A relative Langlands dual realization of $T^*(G/K)$ and derived Satake

Sintesi Tecnica: Una realizzazione della dualità di Langlands relativa di $T^*(G/K)$ e del Satake derivato

Enunciato del Problema
Il saggio affronta il problema di identificare la varietà "duale relativa" (o duale simmetrica) $M_{\check{G}, \check{X}}$ associata a una varietà sferica $\check{X}$ per un gruppo duale di Langlands $\check{G}$. Sebbene la costruzione di tali varietà duali tramite oggetti d'anello nella categoria Satake derivata sia ben stabilita per gruppi split e casi specifici (ad esempio, $\check{X} = \check{G}$), il saggio investiga il problema inverso: dato una varietà hamiltoniana $G$-affine $M$ di interesse nella teoria delle rappresentazioni, specificamente il fibrato cotangente $T^*(G/K)$ di uno spazio simmetrico quasi-split $X = G/K$, è possibile identificare una varietà sferica $\check{X}$ corrispondente per il gruppo duale \check{G}} tale che $M \cong M_{\check{G}, \check{X}}$?

Gli autori si concentrano sul caso in cui $G$ è uno spazio simmetrico quasi-split che non è necessariamente split. In tali casi, il candidato ingenuo per lo spazio simmetrico duale (il quoziente del gruppo duale per il duale del sottogruppo simmetrico) non produce la geometria corretta. Il saggio cerca di risolvere questo problema introducendo "spazi simmetrici di loop" ed établendo un'equivalenza di categoria derivata (Satake derivato) che generalizza i risultati noti per i gruppi riduttivi a questi contesti quasi-split.

Metodologia
La metodologia combina la teoria delle rappresentazioni geometriche, la teoria dei gruppi di loop e lo studio degli schemi di gruppi centralizzatori regolari.

1. Setup Geometrico e Teoria di Kostant-Rallis:
   Gli autori utilizzano la teoria di Kostant-Rallis per gli spazi simmetrici. Relazionano il fibrato cotangente $T^*(G/K)$ con gli schemi di gruppi centralizzatori regolari $J_G$ e $J_H$ (dove $H$ è un sottogruppo simmetrico split correlato). Nello specifico, stabiliscono un isomorfismo tra l'anello delle coordinate di $T^*(G/K)$ e l'anello degli invarianti di un quoziente specifico coinvolgente $G$, $H$ e la mappa di norma tra gli schemi centralizzatori.

2. Gruppi di Loop Torcitati e Grassmanniani Affini:
   L'innovazione tecnica centrale consiste nell'introduzione di un'involuzione "torcitata" (twisted) $\check{\theta}$ sul gruppo di loop $\check{G}(F)$, definita da $\check{\theta}(\gamma)(t) = \check{\theta}_0(\gamma(-t))$, dove $\check{\theta}_0$ è un'involuzione fissata (pinned) del gruppo duale. Ciò porta alla definizione del gruppo di loop torcitato $\check{G}(F)^{\check{\theta}}$ e del Grassmanniano affine torcitato $\text{Gr}^{\check{\theta}} = \check{G}(F)^{\check{\theta}} / \check{G}(O)^{\check{\theta}}$.

3. Equivalenza Satake Derivata per Grassmanniani Torcitati:
   Gli autori dimostrano un'equivalenza Satake derivata per questi Grassmanniani torcitati. Dimostrano che la categoria derivata degli $\check{G}(O)^{\check{\theta}}$-fati equivarianti su $\text{Gr}^{\check{\theta}}$ è equivalente alla categoria dei complessi perfetti sul fibrato cotangente traslato del sottogruppo simmetrico split (specificamente $T^*H[2]$). Questo estende il lavoro di Zhu e altri al contesto derivato.

4. Oggetti d'Anello e Duali Relativi:
   Utilizzando il framework di BZSV (Ben-Zvi, Nadler, Sakratidis) e BFN (Braverman, Finkelberg, Nakajima), gli autori costruiscono un oggetto d'anello $A_{\check{G}, \check{\theta}}$ nella categoria Satake derivata associata allo spazio simmetrico di loop $\check{X}^{\check{\theta}}(F) = \check{G}(F) / \check{G}(F)^{\check{\theta}}$. Definiscono la varietà duale relativa $M_{\check{G}, \check{\theta}}$ tramite l'anello delle coordinate di questo oggetto d'anello.

5. Purezza e Formalità:
   Un passaggio cruciale consiste nel dimostrare le proprietà di formalità e di pienamente fedeltà per gli oggetti $!$-puri nella categoria Satake derivata torciata. Ciò permette agli autori di calcolare esplicitamente la coomologia di questi oggetti d'anello, collegandola alla geometria di $T^*(G/K)$.

