A relative Langlands dual realization of $T^*(G/K)$ and derived Satake

Résumé technique : Une réalisation de la dualité de Langlands relative de $T^*(G/K)$ et du Satake dérivé

Énoncé du problème
L'article traite du problème d'identification de la variété « duale relative » (ou duale symplectique) $M_{\check{G}, \check{X}}$ associée à une variété sphérique $\check{X}$ pour un groupe dual de Langlands $\check{G}$. Bien que la construction de tels objets duaux via des objets d'anneau dans la catégorie de Satake dérivée soit bien établie pour les groupes scindés et des cas spécifiques (par exemple, $\check{X} = \check{G}$), l'article étudie le problème inverse : étant donné une variété $G$-hamiltonienne affine $M$ d'intérêt en théorie des représentations, spécifiquement le fibré cotangent $T^*(G/K)$ d'un espace symétrique quasi-scindé $X = G/K$, peut-on identifier une variété sphérique $\check{X}$ correspondante pour le groupe dual $\check{G}$ telle que $M \cong M_{\check{G}, \check{X}}$ ?

Les auteurs se concentrent sur le cas où $G$ est un espace symétrique quasi-scindé qui n'est pas nécessairement scindé. Dans ces cas, le candidat naïf pour l'espace symétrique dual (le quotient du groupe dual par le dual du sous-groupe symétrique) ne parvient pas à produire la géométrie correcte. L'article cherche à résoudre ce problème en introduisant des « espaces symétriques de boucles » et en établissant une équivalence de catégories dérivées (Satake dérivé) qui généralise les résultats connus pour les groupes réductifs à ces contextes quasi-scindés.

Méthodologie
La méthodologie combine la théorie des représentations géométriques, la théorie des groupes de boucles et l'étude des schémas de groupes centralisateurs réguliers.

1. Configuration géométrique et théorie de Kostant-Rallis :
   Les auteurs utilisent la théorie de Kostant-Rallis pour les espaces symétriques. Ils relient le fibré cotangent $T^*(G/K)$ aux schémas de groupes centralisateurs réguliers $J_G$ et $J_H$ (où $H$ est un sous-groupe symétrique scindé lié). Plus précisément, ils établissent un isomorphisme entre l'anneau des coordonnées de $T^*(G/K)$ et l'anneau des invariants d'un quotient spécifique impliquant $G$, $H$, et la carte de norme entre les schémas de centralisateurs.

2. Groupes de boucles tordus et Grassmanniens affines :
   L'innovation technique centrale consiste en l'introduction d'une involution « tordue » $\check{\theta}$ sur le groupe de boucles $\check{G}(F)$, définie par $\check{\theta}(\gamma)(t) = \check{\theta}_0(\gamma(-t))$, où $\check{\theta}_0$ est une involution ancrée du groupe dual. Cela conduit à la définition du groupe de boucles tordu $\check{G}(F)^{\check{\theta}}$ et du Grassmannien affine tordu $\text{Gr}^{\check{\theta}} = \check{G}(F)^{\check{\theta}} / \check{G}(O)^{\check{\theta}}$.

3. Équivalence de Satake dérivée pour les Grassmanniens tordus :
   Les auteurs prouvent une équivalence de Satake dérivée pour ces Grassmanniens affines tordus. Ils montrent que la catégorie dérivée des faisceaux $\check{G}(O)^{\check{\theta}}$-équivariants sur $\text{Gr}^{\check{\theta}}$ est équivalente à la catégorie des complexes parfaits sur le fibré cotangent décalé du sous-groupe symétrique scindé (spécifiquement $T^*H[2]$). Cela étend les travaux de Zhu et d'autres au cadre dérivé.

4. Objets d'anneau et duaux relatifs :
   En utilisant le cadre de BZSV (Ben-Zvi, Nadler, Sakédaris) et de BFN (Braverman, Finkelberg, Nakajima), les auteurs construisent un objet d'anneau $A_{\check{G}, \check{\theta}}$ dans la catégorie de Satake dérivée associée à l'espace symétrique de boucles $\check{X}^{\check{\theta}}(F) = \check{G}(F) / \check{G}(F)^{\check{\theta}}$. Ils définissent la variété duale relative $M_{\check{G}, \check{\theta}}$ via l'anneau des coordonnées de cet objet d'anneau.

5. Pureté et formalité :
   Une étape cruciale consiste à prouver les propriétés de formalité et de pleine fidélité pour les objets $!$-purs dans la catégorie de Satake dérivée tordue. Cela permet aux auteurs de calculer explicitement la cohomologie de ces objets d'anneau, les reliant à la géométrie de $T^*(G/K)$.

