A relative Langlands dual realization of $T^*(G/K)$ and derived Satake

Resumo Técnico: Uma Realização de Dualidade de Langlands Relativa de $T^*(G/K)$ e Satake Derivado

Enunciado do Problema
O artigo aborda o problema de identificar a variedade "dual relativa" (ou dual simplética) $M_{\check{G}, \check{X}}$ associada a uma variedade esférica $\check{X}$ para um grupo de Langlands dual $\check{G}$. Embora a construção de tais variedades duais via objetos de anel na categoria de Satake derivada seja bem estabelecida para grupos split e casos específicos (por exemplo, $\check{X} = \check{G}$), o artigo investiga o problema inverso: dado uma variedade hamiltoniana $G$-afim $M$ de interesse na teoria de representações, especificamente o fibrado cotangente $T^*(G/K)$ de um espaço simétrico quase-split $X = G/K$, pode-se identificar uma variedade esférica correspondente $\check{X}$ para o grupo dual $\check{G}$ tal que $M \cong M_{\check{G}, \check{X}}$?

Os autores focam no caso onde $G$ é um espaço simétrico quase-split que não é necessariamente split. Nesses casos, o candidato ingênuo para o espaço simétrico dual (o quociente do grupo dual pelo dual do subgrupo simétrico) falha em produzir a geometria correta. O artigo busca resolver isso introduzindo "espaços simétricos de loops" e estabelecendo uma equivalência de categoria derivada (Satake Derivado) que generaliza resultados conhecidos para grupos redutivos para esses contextos quase-split.

Metodologia
A metodologia combina teoria de representações geométricas, teoria de grupos de loops e o estudo de esquemas de grupos centralizadores regulares.

1. Configuração Geométrica e Teoria de Kostant-Rallis:
   Os autores utilizam a teoria de Kostant-Rallis para espaços simétricos. Eles relacionam o fibrado cotangente $T^*(G/K)$ aos esquemas de grupos centralizadores regulares $J_G$ e $J_H$ (onde $H$ é um subgrupo simétrico split relacionado). Especificamente, eles estabelecem um isomorfismo entre o anel de coordenadas de $T^*(G/K)$ e o anel de invariantes de um quociente específico envolvendo $G$, $H$ e o mapa de norma entre esquemas de centralizadores.

2. Grupos de Loops Torcidos e Grassmannianos Afins:
   A inovação técnica central envolve a introdução de uma involução torcida $\check{\theta}$ no grupo de loops $\check{G}(F)$, definida por $\check{\theta}(\gamma)(t) = \check{\theta}_0(\gamma(-t))$, onde $\check{\theta}_0$ é uma involução fixada (pinned) do grupo dual. Isso leva à definição do grupo de loops torcido $\check{G}(F)^{\check{\theta}}$ e do Grassmanniano afim torcido $\text{Gr}^{\check{\theta}} = \check{G}(F)^{\check{\theta}} / \check{G}(O)^{\check{\theta}}$.

3. Equivalência de Satake Derivada para Grassmannianos Torcidos:
   Os autores provam uma equivalência de Satake derivada para esses Grassmannianos afins torcidos. Eles mostram que a categoria derivada de feixes $\check{G}(O)^{\check{\theta}}$-equivariantes em $\text{Gr}^{\check{\theta}}$ é equivalente à categoria de complexos perfeitos no fibrado cotangente deslocado do subgrupo simétrico split $H$ (especificamente $T^*H[2]$). Isso estende o trabalho de Zhu e outros para o cenário derivado.

4. Objetos de Anel e Duais Relativos:
   Utilizando o arcabouço de BZSV (Ben-Zvi, Nadler, Sakellaridis) e BFN (Braverman, Finkelberg, Nakajima), os autores constroem um objeto de anel $A_{\check{G}, \check{\theta}}$ na categoria de Satake derivada associada ao espaço simétrico de loop $\check{X}^{\check{\theta}}(F) = \check{G}(F) / \check{G}(F)^{\check{\theta}}$. Eles definem a variedade dual relativa $M_{\check{G}, \check{\theta}}$ via o anel de coordenadas deste objeto de anel.

5. Pureza e Formalidade:
   Um passo crucial envolve provar propriedades de formalidade e de plena fidelidade (fully-faithfulness) para objetos $!$-puros na categoria de Satake derivada torcida. Isso permite que os autores computem explicitamente a cohomologia desses objetos de anel, ligando-os à geometria de $T^*(G/K)$.

