On the stability of solutions to non-Newtonian Navier--Stokes--Fourier-like systems in the supercritical case

Résumé Technique : Sur la stabilité des solutions de systèmes de type Navier–Stokes–Fourier non newtoniens dans le cas supercritique

Énoncé du Problème
L'article étudie l'analyse mathématique d'un fluide non newtonien, conducteur de chaleur, incompressible et homogène en trois dimensions. Le système est régi par un système de Navier–Stokes–Fourier modifié comprenant l'équation de quantité de mouvement, la contrainte d'incompressibilité et l'équation de la chaleur avec un terme source représentant la dissipation de l'énergie cinétique. La relation constitutive pour le tenseur des contraintes de Cauchy est générale, englobant les modèles de loi de puissance et de Ladyzhenskaya avec un exposant de loi de puissance $p$ dans la plage $p \in [8/5, 11/5)$. Cette plage est identifiée comme « supercritique », un régime où les résultats standards de régularité, d'unicité et d'égalité de l'énergie ne sont pas connus pour être vérifiés. Le problème est posé sur un domaine Lipschitzé borné $\Omega \subset \mathbb{R}^3$ avec des conditions aux limites de non-glissement pour la vitesse et une température imposée non uniforme (Dirichlet) sur la frontière. L'objectif principal est d'établir l'existence de solutions globales dans le temps pour des données initiales de l'énergie finie arbitraires et de prouver la stabilité non linéaire de l'état stationnaire unique $(0, \hat{\vartheta})$ lorsque le temps tend vers l'infini.

Méthodologie et Concepts Nouveaux
Les auteurs abordent l'absence de régularité dans le régime supercritique en introduisant un nouveau concept de solution, nommé solution $b$-faible. Cette formulation s'écarte des solutions faibles classiques en remplaçant l'égalité de l'énergie interne par une inégalité d'entropie et, surtout, en introduisant une inégalité d'énergie totale corrigée par $b$.

1. Inégalité d'Entropie : Au lieu de l'équation de la chaleur, la solution satisfait une inégalité d'entropie dérivée en divisant l'équation de la chaleur par la température $\vartheta$. Cela utilise la variable d'entropie $\eta = \ln \vartheta$, qui possède de meilleures propriétés d'intégrabilité que $\vartheta$ lui-même.
2. Fonction de Correction $\gamma$ : Pour traiter les conditions aux limites de Dirichlet non homogènes pour la température, qui empêchent l'utilisation directe des inégalités d'énergie totale standards (en raison de termes de flux de bord incontrôlables), les auteurs introduisent une fonction de correction $\gamma$, notée $b(\vartheta, \hat{\vartheta})$. Cette fonction permet la construction d'un fonctionnel d'énergie modifié qui rend compte du flux de chaleur à travers la frontière.
3. Inégalité d'Énergie Totale Corrigée par $b$ : En multipliant l'équation de la chaleur par la fonction de correction et en la combinant avec l'équation de quantité de mouvement, les auteurs dérivent un bilan d'énergie modifié. Cette inégalité inclut un terme de correction impliquant la primitive de $b$, notée $B$, et garantit que l'énergie totale (cinétique plus thermique, ajustée par $B$) satisfait une inégalité différentielle adaptée à l'analyse de stabilité.
4. Preuve d'Existence : L'existence des solutions $b$-faibles est établie via des approximations de Faedo–Galerkin. Les auteurs dérivent des estimations a priori indépendantes du paramètre d'approximation $n$, en utilisant l'inégalité de l'énergie cinétique, l'inégalité d'entropie et l'inégalité d'énergie totale corrigée par $b$. Le passage à la limite repose sur la monotonicité du tenseur de contrainte, la méthode de troncature Lipschitzienne solénoidale pour identifier la limite de la contrainte, et des arguments de compacité (lemme d'Aubin–Lions).
5. Analyse de Stabilité : La stabilité de l'état stationnaire est analysée à l'aide d'un fonctionnel de Lyapunov $L_{\alpha, \beta}$, qui mesure la « distance » entre la solution et l'état stationnaire. Ce fonctionnel incorpore les fonctions auxiliaires $H_\alpha$ et $G$ pour gérer la conductivité thermique non constante. La preuve implique la renormalisation de l'inégalité d'entropie et la combinaison de celle-ci avec l'inégalité d'énergie corrigée par $b$ pour dériver une inégalité différentielle pour le fonctionnel de Lyapunov, conduisant à des estimations de décroissance exponentielle.

Résultats Clés

• Théorème 1.3 (Existence Globale) : Pour toute donnée initiale possédant une énergie finie ($v_0 \in L^2_{0,div}$, $\vartheta_0 \in L^1$) et une température de bord $\hat{\vartheta}$ satisfaisant une régularité standard, il existe une solution $b$-faible globale dans le temps. La solution satisfait une estimation globale uniforme en $L^\infty(0, +\infty; L^1(\Omega))$ pour la température. Notamment, ce résultat est valable pour des exposants de loi de puissance $p > 6/5$, étendant les résultats précédents qui étaient restreints à $p > 9/5$ ou nécessitaient des conditions de Neumann.
• Théorème 1.4 (Stabilité Non Linéaire) : L'état stationnaire unique $(0, \hat{\vartheta})$ est non linéairement stable. Plus précisément :
  • Le champ de vitesse décroît exponentiellement dans le temps : $\|v(\tau)\|_2^2 \leq e^{-\mu \tau} \|v(0)\|_2^2$ (avec des modifications spécifiques pour les données initiales de grande amplitude quand $p < 2$).
  • La solution complète (vitesse et température) converge vers l'état stationnaire au sens du fonctionnel de Lyapunov $L_{\alpha, \beta}$. Pour tout ensemble borné de données initiales, il existe des constantes $\mu, \beta > 0$ telles que le fonctionnel de Lyapunov décroît exponentiellement : $\int_\Omega L_{\alpha, \beta}(v(\tau), \vartheta(\tau), \hat{\vartheta}) dx \leq e^{-\mu(\tau-\sigma)} \int_\Omega L_{\alpha, \beta}(v(\sigma), \vartheta(\sigma), \hat{\vartheta}) dx$.

Signification et Revendications
L'article affirme fournir le premier résultat établissant simultanément l'existence de solutions globales dans le temps et leur stabilité non linéaire à long terme pour cette classe spécifique de fluides non newtoniens conducteurs de chaleur dans le régime supercritique avec des conditions de Dirichlet non homogènes.

Les auteurs soulignent que les travaux précédents sur des systèmes similaires soit supposaient l'existence de solutions lisses, soit restreignaient l'analyse à des régimes subcritiques où les égalités d'énergie classiques sont vérifiées, soit reposaient sur des résultats d'unicité qui ne sont pas disponibles dans le cas supercritique pour les fluides rhéofluidifiants. L'introduction du concept de solution $b$-faible est présentée comme une avancée technique nécessaire pour surmonter l'absence d'égalité de l'énergie et les défis posés par les conditions aux limites. Le résultat de stabilité est décrit comme une étape significative, démontrant que malgré l'unicité potentielle des solutions faibles dans ce régime, la classe de solutions $b$-faibles, physiquement pertinente, présente un comportement stable à long terme convergeant vers l'équilibre unique. L'analyse évite explicitement l'approximation d'Oberbeck–Boussinesq, traitant le couplage complet où la dissipation de l'énergie cinétique agit comme une source dans l'équation de la chaleur, une caractéristique qui introduit des difficultés mathématiques substantielles par rapport aux modèles simplifiés.