamma$: Para manejar las condiciones de contorno de Dirichlet no homogéneas para la temperatura, que impiden el uso directo de las desigualdades de energía total estándar (debido a términos de flujo de frontera incontrolables), los autores introducen una función de corrección $\gamma$, $b(\vartheta, \hat{\vartheta})$. Esta función permite la construcción de un funcional de energía modificado que da cuenta del flujo de calor a través de la frontera.
3. Desigualdad de energía total corregida por $b$: Al multiplicar la ecuación de calor por la función de corrección y combinarla con la ecuación de cantidad de movimiento, los autores derivan un balance de energía modificado. Esta desigualdad incluye un término de corrección que involucra la primitiva de $b$, denotada como $B$, y asegura que la energía total (cinética más térmica, ajustada por $B$) satisfaga una desigualdad diferencial adecuada para el análisis de estabilidad.
4. Prueba de existencia: La existencia de soluciones $b$-débiles se establece mediante aproximaciones de Faedo–Galerkin. Los autores derivan estimaciones a priori independientes del parámetro de aproximación $n$, utilizando la desigualdad de energía cinética, la desigualdad de entropía y la desigualdad de energía total corregida por $b$. El paso al límite se basa en la monotonicidad del tensor de tensiones, el método de truncamiento Lipschitz solenoidal para identificar el límite de la tensión y argumentos de compacidad (lema de Aubin–Lions).
5. Análisis de estabilidad: La estabilidad del estado estacionario se analiza utilizando un funcional de Lyapunov $L_{\alpha, \beta}$, que mide la "distancia" entre la solución y el estado estacionario. Este funcional incorpora las funciones auxiliares $H_\alpha$ y $G$ para manejar la conductividad térmica no constante. La prueba implica renormalizar la desigualdad de entropía y combinarla con la desigualdad de energía corregida por $b$ para derivar una desigualdad diferencial para el funcional de Lyapunov, lo que conduce a estimaciones de decaimiento exponencial.

Resultados clave

• Teorema 1.3 (Existencia global): Para cualquier dato inicial con energía finita ($v_0 \in L^2_{0,div}$, $\vartheta_0 \in L^1$) y temperatura de frontera $\hat{\vartheta}$ que cumpla con la regularidad estándar, existe una solución $b$-débil global en el tiempo. La solución satisface una estimación global uniforme en $L^\infty(0, +\infty; L^1(\Omega))$ para la temperatura. Notablemente, este resultado es válido para exponentes de ley de potencia $p > 6/5$, extendiendo resultados previos que estaban restringidos a $p > 9/5$ o que requerían condiciones de contorno de Neumann.
• Teorema 1.4 (Estabilidad no lineal): El estado estacionario único $(0, \hat{\vartheta})$ es no linealmente estable. Específicamente:
  • El campo de velocidad decae exponencialmente en el tiempo: $\|v(\tau)\|_2^2 \leq e^{-\mu \tau} \|v(0)\|_2^2$ (con modificaciones específicas para datos iniciales grandes cuando $p < 2$).
  • La solución completa (velocidad y temperatura) converge al estado estacionario en el sentido del funcional de Lyapunov $L_{\alpha, \beta}$. Para cualquier conjunto acotado de datos iniciales, existen constantes $\mu, \beta > 0$ tales que el funcional de Lyapunov decae exponencialmente: $\int_\Omega L_{\alpha, \beta}(v(\tau), \vartheta(\tau), \hat{\vartheta}) dx \leq e^{-\mu(\tau-\sigma)} \int_\Omega L_{\alpha, \beta}(v(\sigma), \vartheta(\sigma), \hat{\vartheta}) dx$.

Significación y pretensiones
El artículo afirma proporcionar el primer resultado que establece simultáneamente la existencia de soluciones globales en el tiempo y su estabilidad no lineal a largo plazo para esta clase específica de fluidos no newtonianos conductores de calor en el régimen supercrítico con condiciones de contorno de Dirichlet no homogéneas.

Los autores enfatizan que los trabajos previos sobre sistemas similares o bien asumían la existencia de soluciones suaves, o restringían el análisis a regímenes subcríticos donde las igualdades de energía clásicas se cumplen, o dependían de resultados de unicidad que no están disponibles en el caso supercrítico para fluidos de tipo shear-thinning. La introducción del concepto de solución $b$-débil se presenta como un avance técnico necesario para superar la falta de igualdad de energía y los desafíos planteados por las condiciones de contorno. El resultado de estabilidad se describe como un paso significativo hacia adelante, demostrando que, a pesar de la potencial no unicidad de las soluciones débiles en este régimen, la clase de soluciones $b$-débiles, que es la físicamente relevante, exhibe un comportamiento estable a largo plazo que converge al equilibrio único. El análisis evita explícitamente la aproximación de Oberbeck–Boussinesq, abordando el acoplamiento completo donde la disipación de la energía cinética actúa como una fuente en la ecuación de calor, una característica que introduce dificultades matemáticas sustanciales en comparación con los modelos simplificados.