A relative Langlands dual realization of $T^*(G/K)$ and derived Satake

Resumen Técnico: Una Realización de la Dualidad de Langlands Relativa de $T^*(G/K)$ y el Satake Derivado

Planteamiento del Problema
El artículo aborda el problema de identificar la variedad "dual relativa" (o dual simpléctica) $M_{\check{G}, \check{X}}$ asociada a una variedad esférica $\check{X}$ para un grupo de Langlands dual $\check{G}$. Si bien la construcción de tales variedades duales mediante objetos de anillo en la categoría de Satake derivada está bien establecida para grupos partidos (split) y casos específicos (por ejemplo, $\check{X} = \check{G}$), el artículo investiga el problema inverso: dado una variedad hamiltoniana $G$-afín $M$ de interés en la teoría de la representación, específicamente el fibrado cotangente $T^*(G/K)$ de un espacio simétrico cuasi-partido $X = G/K$, ¿puede identificarse una variedad esférica $\check{X}$ correspondiente para el grupo dual $\check{G}$ tal que $M \cong M_{\check{G}, \check{X}}$?

Los autores se centran en el caso donde $G$ es un espacio simétrico cuasi-partido que no es necesariamente partido. En tales casos, el candidato ingenuo para el espacio simétrico dual (el cociente del grupo dual por el dual del subgrupo simétrico) no logra producir la geometría correcta. El artículo busca resolver esto introduciendo "espacios simétricos de bucle" (loop symmetric spaces) y estableciendo una equivalencia de categorías derivadas (Satake derivado) que generaliza los resultados conocidos para grupos reductivos a estos entornos cuasi-partidos.

Metodología
La metodología combina la teoría de la representación geométrica, la teoría de los grupos de bucle (loop groups) y el estudio de los esquemas de grupos de centralizadores regulares.

1. Configuración Geométrica y Teoría de Kostant-Rallis:
   Los autores utilizan la teoría de Kostant-Rallis para espacios simétricos. Relacionan el fibrado cotangente $T^*(G/K)$ con los esquemas de grupos de centralizadores regulares $J_G$ y $J_H$ (donde $H$ es un subgrupo simétrico partido relacionado). Específicamente, establecen un isomorfismo entre el anillo de coordenadas de $T^*(G/K)$ y el anillo de invariantes de un cociente específico que involucra a $G$, $H$ y el mapa de norma entre los esquemas de centralizadores.

2. Grupos de Bucle Retorcidos y Grassmannianas Afines:
   La innovación técnica central involucra la introducción de una involución retorcida $\check{\theta}$ sobre el grupo de bucle $\check{G}(F)$, definida por $\check{\theta}(\gamma)(t) = \check{\theta}_0(\gamma(-t))$, donde $\check{\theta}_0$ es una involución fijada (pinned) del grupo dual. Esto conduce a la definición del grupo de bucle retorcido $\check{G}(F)^{\check{\theta}}$ y la Grassmanniana afín retorcida $\text{Gr}^{\check{\theta}} = \check{G}(F)^{\check{\theta}} / \check{G}(O)^{\check{\theta}}$.

3. Equivalencia de Satake Derivado para Grassmannianas Retorcidas:
   Los autores demuestran una equivalencia de Satake derivada para estas Grassmannianas afines retorcidas. Muestran que la categoría derivada de las hojas $\check{G}(O)^{\check{\theta}}$-equivariantes en $\text{Gr}^{\check{\theta}}$ es equivalente a la categoría de complejos perfectos en el fibrado cotangente desplazado del subgrupo simétrico partido (específicamente $T^*H[2]$). Esto extiende el trabajo de Zhu y otros al entorno derivado.

4. Objetos de Anillo y Duales Relativos:
   Utilizando el marco de BZSV (Ben-Zvi, Nadler, Sakellaridis) y BFN (Braverman, Finkelberg, Nakajima), los autores construyen un objeto de anillo $A_{\check{G}, \check{\theta}}$ en la categoría de Satake derivada asociada al espacio simétrico de bucle $\check{X}^{\check{\theta}}(F) = \check{G}(F) / \check{G}(F)^{\check{\theta}}$. Definen la variedad dual relativa $M_{\check{G}, \check{\theta}}$ a través del anillo de coordenadas de este objeto de anillo.

5. Pureza y Formalidad:
   Un paso crucial consiste en demostrar la formalidad y las propiedades de plena fidelidad para objetos $!$-puros en la categoría de Satake derivada retorcida. Esto permite a los autores calcular la cohomología de estos objetos de anillo de manera explícita, vinculándolos con la geometría de $T^*(G/K)$.