Principais Contribuições e Resultados

• Teorema 1.1 (Isomorfismo Geométrico): Os autores estabelecem um isomorfismo de anéis $G$-equivariante natural:
  $$C[M_{\check{G}, \check{\theta}}] \cong C[T^*(G/K)]$$
  Isso identifica o dual relativo do espaço simétrico de loop $\check{X}^{\check{\theta}}(F)$ com o fibrado cotangente do espaço simétrico quase-split $G/K$. Isso fornece uma família concreta de exemplos de dualidade de Langlands relativa para grupos não-split.

• Teorema 1.2 (Satake Derivado para Espaços Simétricos de Loops): O artigo estabelece uma equivalência canônica entre a categoria de Satake derivada para o espaço simétrico de loop e a categoria de complexos perfeitos equivariantes no fibrado cotangente deslocado:
  $$D^b_{\check{G}(O)}(\check{X}^{\check{\theta}}(F))_e \cong \text{Perf}_G(T^*(G/K)[2])$$
  Aqui, o subscrito $e$ denota a subcategoria gerada pelo feixe dualizante da órbita base sob a ação de Hecke. Isso generaliza a equivalência de Satake derivada de grupos redutivos para espaços simétricos quase-split.

• Teorema 1.3 (Satake Derivado Torcido e Pureza):

  1. Uma equivalência monoidal é provada para o Grassmanniano afim torcido: $D^b_{\check{G}(O)^{\check{\theta}}}(\text{Gr}^{\check{\theta}}) \cong \text{Perf}_{H \times H}(T^*H[2])$.
  2. Um resultado de plena fidelidade é estabelecido para objetos $!$-puros, fornecendo uma fórmula para a cohomologia de produtos tensoriais envolvendo o mergulho do Grassmanniano torcido no Grassmanniano afim padrão.

• Equivalência de Bezrukavnikov (Teorema 1.4): Combinando a equivalência de Satake derivada com trabalhos recentes sobre equivalência tamamente ramificada, os autores deduzem uma realização construtível de complexos perfeitos equivariantes no mudança de base da resolução de Grothendieck-Springer ao longo do mapa momento:
  $$D^b_{\check{I}}(\check{X}^{\check{\theta}}(F))_e \cong \text{Perf}_G((T^*(G/K) \times_{\mathfrak{g}^*} \tilde{\mathfrak{g}})[2])$$
  Isso serve como uma versão da equivalência de Bezrukavnikov para espaços simétricos quase-split.

• Extensões e Variantes: O artigo discute variantes destes resultados, incluindo casos envolvendo trilateralidade (para $\text{Spin}_8$), subgrupos parahóricos especiais (relacionados a $SU_{2n+1}$), e subcampos $F_n = \mathbb{C}((t^n))$. Estes casos cobrem todos os Grassmannianos afins torcidos considerados na literatura prévia (ex: o trabalho de Zhu).

Significância e Alegações
O artigo afirma fornecer uma "resposta positiva" à questão de se o fibrado cotangente de um espaço simétrico quase-split surge como uma variedade dual relativa. A significância reside em:

1. Generalização da Dualidade de Langlands: Ele estende o arcabouço da dualidade de Langlands relativa, anteriormente limitado amplamente a grupos split ou variedades esféricas específicas, para o domínio dos espaços simétricos não-split (quase-split).
2. Realização Categórica: Fornece uma "realização construtível" da categoria de complexos perfeitos em $T^*(G/K)$ em termos de feixes em espaços simétricos de loops, efetivamente categorificando a fórmula de Plancherel para esses espaços.
3. Conexão com Langlands Geométrico: Os autores observam que estes resultados fornecem evidências para uma conjectura de "Dualidade de Langlands Relativa Torcida", que postula uma relação entre a categoria derivada do espaço simétrico de loop e a categoria de complexos construtíveis no stack de feixes reais no twistor $\mathbb{P}^1$.
4. Fundação Técnica: O trabalho estabelece a equivalência de Satake derivada para Grassmannianos afins torcidos, um resultado de interesse independente que depende do estudo de funtores de ciclos próximos (nearby cycles) e da formalidade de objetos $!$-puros.

Os autores declaram explicitamente que os resultados dependem de $G$ ser adjoint e $X$ ser quase-split. Eles também observam que, embora o artigo estabeleça a equivalência de Satake derivada, o contraparte quântica (relacionada a $(\mathfrak{g}, K)$-módulos) é reservada para trabalhos futuros. O artigo não pretende resolver o programa completo de Langlands geométrico para esses espaços, mas estabelece uma ponte crítica entre a geometria de espaços simétricos e a teoria de representações de grupos de loops através da lente da dualidade relativa.