Contributi Chiave e Risultati

• Teorema 1.1 (Isomorfismo Geometrico): Gli autori stabiliscono un isomorfismo di anelli $G$-equivariante naturale:
  $$C[M_{\check{G}, \check{\theta}}] \cong C[T^*(G/K)]$$
  Questo identifica il duale relativo dello spazio simmetrico di loop $\check{X}^{\check{\theta}}(F)$ con il fibrato cotangente dello spazio simmetrico quasi-split $G/K$. Questo fornisce una famiglia concreta di esempi di dualità di Langlands relativa per gruppi non-split.

• Teorema 1.2 (Satake Derivato per Spazi Simmetrici di Loop): Il saggio stabilisce un'equivalenza canonica tra la categoria Satake derivata per lo spazio simmetrico di loop e la categoria dei complessi perfetti equivarianti sul fibrato cotangente traslato:
  $$D^b_{\check{G}(O)}(\check{X}^{\check{\theta}}(F))_e \cong \text{Perf}_G(T^*(G/K)[2])$$
  Qui il pedice $e$ denota la sottocategoria generata dallo sheaf dualizzante dell'orbita base sotto l'azione di Hecke. Questo generalizza l'equivalenza Satake derivata dai gruppi riduttivi agli spazi simmetrici quasi-split.

• Teorema 1.3 (Satake Derivato Torciato e Purezza):

  1. Viene dimostrata un'equivalenza monoidale per il Grassmanniano affine torciato: $D^b_{\check{G}(O)^{\check{\theta}}}(\text{Gr}^{\check{\theta}}) \cong \text{Perf}_{H \times H}(T^*H[2])$.
  2. Viene stabilito un risultato di piena fedeltà per gli oggetti $!$-puri, fornendo una formula per la coomologia dei prodotti tensoriali che coinvolgono l'immersione del Grassmanniano torciato nel Grassmanniano affine standard.

• Equivalenza di Bezrukavnikov (Teorema 1.4): Combinando l'equivalenza Satake derivata con i recenti lavori sull'equivalenza tamamente ramificata, gli autori deducono un'realizzazione costruttibile dei complessi perfetti equivarianti sulla base del cambio di base della risoluzione di Grothendieck-Springer lungo la mappa di momento:
  $$D^b_{\check{I}}(\check{X}^{\check{\theta}}(F))_e \cong \text{Perf}_G((T^*(G/K) \times_{\mathfrak{g}^*} \tilde{\mathfrak{g}})[2])$$
  Questo funge da versione dell'equivalenza di Bezrukavnikov per gli spazi simmetrici quasi-split.

• Estensioni e Varianti: Il saggio discute varianti, inclusi i casi che coinvolgono la trialità (per $\text{Spin}_8$), sottogruppi paraborici speciali (correlati a $SU_{2n+1}$), e sottocampi $F_n = \mathbb{C}((t^n))$. Questi casi coprono tutti i Grassmanniani affini torciati considerati nella letteratura precedente (es. il lavoro di Zhu).

Significato e Rivendicazioni
Il saggio sostiene di fornire una "risposta positiva" alla domanda se il fibrato cotangente di uno spazio simmetrico quasi-split emerga come una varietà duale relativa. Il significato risiede in:

1. Generalizzazione della Dualità di Langlands: Esso estende il framework della dualità di Langlands relativa, precedentemente limitato in gran parte a gruppi split o specifiche varietà sferiche, all'ambito degli spazi simmetrici non-split (quasi-split).
2. Realizzazione Categorica: Fornisce una "realizzazione costruttibile" della categoria dei complessi perfetti su $T^*(G/K)$ in termini di sheaves sugli spazi simmetrici di loop, effettuando efficacemente la categorificazione della formula di Plancherel per questi spazi.
3. Connessione con il Langlands Geometrico: Gli autori notano che questi risultati forniscono evidenza per una congettura di "Dualità di Langlands Relativa Torciata", che pone una relazione tra la categoria derivata dello spazio simmetrico di loop e la categoria dei complessi costruttibili sullo stack di moduli di bundle reali sulla twistor $\mathbb{P}^1$.
4. Fondamento Tecnico: Il lavoro stabilisce l'equivalenza Satake derivata per i Grassmanniani affini torciati, un risultato di interesse indipendente che si basa sullo studio dei funitori di cicli vicini e sulla formalità degli oggetti $!$-puri.

Gli autori dichiarano esplicitamente che i risultati dipendono dal fatto che $G$ sia adjoint e $X$ sia quasi-split. Notano inoltre che, sebbene il saggio stabilisca l'equivalenza Satake derivata, la controparte quantistica (relativa ai $(\mathfrak{g}, K)$-moduli) è riservata a lavori futuri. Il saggio non pretende di risolvere l'intero programma di Langlands geometrico per questi spazi, ma stabilisce un ponte critico tra la geometria degli spazi simmetrici e la teoria delle rappresentazioni dei gruppi di loop attraverso la lente della dualità relativa.