Contribuciones Clave y Resultados

• Teorema 1.1 (Isomorfismo Geométrico): Los autores establecen un isomorfismo de anillos $G$-equivariante natural:
  $$C[M_{\check{G}, \check{\theta}}] \cong C[T^*(G/K)]$$
  Esto identifica la dual de la variedad del espacio simétrico de bucle $\check{X}^{\check{\theta}}(F)$ con el fibrado cotangente del espacio simétrico cuasi-partido $G/K$. Esto proporciona una familia concreta de ejemplos de dualidad de Langlands relativa para grupos no partidos.

• Teorema 1.2 (Satake Derivado para Espacios Simétricos de Bucle): El artículo establece una equivalencia canónica entre la categoría de Satake derivada para el espacio simétrico de bucle y la categoría de complejos perfectos equivariantes en el fibrado cotangente desplazado:
  $$D^b_{\check{G}(O)}(\check{X}^{\check{\theta}}(F))_e \cong \text{Perf}_G(T^*(G/K)[2])$$
  Aquí, el subíndice $e$ denota la subcategoría generada por la hoja dualizante de la órbita base bajo la acción de Hecke. Esto generaliza la equivalencia de Satake derivada de grupos reductivos a espacios simétricos cuasi-partidos.

• Teorema 1.3 (Satake Derivado Retorcido y Pureza):

  1. Se demuestra una equivalencia monoidal para la Grassmanniana afín retorcida: $D^b_{\check{G}(O)^{\check{\theta}}}(\text{Gr}^{\check{\theta}}) \cong \text{Perf}_{H \times H}(T^*H[2])$.
  2. Se establece un resultado de plena fidelidad para objetos $!$-puros, proporcionando una fórmula para la cohomología de productos tensoriales que involucran la inmersión de la Grassmanniana afín retorcida en la Grassmanniana afín estándar.

• Equivalencia de Bezrukavnikov (Teorema 1.4): Combinando la equivalencia de Satake derivada con trabajos recientes sobre la equivalencia tamemente ramificada, los autores deducen una realización constructible de los complejos perfectos equivariantes en el cambio de base de la resolución de Grothendieck-Springer a lo largo del mapa momento:
  $$D^b_{\check{I}}(\check{X}^{\check{\theta}}(F))_e \cong \text{Perf}_G((T^*(G/K) \times_{\mathfrak{g}^*} \tilde{\mathfrak{g}})[2])$$
  Esto sirve como una versión de la equivalencia de Bezrukavnikov para espacios simétricos cuasi-partidos.

• Extensiones y Variantes: El artículo discute variantes de estos resultados, incluyendo casos que involucran trialdad (para $\text{Spin}_8$), subgrupos parahóricos especiales (relacionados con $SU_{2n+1}$) y subcampos $F_n = \mathbb{C}((t^n))$. Estos casos cubren todas las Grassmannianas afines retorcidas consideradas en la literatura previa (por ejemplo, el trabajo de Zhu).

Significancia y Reivindicaciones
El artículo afirma proporcionar una "respuesta positiva" a la pregunta de si el fibrado cotangente de un espacio simétrico cuasi-partido surge como una variedad dual relativa. La significancia radica en:

1. Generalización de la Dualidad de Langlands: Extiende el marco de la dualidad de Langlands relativa, previamente limitado en gran medida a grupos partidos o variedades esféricas específicas, al ámbito de los espacios simétricos no partidos (cuasi-partidos).
2. Realización Categórica: Proporciona una "realización constructible" de la categoría de complejos perfectos en $T^*(G/K)$ en términos de hojas sobre espacios simétricos de bucle, lo que efectivamente categorifica la fórmula de Plancherel para estos espacios.
3. Conexión con el Langlands Geométrico: Los autores señalan que estos resultados proporcionan evidencia para una conjetura de "Dualidad de Langlands Relativa Retorcida", que postula una relación entre la categoría derivada del espacio simétrico de bucle y la categoría de complejos constructibles sobre el stack de haces reales en el twistor $\mathbb{P}^1$.
4. Fundamento Técnico: El trabajo establece la equivalencia de Satake derivada para las Grassmannianas afines retorcidas, un resultado de interés independiente que depende del estudio de los functores de ciclos cercanos y la formalidad de los objetos $!$-puros.

Los autores declaran explícitamente que los resultados dependen de que $G$ sea adjunto y $X$ sea cuasi-partido. También señalan que, si bien el artículo establece la equivalencia de Satake derivada, el contraparte cuántico (relacionado con los $(\mathfrak{g}, K)$-módulos) queda reservado para un trabajo futuro. El artículo no pretende resolver el programa de Langlands geométrico completo para estos espacios, sino establecer un puente crítico entre la geometría de los espacios simétricos y la teoría de la representación de los grupos de bucle a través de la lente de la dualidad relativa.