Contributions clés et résultats

• Théorème 1.1 (Isomorphisme géométrique) : Les auteurs établissent un isomorphisme d'anneaux $G$-équivariant naturel :
  $$C[M_{\check{G}, \check{\theta}}] \cong C[T^*(G/K)]$$
  Ceci identifie la duale relative de l'espace symétrique de boucles $\check{X}^{\check{\theta}}(F)$ avec le fibré cotangent de l'espace symétrique quasi-scindé $G/K$. Cela fournit une famille concrète d'exemples de dualité de Langlands relative pour les groupes non scindés.

• Théorème 1.2 (Satake dérivé pour les espaces symétriques de boucles) : L'article établit une équivalence canonique entre la catégorie de Satake dérivée pour l'espace symétrique de boucles et la catégorie des complexes parfaits équivariants sur le fibré cotangent décalé :
  $$D^b_{\check{G}(O)}(\check{X}^{\check{\theta}}(F))_e \cong \text{Perf}_G(T^*(G/K)[2])$$
  Ici, l'indice $e$ désigne la sous-catégorie engendrée par le faisceau dual de l'orbite de base sous l'action de Hecke. Cela généralise l'équivalence de Satake dérivée des groupes réductifs aux espaces symétriques quasi-scindés.

• Théorème 1.3 (Satake dérivé tordu et pureté) :

  1. Une équivalence monoidale est prouvée pour le Grassmannien affine tordu : $D^b_{\check{G}(O)^{\check{\theta}}}(\text{Gr}^{\check{\theta}}) \cong \text{Perf}_{H \times H}(T^*H[2])$.
  2. Un résultat de pleine fidélité est établi pour les objets $!$-purs, fournissant une formule pour la cohomologie des produits tensoriels impliquant l'immersion du Grassmannien affine tordu dans le Grassmannien affine standard.

• Équivalence de Bezrukavnikov (Théorème 1.4) : En combinant l'équivalence de Satake dérivée avec les travaux récents sur l'équivalence à ramification tame, les auteurs en déduisent une réalisation constructible des complexes parfaits équivariants sur le changement de base de la résolution de Grothendieck-Springer le long de la application moment :
  $$D^b_{\check{I}}(\check{X}^{\check{\theta}}(F))_e \cong \text{Perf}_G((T^*(G/K) \times_{\mathfrak{g}^*} \tilde{\mathfrak{g}})[2])$$
  Ceci sert de version de l'équivalence de Bezrukavnikov pour les espaces symétriques quasi-scindés.

• Extensions et variantes : L'article discute de variantes, notamment des cas impliquant la trialité (pour $\text{Spin}_8$), des sous-groupes parahoriques spéciaux (liés à $SU_{2n+1}$), et des sous-corps $F_n = \mathbb{C}((t^n))$. Ces cas couvrent tous les Grassmanniens affines tordus considérés dans la littérature antérieure (notamment les travaux de Zhu).

Signification et affirmations
L'article affirme fournir une « réponse positive » à la question de savoir si le fibré cotangent d'un espace symétrique quasi-scindé provient d'une variété duale relative. La signification réside dans :

1. Généralisation de la dualité de Langlands : Il étend le cadre de la dualité de Langlands relative, précédemment limité largement aux groupes scindés ou à des variétés sphériques spécifiques, au domaine des espaces symétriques non scindés (quasi-scindés).
2. Réalisation catégorique : Il fournit une « réalisation constructible » de la catégorie des complexes parfaits sur $T^*(G/K)$ en termes de faisceaux sur les espaces symétriques de boucles, ce qui catégorise efficacement la formule de Plancherel pour ces espaces.
3. Connexion au programme de Langlands géométrique : Les auteurs notent que ces résultats fournissent des preuves pour une conjecture de « Dualité de Langlands relative tordue », qui postule une relation entre la catégorie dérivée de l'espace symétrique de boucles et la catégorie des complexes constructibles sur le stack de modules de fibrés réels sur la courbe de twisteur $\mathbb{P}^1$.
4. Fondation technique : Le travail établit l'équivalence de Satake dérivée pour les Grassmanniens affines tordus, un résultat d'intérêt indépendant qui repose sur l'étude des foncteurs de cycles proches et de la formalité des objets $!$-purs.

Les auteurs précisent explicitement que les résultats dépendent du fait que $G$ est adjoint et que $X$ est quasi-scindé. Ils notent également que bien qu'ils établissent l'équivalence de Satake dérivée, le pendant quantique (lié aux $(\mathfrak{g}, K)$-modules) est réservé à des travaux futurs. L'article ne prétend pas résoudre l'intégralité du programme de Langlands géométrique pour ces espaces, mais établit un pont critique entre la géométrie des espaces symétriques et la théorie des représentations des groupes de boucles via le prisme de la dualité relative.